Найти интеграл по замкнутому контуру через теорему о вычетах

@W014ara · Регистрация: 11.07.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день, стоит вопрос нахождения интеграла по замкнутому контуру через теорему о вычетах

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\oint_{|z|=5}^{}\frac{sh(pi*Z)}{(z+4)*({z}^{4}+4)}$

Изолированные точки я определил: Z=+-2i и Z=-4

Проблема заключается в нахождении самих вычетах в этих точках.

К примеру при Z=-4 получаю вычет:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{z\rightarrow -4}f(Z)=\frac{sh(-pi*4)}{20}$

При z->-2i получаю:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{z\rightarrow -2i}f(Z)=\frac{sh(-2*pi*i}{(-8-16i)}$

Но вот когда дело доходит до суммирования всех вычетов, то возникает проблема:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{sh(-pi*4)}{20}+\frac{sh(-2*pi*i)}{(-8-16i)} +{res(Z)}_{z=2i} = ?$

Помогите разобраться.

@Symon · 06.12.2018, 22:56

Сообщение от W014ara

Проблема заключается в нахождении самих вычетах в этих точках.

1. Правильно Найдена только одна особая точка внутри кривой интегрирования (z=-4), остальнае - неверно. А всего их 5.
2. Не ясно, по какой формуле вычисляете вычет. Вычет - это не предел функции в особой точке.
3. В лоб по теореме о вычетах вычислять интеграл не рационально. Многовато особых точек. Используйте теорему: Сумма вычетов во всех особых точках плоскости (если их конечное число), включая вычет на бесконечность, равняется нулю.
Тогда вам придется вычислять вычет только в одной точке - на бесконечности

@W014ara · 07.12.2018, 20:53 **[ТС]**

Symon, немного спутал задание, в знаменателе стоит квадрат, а не четвертая степень

Вычет вычислялся по стандартной формуле для простых полюсов:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?res(Z)=\lim_{z\rightarrow {z}_{0}}f(z)(z-{z}_{0})$

@Symon · 07.12.2018, 21:38

Сообщение от W014ara

немного спутал задание,

Тогда вычеты вычислены правильно. Но надо вычислить еще в одной точке и сложить все вычеты

@W014ara · 07.12.2018, 21:58 **[ТС]**

Symon, получилось следующее:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{resf(z)}_{{z}_{0}=-4}=\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(-4pi)(z+4)}{(z+4)(z+2i)(z-2i)}=\frac{-sh(4pi)}{20}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{resf(z)}_{{z}_{0}=-2i}=\lim_{z\rightarrow -2i}\frac{sh(pi)*(-2i)*(z+2i)}{(z+4)(z-2i)(z+2i)}=\frac{-sh(2pi*i)}{8+16i}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{resf(z)}_{{z}_{0}=2i}=\lim_{z\rightarrow 2i}\frac{sh(pi)*(2i)*(z-2i)}{(z+4)(z-2i)(z+2i)}=\frac{sh(2pi*i)}{-8+16i}$

Тогда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\oint_{|z|=5}^{}\frac{sh(pi*z)}{(z+4)({z}^{2}+4)}=2*pi*i*(\frac{-sh(4pi)}{20}+\frac{-sh(2pi*i)}{8+16i}+\frac{sh(2pi*i)}{-8+16i})$

Это можно как-то упростить? или все необходимо считать в лоб?

@eropegov · 07.12.2018, 22:03

Сообщение от W014ara

Это можно как-то упростить? или все необходимо считать в лоб?

Оно и в лоб упростится, а последние две дроби можно сложить заранее.

@W014ara · 07.12.2018, 22:25 **[ТС]**

eropegov, получилось:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{pi*i*(-16*sh(4*pi)-16*sh(2*pi*i))}{160}$

Что-то можно еще сделать? (разложение второго гип.синуса в числителе по экспонентам может ведь дать -16, но толку от этого не сильно изменится)

Добавлено через 7 минут
получилось в итоге:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{pi*i*(-sh(4*pi)-1)}{10}$

@eropegov · 07.12.2018, 22:27

W014ara, ну и досчитывайте уж до конца последний шинус.

@W014ara · 07.12.2018, 22:42 **[ТС]**

eropegov,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{pi*i*(-{e}^{4*pi}+{e}^{-4*pi}-1)}{10}$

и что дальше с этим делать?

