Найти корни этого уравнения Cosz=chz

Katharine · Регистрация: 21.01.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите, пожалуйста, найти корни этого уравнения. С подробным решением если можно.

Ch(z)=cos(z)

@Ellipsoid · 21.01.2017, 21:43

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\textrm{ch} z= \cos i z$

Katharine · 21.01.2017, 21:51 **[ТС]**

Сообщение от Ellipsoid

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\textrm{ch} z= \cos i z$

Эту формулу я знаю
И переход к е
Меня интересует что дальше

@jogano · 21.01.2017, 22:39

А дальше сводите обе части вашего уравнения или к обычной тригонометрии, или к гиперболической. Если сводить к обычной, то получаете уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos\left(iz \right)=\cos z$
На действительной оси есть формула сравнения двух косинусов:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos \alpha =\cos \beta \: \Leftrightarrow \: \alpha = \pm \beta +2 \pi k, \: k \in Z$
Проверим, будет ли это выполняться в комплексной плоскости. Для этого убедимся сначала, что решение уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin z=0$ будет такое же, как в R.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \left( x+iy\right)=0\\\sin x \cos \left(iy \right)+\cos x \sin \left(iy \right)=0\\\sin x ch y+i \cos x sh y=0\\\left{\left[ \sin x=0\\ch y=0 \right. \\ \left[ \cos x=0\\sh y=0 \right.\right. \: \Leftrightarrow \: \left{\left[ x=\pi k\\y \in \empty \right. \\ \left[ x=\frac{\pi}{2}+ \pi n\\y=0 \right.\right. \: \Leftrightarrow \: \left{ x=\pi k\\ y=0 \right.$ . Такое же: z=Пk, kєZ
Возвращаясь к равенству косинусов, имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos z - \cos \left(iz \right)=0\\2 \sin z\frac {1+i}{2} \cdot \sin z\frac {i-1}{2}=0\\\left[\sin z\frac {1+i}{2}=0\\\sin z\frac {i-1}{2}=0 \right. \: \Leftrightarrow \: \left[ z\frac {1+i}{2}=\pi k\\z\frac {i-1}{2}=\pi k \right. \: \Leftrightarrow \: z=\frac{2 \pi k}{i \pm 1}=\frac{2 \pi k \left(i \mp 1 \right)}{-2}=\pi k \left(-i \pm 1 \right)$
Так как k целое, то в скобке можно изменить знаки обоих слагаемых и получаем ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\pi n \left(1 \pm i \right), \: n \in Z$ , что согласуется с формулой сравнения двух косинусов в действительном случае:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\pm iz + 2 \pi k \: \Leftrightarrow \: z=\frac{2 \pi k}{1 \mp i}=...$

Katharine · 21.01.2017, 22:42 **[ТС]**

Спасибо!

Байт · 22.01.2017, 18:07

Сообщение от jogano

Проверим, будет ли это выполняться в комплексной плоскости.

А куды ж оно денется?

@jogano · 22.01.2017, 18:10

Байт, ну мало ли

В R корень уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{x}=1$ единственный, а в комплексной три корня. Может, и тут...

Байт · 22.01.2017, 18:19

Сообщение от jogano

корень уравнения

Ну, корни - это другая песня. Комплексные числа для того и придумали, чтобы корней было больше. А соотношения между аналитическими функциями остались прежними...

Новые блоги и статьи
Книги и учебные ресурсы по C# InfoMaster 08.01.2025 Базовые учебники и руководства Одной из лучших книг для начинающих является "C# 10 и . NET 6 для начинающих" Эндрю Троелсена и Филиппа Джепикса . Книга последовательно раскрывает основные концепции. . .	Что такое NullReferenceException и как исправить? InfoMaster 08.01.2025 NullReferenceException - одно из самых распространенных исключений, с которым сталкиваются разработчики на C#. Это исключение возникает при попытке обратиться к членам объекта (методам, свойствам или. . .	Что такое Null Pointer Exception (NPE) и как это исправить? InfoMaster 08.01.2025 Null Pointer Exception (NPE) - это одно из самых распространенных исключений в Java, которое возникает при попытке использовать ссылку на объект, значение которой равно null. Это исключение относится. . .	Русский язык в консоли C++ InfoMaster 08.01.2025 При разработке программ на C++ одной из частых проблем, с которой сталкиваются русскоязычные программисты, является корректное отображение кириллицы в консольных приложениях. Эта проблема особенно. . .	Telegram бот на C# InfoMaster 08.01.2025 Разработка ботов для Telegram стала неотъемлемой частью современной экосистемы мессенджеров. C# предоставляет мощный и удобный инструментарий для создания разнообразных ботов, от простых. . .	Использование GraphQL в Go (Golang) InfoMaster 08.01.2025 Go (Golang) является одним из наиболее популярных языков программирования, используемых для создания высокопроизводительных серверных приложений. Его архитектурные особенности и встроенные. . .
Что лучше использовать при создании класса в Java: сеттеры или конструктор? Alexander-7 08.01.2025 Вопрос подробнее: На вопрос: «Когда одновременно создаются конструктор и сеттеры в классе – это нормально?» куратор уточнил: «Ваш класс может вообще не иметь сеттеров, а только конструктор и геттеры. . .	Как работать с GraphQL на TypeScript InfoMaster 08.01.2025 Введение в GraphQL и TypeScript В современной разработке веб-приложений GraphQL стал мощным инструментом для создания гибких и эффективных API. В сочетании с TypeScript, эта технология. . .	Счётчик на базе сумматоров + регистров и генератора сигналов согласования. Hrethgir 07.01.2025 Создан с целью проверки скорости асинхронной логики: ранее описанного сумматора и предополагаемых fast регистров. Регистры созданы на базе ранее описанного, предполагаемого fast триггера. То-есть. . .	Как перейти с Options API на Composition API в Vue.js BasicMan 06.01.2025 Почему переход на Composition API актуален В мире современной веб-разработки фреймворк Vue. js продолжает эволюционировать, предлагая разработчикам все более совершенные инструменты для создания. . .	Архитектура современных процессоров inter-admin 06.01.2025 Процессор (центральный процессор, ЦП) является основным вычислительным устройством компьютера, которое выполняет обработку данных и управляет работой всех остальных компонентов системы. Архитектура. . .	История создания реляционной модели баз данных, правила Кодда Programming 06.01.2025 Предпосылки создания реляционной модели В конце 1960-х годов компьютерная индустрия столкнулась с серьезными проблемами в области управления данными. Существовавшие на тот момент модели данных -. . .

