Сколько раз беспилотник должен пролететь над станцией, чтобы оператор смог сделать не менее 5 наблюдений с вероятностью?

@ProstoMATH · Регистрация: 01.11.2022

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Преподаватель дал такую задачу: Пусть наблюдение беспилотника с некоторой земной станции возможно с вероятностью 0.1. Сколько раз беспилотник должен пролететь над станцией, чтобы оператор смог сделать не менее 5 наблюдений с вероятностью не меньшей, чем 0.9975.
Я её решил через теорему Пуассона (получил ~135), но преподаватель не принял, намекнув на то, что надо было решать через Муавра-Лапласа. Однако я не знаю, что делать c n в таком случае, так как оно неизвестно. Зашёл в тупик.

@VSI · 19.11.2023, 09:26

ProstoMATH, загляните в самый низ этой страницы в раздел "Похожие темы". Может быть найдете для себя кое-какую полезную информацию...

@mihailm · 19.11.2023, 09:40

Сообщение от ProstoMATH

намекнув на то, что надо было решать через Муавра-Лапласа

Ну если сказали через Муавра-Лапласа, то и решайте через него)

@mathmichel · 19.11.2023, 11:35

Сообщение от ProstoMATH

Однако я не знаю, что делать c n в таком случае, так как оно неизвестно

А как Вы тогда решали с формулой Пуассона? Результат, кстати, получили верный!
Если решать с интегральной формулой Муавра-Лапласа, то получится n=81. Если использовать локальную формулу Муавра-Лапласа для суммы, то получится 109 - тоже далеко от 135. С помощью биномиального распределения получается в районе 135, как и с помощью формулы Пуассона.

@mihailm · 19.11.2023, 11:47

Сообщение от mathmichel

Результат, кстати, получили верный!

точный 131 кстати

@mathmichel · 19.11.2023, 11:59

Сообщение от mihailm

точный 131 кстати

Да, по формуле Бернулли.
По интегральной формуле Лапласа-Муавра сейчас перепроверил свои вычисления, получается совсем неплохо 139.

@ProstoMATH · 19.11.2023, 16:21 **[ТС]**

Сообщение от mathmichel

А как Вы тогда решали с формулой Пуассона? Результат, кстати, получили верный!
Если решать с интегральной формулой Муавра-Лапласа, то получится n=81. Если использовать локальную формулу Муавра-Лапласа для суммы, то получится 109 - тоже далеко от 135. С помощью биномиального распределения получается в районе 135, как и с помощью формулы Пуассона.

Сообщение от mihailm

Ну если сказали через Муавра-Лапласа, то и решайте через него)

Так по интегральной теореме Муавра-Лапласа необходимо брать значения из таблицы функций Лапласа Ф(x). Но как взять значение функции, если для нахождения x надо знать значение n?

@mihailm · 19.11.2023, 16:26

Сообщение от ProstoMATH

если для нахождения x надо знать значение n?

возьмите 100

@mathmichel · 19.11.2023, 16:54

Сообщение от ProstoMATH

Так по интегральной теореме Муавра-Лапласа необходимо брать значения из таблицы функций Лапласа Ф(x)

У Вас заданное значение Ф(х)=0.9975-0.5=0.4975 - по нему находите в таблице х=2.8, а уже из него находите n.
Причём х выражается через n иррациональным образом из-за того, что он входит в сигму.

@ProstoMATH · 19.11.2023, 17:07 **[ТС]**

Это, я так понимаю, Ф(x1=0)?

@mathmichel · 19.11.2023, 17:19

Сообщение от ProstoMATH

Это, я так понимаю, Ф(x1=0)?

А я уже Вас не понимаю, чему соответствует х1=0?

@ProstoMATH · 19.11.2023, 17:23 **[ТС]**

Сообщение от mathmichel

А я уже Вас не понимаю, чему соответствует х1=0?

Я глупость написал). Я просто не совсем понимаю, зачем мы вычитаем из 0.9975 значение 0.5. Откуда мы его взяли (0.5)? И что мы нашли: Ф(x1) или Ф(x2)?

@mathmichel · 19.11.2023, 17:35

Сообщение от ProstoMATH

Я просто не совсем понимаю, зачем мы вычитаем из 0.9975 значение 0.5

Это связано с тем, что в подавляющем большинстве таблицы даны для симметризованной функции Лапласа, которая принимает значения между -0.5 и 0.5 (табличные значения даются для положительной части), а не между 0 и 1.

@ProstoMATH · 19.11.2023, 17:47 **[ТС]**

Я так понимаю, что Ф(х)=0.9975-0.5 это Ф(x2), а Ф(x1) = 0, так как по теореме искомая вероятность равна разности двух функций Ф(x2)-Ф(x1)? Только почему тогда равно Ф(x1) = 0?