@Symon · 07.12.2018, 22:57

Сообщение от W014ara

получилось в итоге:

Каждый вычет = 0, так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh()2k\pi i)=0$
Можно было не доводить до таких вычислений. Неверно определили типы особых точек. Все рассмотренные ос. точки не являются простыми полюсами, а устранимыми ос. точками, так как числитель в этих точках тоже обращается в 0.
Интеграл равен нулю по т. Коши. Пример для устного счета!

@W014ara · 07.12.2018, 23:02 **[ТС]**

Symon,Т.е. вы хотите сказать, что даже рассмотренный выше предел для точки -4 тоже неверен? не очень понятно, как sh(-4*pi) = 0

@eropegov · 07.12.2018, 23:03

W014ara, при том что Symon прав, я всё же замечу, что экспоненту мнимого аргумента знать-то надо: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{it} = \cos t + i \sin t.$

@W014ara · 07.12.2018, 23:05 **[ТС]**

eropegov, а где я не так разложил экспоненту мнимого аргумента?

@Symon · 07.12.2018, 23:26

Сообщение от W014ara

не очень понятно, как sh(-4*pi) = 0

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh(it)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2}=\frac{1}{2}\cdot (\cos(t)+i\cdot \sin(t)-cos(-t)-i\cdot \sin(-t))=i\cdot \sin(t)$
При t=2kpi к - целое Получим нуль

@eropegov · 07.12.2018, 23:29

Сообщение от W014ara

не очень понятно, как sh(-4*pi) = 0

На самом деле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\textrm sh} (-4 \pi) \ne 0$ , вы в аргументе потеряли множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i$ , а мы не заметили (из-за вот этого "pi").

@W014ara · 07.12.2018, 23:40 **[ТС]**

eropegov, объясните, в каком конкретно месте была потеряна i ?

при нахождении вычета?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(\pi z)*(z+4)}{(z+4)({z}^{2}+4)}=\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(\pi z)}{(z-2i)(z+2i)}\frac{}{}$

но ведь потом получается, что:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(\pi z)}{(z-2i)(z+2i)}=\frac{sh(\pi *(-4))}{(16+4=20)}=\frac{-sh(\pi *4)}{20}$

@eropegov · 07.12.2018, 23:45

W014ara, ни в каком, это я ошибся, прошу прощения. Вредно смотреть в форум одним левым глазом. Изначально же точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-4$ , а не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-4i$ . Так что в этом месте у вас правильно, и вычет ненулевой.

@W014ara · 08.12.2018, 00:06 **[ТС]**

Или при определении типа особой точки?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(\pi *z)}{(z+4)({z}^{2}+4)}=\infty \Rightarrow$ z=-4 - полюс 1-ого порядка

Добавлено через 1 минуту
eropegov,

уже как-то сам запутался. Но перерешав вновь, получил ровно все то же самое.

Добавлено через 18 минут
Symon, вы имеете ввиду, что определен неправильно тип в точках +-2i? Но в таком случае, почему вычет равен в них 0?

@Symon · 08.12.2018, 08:30

Сообщение от W014ara

z=-4 - полюс 1-ого порядка

Да, точка z=-4 - полюс первого порядка и вычет тут вычислен правильно. Меня бес попутал.

Сообщение от W014ara

определен неправильно тип в точках +-2i? Но в таком случае, почему вычет равен в них 0?

Так как
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim\limits_{z\to 2i}f(z)=\lim\limits_{z\to 2i}\frac{sh(\pi z)}{(z+4)(z-2i)(z+2i)}=\lim\limits_{z\to 2i}\frac{1}{(z+4)(z+2i)}\cdot \lim\limits_{z\to 2i}\frac{sh(\pi z)}{(z-2i)}=\frac{1}{(2i+4)(4i)}\cdot \lim\limits_{z\to 2i}\frac{sh(\pi z)}{(z-2i)}=\frac{1}{(2i+4)(2i+2i)}\cdot \lim\limits_{z\to 2i}\frac{\pi ch(\pi 2i)}{1}#0$ ,
то точка 2i является устранимой ос. точкой и вычет равен нулю.
То же самое в точке -2i

