Дан отрезок. Найти вероятность суммы и произведения

@SKaRKiLLa · Регистрация: 21.12.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

На отрезке [-1;2] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше 1, а произведение меньше 1?

@StudentDan · 20.05.2012, 20:20

Решаем графически. Пусть A и B из [-1;2]. A лежит на оси OX, а B на оси OY.
A+B > 1 - это пересечение квадрата [-1;2]^2 с полуплоскостью лежащей выше прямой y = 1-x.
AB < 1 - это пересечение квадрата [-1;2]^2 с множеством точек лежащих между осями гиперболы y = 1/x.
Пересекая эти множества мы получаем криволинейную трапецию, площадь которой, к примеру, можно вычислить как разность площадей треугольника с вершинами в (2,-1), (-1, 2) и (2,1), и части лежащей выше правой ветви гиперболы.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{0} = \frac{3*3}{2} - \int_{1/2}^{2} \left(2-\frac{1}{x}\right) dx = \frac{9}{2} - \left(3-(ln(2)-ln\left(\frac{1}{2}\right))\right) = \frac{3}{2}+ln(4)$
Поэтому искомая вероятность
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{S_{0}}{9} = \frac{1}{6} + \frac{ln(4)}{9}.$

@SKaRKiLLa 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.12.2011 Сообщений: 7
		1
	Дан отрезок. Найти вероятность суммы и произведения 20.05.2012, 13:40. Показов 18605. Ответов 1 Метки нет (Все метки) На отрезке [-1;2] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше 1, а произведение меньше 1? 0

@StudentDan 20 / 20 / 4 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 27
	20.05.2012, 20:20	2
	Решаем графически. Пусть A и B из [-1;2]. A лежит на оси OX, а B на оси OY. A+B > 1 - это пересечение квадрата [-1;2]^2 с полуплоскостью лежащей выше прямой y = 1-x. AB < 1 - это пересечение квадрата [-1;2]^2 с множеством точек лежащих между осями гиперболы y = 1/x. Пересекая эти множества мы получаем криволинейную трапецию, площадь которой, к примеру, можно вычислить как разность площадей треугольника с вершинами в (2,-1), (-1, 2) и (2,1), и части лежащей выше правой ветви гиперболы. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{0} = \frac{3*3}{2} - \int_{1/2}^{2} \left(2-\frac{1}{x}\right) dx = \frac{9}{2} - \left(3-(ln(2)-ln\left(\frac{1}{2}\right))\right) = \frac{3}{2}+ln(4)$ Поэтому искомая вероятность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{S_{0}}{9} = \frac{1}{6} + \frac{ln(4)}{9}.$ 2