Радиус сходимости степенных рядов

@Andron58 · Регистрация: 22.09.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

В задачнике Кудрявцева есть такой ряд:

И надо найти его радиус сходимости( в ответах он равен 1), но почему-то , считая по выделеннной формуле, у меня получается 0... В чем ошибаюсь?

@Том Ардер · 10.10.2016, 21:23

Комментарий модератора

Правила форума

4.7. Как можно более полно описывайте суть проблемы или вопроса, что было сделано для ее решения и какие результаты получены.

5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом.

Задания и решения набирать ручками. Один вопрос - одна тема. Для формул есть редактор.

Рекомендации по созданию темы

@Andron58 · 11.10.2016, 20:24 **[ТС]**

вот сам ряд:
∞
∑n!z^(n!)
n=1

Добавлено через 2 минуты
Искал по формуле

R=предел|Cn/Cn+1|
n стремиться к бесконечности

@jogano · 11.10.2016, 21:28

Вы попытались применить формулу для радиуса сходимости формально. Но у вас же ряд не такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{+\infty}n! z^n$ . Он-то, конечно, степенной, но показатель степени не n.
Если вникнуть в суть формулы для R, то должен существовать предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\rho <1$ , чтобы члены вашего ряда можно было сравнивать с геометрической прогрессией - чтобы для достаточно больших n ваш ряд вёл бы себя как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?...+a_n+a_n\rho +a_n\rho ^2+...$ . Тогда если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0<\rho <1$ , то ряд сходится, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho >1$ , то расходится.
Для того степенного ряда, который в учебнике, это предел равен
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{c_{n+1}z^{n+1}}{c_nz^n} \right|=\left|z \right|\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n} \right|<1 \: \Rightarrow \: \left|z \right|<\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$
Вот откуда берётся формула для R, которую вы пытались применить.
Вот сделайте то же самое для вашего ряда, и получите 1.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .

@Andron58 3 / 3 / 0 Регистрация: 22.09.2015 Сообщений: 58

	Радиус сходимости степенных рядов 10.10.2016, 20:40. Показов 1586. Ответов 3 Метки нет (Все метки) В задачнике Кудрявцева есть такой ряд: И надо найти его радиус сходимости( в ответах он равен 1), но почему-то , считая по выделеннной формуле, у меня получается 0... В чем ошибаюсь? 0

@Andron58 3 / 3 / 0 Регистрация: 22.09.2015 Сообщений: 58
	11.10.2016, 20:24 [ТС]
	вот сам ряд: ∞ ∑n!z^(n!) n=1 Добавлено через 2 минуты Искал по формуле R=предел\|Cn/Cn+1\| n стремиться к бесконечности 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	11.10.2016, 21:28
	Сообщение было отмечено Andron58 как решение Решение Вы попытались применить формулу для радиуса сходимости формально. Но у вас же ряд не такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{+\infty}n! z^n$ . Он-то, конечно, степенной, но показатель степени не n. Если вникнуть в суть формулы для R, то должен существовать предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right\|=\rho <1$ , чтобы члены вашего ряда можно было сравнивать с геометрической прогрессией - чтобы для достаточно больших n ваш ряд вёл бы себя как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?...+a_n+a_n\rho +a_n\rho ^2+...$ . Тогда если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0<\rho <1$ , то ряд сходится, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho >1$ , то расходится. Для того степенного ряда, который в учебнике, это предел равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{c_{n+1}z^{n+1}}{c_nz^n} \right\|=\left\|z \right\|\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{c_{n+1}}{c_n} \right\|<1 \: \Rightarrow \: \left\|z \right\|<\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{c_n}{c_{n+1}} \right\|$ Вот откуда берётся формула для R, которую вы пытались применить. Вот сделайте то же самое для вашего ряда, и получите 1. 1

Радиус сходимости степенных рядов

Решение