@mathmichel · 19.11.2023, 18:10

Сообщение от ProstoMATH

Только почему тогда равно Ф(x1) = 0

Не совсем правильно понимаете условие задачи, чему соответствуют х1 и х2? Напомню, что по условию задачи беспилотник должен сделать не менее 5 измерений. Значит х1 соответствует 5 (соответствует не значит "равно"), а чему соответствует х2?
Такое впечатление, что Вы совсем не решали задачи на применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Выше уже посоветовали, взять для начала n=100 и подсчитать, какая выходит вероятность с этим значением по этой теореме. Если выйдет меньше требуемой величины 0.9975, то увеличивайте n, тогда и выйдете на нужный ответ.

@ProstoMATH · 19.11.2023, 18:25 **[ТС]**

Сообщение от mathmichel

акое впечатление, что Вы совсем не решали задачи на применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Так разве по теореме не P = Ф(x2) - Ф(x1)? Это же всё следует из определения. Я поэтому и спрашиваю про два x, так как необходима разность.

@mathmichel · 19.11.2023, 18:35

Сообщение от ProstoMATH

Я поэтому и спрашиваю про два x

Вы так и не ответили на вопрос, чему соответствуют х1 и х2 по условию задачи...

@ProstoMATH · 19.11.2023, 18:40 **[ТС]**

Сообщение от mathmichel

Вы так и не ответили на вопрос, чему соответствуют х1 и х2 по условию задачи...

У меня была мысль взять x1, который соответствует 0 наблюдениям, а x2, который соответствует 4 наблюдениям. P = 1 - 0.9975 = 0.0025. Отталкиваться от обратного. И тут я зашёл в тупик.

@mathmichel · 19.11.2023, 18:51

Сообщение от ProstoMATH

У меня была мысль взять x1 = 0, а x2 = 4. P = 1 - 0.9975 = 0.0025. Отталкиваться от обратного

Так и надо было написать с самого начала. Ход мыслей верный. Только выше я написал, что х2 не равняется 4, а выражается через это число, а ещё через неизвестную величину n. Осталось только найти соответствующее выражение для х2.
Не забудьте, что по таблице значений функции Лапласа х2=-2.8 (в соответствии с Р=0.0025), что соответствует абсциссе левого хвоста функции Лапласа.

@ProstoMATH · 19.11.2023, 19:02 **[ТС]**

Вот что получается: 0.0025 = Ф((4-0.1n)/sqrt(0.1*0.9*n)) - Ф((0-0.1n)/sqrt(0.1*0.9*n)), если я правильно понял (4-0.1n)/sqrt(0.1*0.9*n) = -2.8.

@ProstoMATH -6 / 0 / 0 Регистрация: 01.11.2022 Сообщений: 32
	19.11.2023, 17:23 [ТС]	12
	Сообщение от mathmichel А я уже Вас не понимаю, чему соответствует х1=0? Я глупость написал). Я просто не совсем понимаю, зачем мы вычитаем из 0.9975 значение 0.5. Откуда мы его взяли (0.5)? И что мы нашли: Ф(x1) или Ф(x2)? 0

@ProstoMATH -6 / 0 / 0 Регистрация: 01.11.2022 Сообщений: 32
	19.11.2023, 17:47 [ТС]	14
	Я так понимаю, что Ф(х)=0.9975-0.5 это Ф(x2), а Ф(x1) = 0, так как по теореме искомая вероятность равна разности двух функций Ф(x2)-Ф(x1)? Только почему тогда равно Ф(x1) = 0? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10821 / 7184 / 3899 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,447
	19.11.2023, 18:10	15
	Сообщение от ProstoMATH Только почему тогда равно Ф(x1) = 0 Не совсем правильно понимаете условие задачи, чему соответствуют х1 и х2? Напомню, что по условию задачи беспилотник должен сделать не менее 5 измерений. Значит х1 соответствует 5 (соответствует не значит "равно"), а чему соответствует х2? Такое впечатление, что Вы совсем не решали задачи на применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Выше уже посоветовали, взять для начала n=100 и подсчитать, какая выходит вероятность с этим значением по этой теореме. Если выйдет меньше требуемой величины 0.9975, то увеличивайте n, тогда и выйдете на нужный ответ. 0

@VSI Модератор $Эксперт по математике/физике$ 5277 / 4059 / 1389 Регистрация: 30.07.2012 Сообщений: 12,429
	19.11.2023, 09:26	2
	ProstoMATH, загляните в самый низ этой страницы в раздел "Похожие темы". Может быть найдете для себя кое-какую полезную информацию... 0

@mihailm 1667 / 1107 / 294 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,406
	19.11.2023, 09:40	3
	Сообщение от ProstoMATH намекнув на то, что надо было решать через Муавра-Лапласа Ну если сказали через Муавра-Лапласа, то и решайте через него) 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10821 / 7184 / 3899 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,447
	19.11.2023, 11:35	4
	Сообщение от ProstoMATH Однако я не знаю, что делать c n в таком случае, так как оно неизвестно А как Вы тогда решали с формулой Пуассона? Результат, кстати, получили верный! Если решать с интегральной формулой Муавра-Лапласа, то получится n=81. Если использовать локальную формулу Муавра-Лапласа для суммы, то получится 109 - тоже далеко от 135. С помощью биномиального распределения получается в районе 135, как и с помощью формулы Пуассона. 0

