Найти матожидание

Байт · Регистрация: 24.12.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Вот такая задача возникла из этого обсуждения.
Вывод всех возможных вариантов перестановки элементов массива (рекурсия)
Есть N целей. В них стреляют случайным образом. Допустимо многократное попадание в одну цель. Промахов не бывает. Найти матожидание количества выстрелов, при котором будут поражены все цели.
Кажется, задача не очень сложная, но что-то сейчас в голову не приходит. Ощущение такое, что M чуть ли не экспотенциально зависит от N.

@jogano · 06.11.2018, 23:30

Сложная формула... Как я понял, М это количество выстрелов. И $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\geq N$ , иначе будут не поражённые мишени.
Для фиксированного М вероятность поразить все мишени равна
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{N^M-C_N^1\left(N-1 \right)^M+C_N^2\left(N-1 \right)^M+...+\left(-1 \right)^{N-1}C_N^{N-1}1^M}{N^M}=\sum_{k=0}^{N-1}\left(-1 \right)^kC_N^k\left(1-\frac{k}{N} \right)^M$ - работает формула включений/исключений.
А матожидание равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{M=N}^{+\infty}M\sum_{k=0}^{N-1}\left(-1 \right)^kC_N^k\left(1-\frac{k}{N} \right)^M$
Возможно ли это упростить - не знаю пока.

Добавлено через 4 минуты
Если это программировать, то выражение под внутренней суммой можно искать рекурсией:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_0=1; \: a_{k+1}=-\frac{N-k}{k+1} \cdot \left(1-\frac{1}{N-k} \right)^M \cdot a_k, \: k= \bar{0;N-2}$

Байт · 06.11.2018, 23:48 **[ТС]**

jogano, спасибо. То есть я не зря себе репу тер. Совсем все не просто. Но меня больше интересует даже не точная формула, а асимтотика. Хотя бы ограничения снизу.
Конечно, ваши формулы можно запрограммировать и получить первые 120 или 720 или 5040 значений. (числа - количества мишений, значения - матожидания количества выстрелов) Вот вы не видите ли каких-то простых апроксимаций?

@Mysterious Light · 07.11.2018, 00:08

Мысли вслух.

По-моему, здесь сумма геометрических процессов.
Сначала мы стреляем, пока не попадём хотя бы в одну мишень. Это X1=1 попытка.
Затем стреляем, пока не попадём в любую другую мишень. Это X2 попыток, которые распределены по (N-1)/N * 1/N^(X2-1).
Потом стреляем, пока не попадём в любую третью мишень. Это X3 попыток, распределение (N-2)/N * 2/N^(X3-1).
И так далее.
M = X1 + X2 + X3 + ...
Матожидание равно сумме матожиданий.
Матожидание Xk, распр. по (N-k)/N * k/N^(Xk-1), равно N/(N-k), наверное.
Тогда M = 1 + N/(N-1) + N/(N-2) + ... + N
Это примерно N ln(N).

Не по теме:

Личное открытие: слово вероятность происходит от слов вера и ять (брать).

@SSC · 07.11.2018, 12:47

Matlab M

[nick]Байт[/nick], может поможет программа на MATLABe для расчета вероятностей
close all;clear all; clc;
% Матожидание поражения всех мишеней
N=5040;
Mmax=90000;
PN=zeros(N+1,1); PN1=PN;
PN(1)=1;
MM=0
for M=1:Mmax   
    for k=2:N+1
        PN1(k)=PN(k-1)*(N-k+2)/N + PN(k)*(k-1)/N;
    end
        ppi(M)=PN(N)/N;
    MM=MM+M*ppi(M);
    PN=PN1;
    pNi(M)=PN(end);    
end
MM=MM/PN(end);
 
M=1:Mmax;
figure
plot(M,pNi)
grid on
xlabel('M-выстрелов');
ylabel('p-вероятность поражения всех мишеней, о.е.');
strT=sprintf('Число мишеней %d',N)
title(strT)
 
figure
plot(M,ppi)
grid on
xlabel('i-номер выстрела');
ylabel('p-вероятность поражения всех мишеней, о.е.');
strT=sprintf('Вероятность поражения всех мишеней i-тым выстрелом. Число мишеней %d. Матожидание %.2f',N,MM)
title(strT)

На рисунках результаты расчетов для различных N

Байт · 07.11.2018, 13:03 **[ТС]**

SSC, Спасибо! Результаты впечатляют. Собственно, меня интересовал не способ решения задачи, а результат. Чтобы показать полную несостоятельность одного предложенного алгоритма. Но при обсуждении выяснилось, что доказывать-то некому. Ибо неадекватность моего оппонента превзошла все мыслимые пределы.
Но вам спасибо все равно. И за проделанную работу, и за то, что вы, как и другие участники, помогли мне утвердиться в своем мнении

@SSC · 07.11.2018, 13:38

По данной задаче придумались два варианта азартной игры.
Имеется игровой кубик - 6 граней.
Задача серией последовательных бросков добиться чтобы в серии каждая грань выпала хотя бы 1 раз.
1 вариант:
Размер серии бросков 12. Если игрок за 12 бросков добивается, что каждая грань выпадет хотя бы 1 раз, то он выиграл ставку, если нет - то проиграл.
Как вариант бросаются сразу 12 кубиков.
Вероятность выигрыша у игрока - 0.4378 хуже чем в рулетку (при чет/нечет или красное/черное 0.48648), хотя кажется что вероятность выигрыша больше 1/2.
2 вариант:
Последовательно бросает кубик, за каждый бросок платит 1 монету, как только достигнет выигрыша (все грани выпали хотя бы 1 раз) получает 14 монет.
Матожидание достижения выигрыша - 14.57

Байт · 07.11.2018, 13:54 **[ТС]**

Сообщение от SSC

придумались два варианта азартной игры.