Katharine 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.01.2017 Сообщений: 3
		1
	Найти корни этого уравнения Cosz=chz 21.01.2017, 21:05. Показов 7631. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Помогите, пожалуйста, найти корни этого уравнения. С подробным решением если можно. Ch(z)=cos(z) 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	21.01.2017, 21:43	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\textrm{ch} z= \cos i z$ 0

Katharine 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.01.2017 Сообщений: 3
	21.01.2017, 21:51 [ТС]	3
	Сообщение от Ellipsoid $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\textrm{ch} z= \cos i z$ Эту формулу я знаю И переход к е Меня интересует что дальше 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	21.01.2017, 22:39	4
	Сообщение было отмечено Katharine как решение Решение А дальше сводите обе части вашего уравнения или к обычной тригонометрии, или к гиперболической. Если сводить к обычной, то получаете уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos\left(iz \right)=\cos z$ На действительной оси есть формула сравнения двух косинусов: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos \alpha =\cos \beta \: \Leftrightarrow \: \alpha = \pm \beta +2 \pi k, \: k \in Z$ Проверим, будет ли это выполняться в комплексной плоскости. Для этого убедимся сначала, что решение уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin z=0$ будет такое же, как в R. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \left( x+iy\right)=0\\\sin x \cos \left(iy \right)+\cos x \sin \left(iy \right)=0\\\sin x ch y+i \cos x sh y=0\\\left{\left[ \sin x=0\\ch y=0 \right. \\ \left[ \cos x=0\\sh y=0 \right.\right. \: \Leftrightarrow \: \left{\left[ x=\pi k\\y \in \empty \right. \\ \left[ x=\frac{\pi}{2}+ \pi n\\y=0 \right.\right. \: \Leftrightarrow \: \left{ x=\pi k\\ y=0 \right.$ . Такое же: z=Пk, kєZ Возвращаясь к равенству косинусов, имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos z - \cos \left(iz \right)=0\\2 \sin z\frac {1+i}{2} \cdot \sin z\frac {i-1}{2}=0\\\left[\sin z\frac {1+i}{2}=0\\\sin z\frac {i-1}{2}=0 \right. \: \Leftrightarrow \: \left[ z\frac {1+i}{2}=\pi k\\z\frac {i-1}{2}=\pi k \right. \: \Leftrightarrow \: z=\frac{2 \pi k}{i \pm 1}=\frac{2 \pi k \left(i \mp 1 \right)}{-2}=\pi k \left(-i \pm 1 \right)$ Так как k целое, то в скобке можно изменить знаки обоих слагаемых и получаем ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\pi n \left(1 \pm i \right), \: n \in Z$ , что согласуется с формулой сравнения двух косинусов в действительном случае: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\pm iz + 2 \pi k \: \Leftrightarrow \: z=\frac{2 \pi k}{1 \mp i}=...$ 1

Katharine 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.01.2017 Сообщений: 3
	21.01.2017, 22:42 [ТС]	5
	Спасибо! 0

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	22.01.2017, 18:07	6
	Сообщение от jogano Проверим, будет ли это выполняться в комплексной плоскости. А куды ж оно денется? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	22.01.2017, 18:10	7
	Байт, ну мало ли В R корень уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{x}=1$ единственный, а в комплексной три корня. Может, и тут... 0

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	22.01.2017, 18:19	8
	Сообщение от jogano корень уравнения Ну, корни - это другая песня. Комплексные числа для того и придумали, чтобы корней было больше. А соотношения между аналитическими функциями остались прежними... 0

Найти корни этого уравнения Cosz=chz

Решение