@W014ara · 09.12.2018, 18:03 **[ТС]**

Symon, подскажите тогда еще одну вещь. Если ни одна из точек не лежит в области, то искомый замкнутый интеграл равен нулю?
Как пример решал этот интеграл:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\oint_{|z-2|=\frac{1}{2}}^{}\frac{sh(z)}{z({z}^{2}+2z+5)}$

@W014ara 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.07.2018 Сообщений: 96
	07.12.2018, 23:05 [ТС]	13
	eropegov, а где я не так разложил экспоненту мнимого аргумента? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	07.12.2018, 23:29	15
	Сообщение от W014ara не очень понятно, как sh(-4*pi) = 0 На самом деле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\textrm sh} (-4 \pi) \ne 0$ , вы в аргументе потеряли множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i$ , а мы не заметили (из-за вот этого "pi"). 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	07.12.2018, 23:45	17
	W014ara, ни в каком, это я ошибся, прошу прощения. Вредно смотреть в форум одним левым глазом. Изначально же точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-4$ , а не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-4i$ . Так что в этом месте у вас правильно, и вычет ненулевой. 0

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	08.12.2018, 08:30	19
	Сообщение от W014ara z=-4 - полюс 1-ого порядка Да, точка z=-4 - полюс первого порядка и вычет тут вычислен правильно. Меня бес попутал. Сообщение от W014ara определен неправильно тип в точках +-2i? Но в таком случае, почему вычет равен в них 0? Так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim\limits_{z\to 2i}f(z)=\lim\limits_{z\to 2i}\frac{sh(\pi z)}{(z+4)(z-2i)(z+2i)}=\lim\limits_{z\to 2i}\frac{1}{(z+4)(z+2i)}\cdot \lim\limits_{z\to 2i}\frac{sh(\pi z)}{(z-2i)}=\frac{1}{(2i+4)(4i)}\cdot \lim\limits_{z\to 2i}\frac{sh(\pi z)}{(z-2i)}=\frac{1}{(2i+4)(2i+2i)}\cdot \lim\limits_{z\to 2i}\frac{\pi ch(\pi 2i)}{1}#0$ , то точка 2i является устранимой ос. точкой и вычет равен нулю. То же самое в точке -2i 1

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	06.12.2018, 22:56	2
	Сообщение от W014ara Проблема заключается в нахождении самих вычетах в этих точках. 1. Правильно Найдена только одна особая точка внутри кривой интегрирования (z=-4), остальнае - неверно. А всего их 5. 2. Не ясно, по какой формуле вычисляете вычет. Вычет - это не предел функции в особой точке. 3. В лоб по теореме о вычетах вычислять интеграл не рационально. Многовато особых точек. Используйте теорему: Сумма вычетов во всех особых точках плоскости (если их конечное число), включая вычет на бесконечность, равняется нулю. Тогда вам придется вычислять вычет только в одной точке - на бесконечности 0

@W014ara 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.07.2018 Сообщений: 96
	07.12.2018, 20:53 [ТС]	3
	Symon, немного спутал задание, в знаменателе стоит квадрат, а не четвертая степень Вычет вычислялся по стандартной формуле для простых полюсов: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?res(Z)=\lim_{z\rightarrow {z}_{0}}f(z)(z-{z}_{0})$ 0

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	07.12.2018, 21:38	4
	Сообщение от W014ara немного спутал задание, Тогда вычеты вычислены правильно. Но надо вычислить еще в одной точке и сложить все вычеты 0

@W014ara 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.07.2018 Сообщений: 96
	07.12.2018, 21:58 [ТС]	5
	Symon, получилось следующее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{resf(z)}_{{z}_{0}=-4}=\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(-4pi)(z+4)}{(z+4)(z+2i)(z-2i)}=\frac{-sh(4pi)}{20}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{resf(z)}_{{z}_{0}=-2i}=\lim_{z\rightarrow -2i}\frac{sh(pi)(-2i)(z+2i)}{(z+4)(z-2i)(z+2i)}=\frac{-sh(2pii)}{8+16i}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{resf(z)}_{{z}_{0}=2i}=\lim_{z\rightarrow 2i}\frac{sh(pi)(2i)(z-2i)}{(z+4)(z-2i)(z+2i)}=\frac{sh(2pii)}{-8+16i}$ Тогда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\oint_{\|z\|=5}^{}\frac{sh(piz)}{(z+4)({z}^{2}+4)}=2pii(\frac{-sh(4pi)}{20}+\frac{-sh(2pii)}{8+16i}+\frac{sh(2pii)}{-8+16i})$ Это можно как-то упростить? или все необходимо считать в лоб? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	07.12.2018, 22:03	6
	Сообщение от W014ara Это можно как-то упростить? или все необходимо считать в лоб? Оно и в лоб упростится, а последние две дроби можно сложить заранее. 0