@mihailm 1667 / 1107 / 294 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,406
	19.11.2023, 11:47	5
	Сообщение от mathmichel Результат, кстати, получили верный! точный 131 кстати 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10821 / 7184 / 3899 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,447
	19.11.2023, 11:59	6
	Сообщение от mihailm точный 131 кстати Да, по формуле Бернулли. По интегральной формуле Лапласа-Муавра сейчас перепроверил свои вычисления, получается совсем неплохо 139. 1

@ProstoMATH -6 / 0 / 0 Регистрация: 01.11.2022 Сообщений: 32
	19.11.2023, 16:21 [ТС]	7
	Сообщение от mathmichel А как Вы тогда решали с формулой Пуассона? Результат, кстати, получили верный! Если решать с интегральной формулой Муавра-Лапласа, то получится n=81. Если использовать локальную формулу Муавра-Лапласа для суммы, то получится 109 - тоже далеко от 135. С помощью биномиального распределения получается в районе 135, как и с помощью формулы Пуассона. Сообщение от mihailm Ну если сказали через Муавра-Лапласа, то и решайте через него) Так по интегральной теореме Муавра-Лапласа необходимо брать значения из таблицы функций Лапласа Ф(x). Но как взять значение функции, если для нахождения x надо знать значение n? 0

@mihailm 1667 / 1107 / 294 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,406
	19.11.2023, 16:26	8
	Сообщение от ProstoMATH если для нахождения x надо знать значение n? возьмите 100 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10821 / 7184 / 3899 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,447
	19.11.2023, 16:54	9
	Сообщение от ProstoMATH Так по интегральной теореме Муавра-Лапласа необходимо брать значения из таблицы функций Лапласа Ф(x) У Вас заданное значение Ф(х)=0.9975-0.5=0.4975 - по нему находите в таблице х=2.8, а уже из него находите n. Причём х выражается через n иррациональным образом из-за того, что он входит в сигму. 0

@ProstoMATH -6 / 0 / 0 Регистрация: 01.11.2022 Сообщений: 32
	19.11.2023, 17:07 [ТС]	10
	Это, я так понимаю, Ф(x1=0)? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10821 / 7184 / 3899 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,447
	19.11.2023, 17:19	11
	Сообщение от ProstoMATH Это, я так понимаю, Ф(x1=0)? А я уже Вас не понимаю, чему соответствует х1=0? 0

	19.11.2023, 19:02

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10821 / 7184 / 3899 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,447
	19.11.2023, 17:35	13
	Сообщение от ProstoMATH Я просто не совсем понимаю, зачем мы вычитаем из 0.9975 значение 0.5 Это связано с тем, что в подавляющем большинстве таблицы даны для симметризованной функции Лапласа, которая принимает значения между -0.5 и 0.5 (табличные значения даются для положительной части), а не между 0 и 1. 1

@ProstoMATH -6 / 0 / 0 Регистрация: 01.11.2022 Сообщений: 32
	19.11.2023, 18:25 [ТС]	16
	Сообщение от mathmichel акое впечатление, что Вы совсем не решали задачи на применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Так разве по теореме не P = Ф(x2) - Ф(x1)? Это же всё следует из определения. Я поэтому и спрашиваю про два x, так как необходима разность. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10821 / 7184 / 3899 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,447
	19.11.2023, 18:35	17
	Сообщение от ProstoMATH Я поэтому и спрашиваю про два x Вы так и не ответили на вопрос, чему соответствуют х1 и х2 по условию задачи... 0

@ProstoMATH -6 / 0 / 0 Регистрация: 01.11.2022 Сообщений: 32
	19.11.2023, 18:40 [ТС]	18
	Сообщение от mathmichel Вы так и не ответили на вопрос, чему соответствуют х1 и х2 по условию задачи... У меня была мысль взять x1, который соответствует 0 наблюдениям, а x2, который соответствует 4 наблюдениям. P = 1 - 0.9975 = 0.0025. Отталкиваться от обратного. И тут я зашёл в тупик. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10821 / 7184 / 3899 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,447
	19.11.2023, 18:51	19
	Сообщение от ProstoMATH У меня была мысль взять x1 = 0, а x2 = 4. P = 1 - 0.9975 = 0.0025. Отталкиваться от обратного Так и надо было написать с самого начала. Ход мыслей верный. Только выше я написал, что х2 не равняется 4, а выражается через это число, а ещё через неизвестную величину n. Осталось только найти соответствующее выражение для х2. Не забудьте, что по таблице значений функции Лапласа х2=-2.8 (в соответствии с Р=0.0025), что соответствует абсциссе левого хвоста функции Лапласа. 1

@ProstoMATH -6 / 0 / 0 Регистрация: 01.11.2022 Сообщений: 32
	19.11.2023, 19:02 [ТС]	20
	Вот что получается: 0.0025 = Ф((4-0.1n)/sqrt(0.10.9n)) - Ф((0-0.1n)/sqrt(0.10.9n)), если я правильно понял (4-0.1n)/sqrt(0.10.9n) = -2.8. 0