@W014ara 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.07.2018 Сообщений: 96
	07.12.2018, 22:25 [ТС]	7
	eropegov, получилось: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{pii(-16sh(4pi)-16sh(2pii))}{160}$ Что-то можно еще сделать? (разложение второго гип.синуса в числителе по экспонентам может ведь дать -16, но толку от этого не сильно изменится) Добавлено через 7 минут* получилось в итоге: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{pii(-sh(4*pi)-1)}{10}$ 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	07.12.2018, 22:27	8
	W014ara, ну и досчитывайте уж до конца последний шинус. 0

@W014ara 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.07.2018 Сообщений: 96
	07.12.2018, 22:42 [ТС]	9
	eropegov, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{pii(-{e}^{4pi}+{e}^{-4pi}-1)}{10}$ и что дальше с этим делать? 0

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	07.12.2018, 22:57	10
	Сообщение от W014ara получилось в итоге: Каждый вычет = 0, так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh()2k\pi i)=0$ Можно было не доводить до таких вычислений. Неверно определили типы особых точек. Все рассмотренные ос. точки не являются простыми полюсами, а устранимыми ос. точками, так как числитель в этих точках тоже обращается в 0. Интеграл равен нулю по т. Коши. Пример для устного счета! 1

@W014ara 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.07.2018 Сообщений: 96
	07.12.2018, 23:02 [ТС]	11
	Symon,Т.е. вы хотите сказать, что даже рассмотренный выше предел для точки -4 тоже неверен? не очень понятно, как sh(-4*pi) = 0 0

	09.12.2018, 18:03

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	07.12.2018, 23:03	12
	W014ara, при том что Symon прав, я всё же замечу, что экспоненту мнимого аргумента знать-то надо: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{it} = \cos t + i \sin t.$ 0

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2615 / 2229 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,578 Записей в блоге: 13
	07.12.2018, 23:26	14
	Сообщение от W014ara не очень понятно, как sh(-4*pi) = 0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh(it)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2}=\frac{1}{2}\cdot (\cos(t)+i\cdot \sin(t)-cos(-t)-i\cdot \sin(-t))=i\cdot \sin(t)$ При t=2kpi к - целое Получим нуль 0

@W014ara 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.07.2018 Сообщений: 96
	07.12.2018, 23:40 [ТС]	16
	eropegov, объясните, в каком конкретно месте была потеряна i ? при нахождении вычета? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(\pi z)(z+4)}{(z+4)({z}^{2}+4)}=\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(\pi z)}{(z-2i)(z+2i)}\frac{}{}$ но ведь потом получается, что: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(\pi z)}{(z-2i)(z+2i)}=\frac{sh(\pi (-4))}{(16+4=20)}=\frac{-sh(\pi *4)}{20}$ 0

@W014ara 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.07.2018 Сообщений: 96
	08.12.2018, 00:06 [ТС]	18
	Или при определении типа особой точки? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{z\rightarrow -4}\frac{sh(\pi z)}{(z+4)({z}^{2}+4)}=\infty \Rightarrow$ z=-4 - полюс 1-ого порядка Добавлено через 1 минуту* eropegov, уже как-то сам запутался. Но перерешав вновь, получил ровно все то же самое. Добавлено через 18 минут Symon, вы имеете ввиду, что определен неправильно тип в точках +-2i? Но в таком случае, почему вычет равен в них 0? 0

@W014ara 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.07.2018 Сообщений: 96
	09.12.2018, 18:03 [ТС]	20
	Symon, подскажите тогда еще одну вещь. Если ни одна из точек не лежит в области, то искомый замкнутый интеграл равен нулю? Как пример решал этот интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\oint_{\|z-2\|=\frac{1}{2}}^{}\frac{sh(z)}{z({z}^{2}+2z+5)}$ 0