Хорошая игра! Только не отдавайте ее даром! С какого-нибудь лохоуловителя можно получить приличные бабки. И пусть он приходит на форум. Мы ему докажем, что он не переплатил

@SSC · 07.11.2018, 14:41

Игры "лохоуловителей" у меня сразу вызывают ассоциации как конь Юлий с деревом играл на угадывание цифр.

А тут можно с "живым" кубиком реализовать

Новые блоги и статьи
Счётчик на базе сумматоров + регистров и генератора сигналов согласования. Hrethgir 07.01.2025 Создан с целью проверки скорости асинхронной логики: ранее описанного сумматора и предополагаемых fast регистров. Регистры созданы на базе ранее описанного, предполагаемого fast триггера. То-есть. . .	Как перейти с Options API на Composition API в Vue.js BasicMan 06.01.2025 Почему переход на Composition API актуален В мире современной веб-разработки фреймворк Vue. js продолжает эволюционировать, предлагая разработчикам все более совершенные инструменты для создания. . .	Архитектура современных процессоров inter-admin 06.01.2025 Процессор (центральный процессор, ЦП) является основным вычислительным устройством компьютера, которое выполняет обработку данных и управляет работой всех остальных компонентов системы. Архитектура. . .	История создания реляционной модели баз данных, правила Кодда Programming 06.01.2025 Предпосылки создания реляционной модели В конце 1960-х годов компьютерная индустрия столкнулась с серьезными проблемами в области управления данными. Существовавшие на тот момент модели данных -. . .	Полезные поделки на Arduino, которые можно сделать самому raxper 06.01.2025 Arduino как платформа для творчества Arduino представляет собой удивительную платформу для технического творчества, которая открывает безграничные возможности для создания уникальных проектов. Эта. . .	Подборка решений задач на Python IT_Exp 06.01.2025 Целью данной подборки является предоставление возможности ознакомиться с различными задачами и их решениями на Python, что может быть полезно как для начинающих, так и для опытных программистов. . . .
С чего начать программировать микроконтроллеры raxper 06.01.2025 Введение в мир микроконтроллеров Микроконтроллеры стали неотъемлемой частью современного мира, окружая нас повсюду: от простых бытовых приборов до сложных промышленных систем. Эти маленькие. . .	Из чего собрать игровой компьютер inter-admin 06.01.2025 Сборка игрового компьютера требует особого внимания к выбору комплектующих и их совместимости. Правильно собранный игровой ПК не только обеспечивает комфортный геймплей в современных играх, но и. . .	Обновление сайта www.historian.by Reglage 05.01.2025 Обещал подвести итоги 2024 года для сайта. Однако начну с того, что изменилось за неделю. Добавил краткий урок по последовательности действий при анализе вредоносных файлов и значительно улучшил урок. . .	Как использовать GraphQL в C# с HotChocolate Programming 05.01.2025 GraphQL — это современный подход к разработке API, который позволяет клиентам запрашивать только те данные, которые им необходимы. Это делает взаимодействие с API более гибким и эффективным по. . .	Модель полного двоичного сумматора с помощью логических операций (python) AlexSky-coder 04.01.2025 def binSum(x:list, y:list): s=^y] p=x and y for i in range(1,len(x)): s. append((x^y)^p) p=(x and y)or(p and (x or y)) return s x=list() y=list()	Это мы не проходили, это нам не задавали...(асихронный счётчик с управляющим сигналом зад Hrethgir 04.01.2025 Асинхронный счётчик на сумматорах (шестиразрядный по числу диодов на плате, но наверное разрядов будет больше - восемь или шестнадцать, а диоды на старшие), так как триггеры прошли тестирование и. . .

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
		1
	Найти матожидание 06.11.2018, 20:30. Показов 814. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Вот такая задача возникла из этого обсуждения. Вывод всех возможных вариантов перестановки элементов массива (рекурсия) Есть N целей. В них стреляют случайным образом. Допустимо многократное попадание в одну цель. Промахов не бывает. Найти матожидание количества выстрелов, при котором будут поражены все цели. Кажется, задача не очень сложная, но что-то сейчас в голову не приходит. Ощущение такое, что M чуть ли не экспотенциально зависит от N. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	06.11.2018, 23:30	2
	Сложная формула... Как я понял, М это количество выстрелов. И $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\geq N$ , иначе будут не поражённые мишени. Для фиксированного М вероятность поразить все мишени равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{N^M-C_N^1\left(N-1 \right)^M+C_N^2\left(N-1 \right)^M+...+\left(-1 \right)^{N-1}C_N^{N-1}1^M}{N^M}=\sum_{k=0}^{N-1}\left(-1 \right)^kC_N^k\left(1-\frac{k}{N} \right)^M$ - работает формула включений/исключений. А матожидание равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{M=N}^{+\infty}M\sum_{k=0}^{N-1}\left(-1 \right)^kC_N^k\left(1-\frac{k}{N} \right)^M$ Возможно ли это упростить - не знаю пока. Добавлено через 4 минуты Если это программировать, то выражение под внутренней суммой можно искать рекурсией: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_0=1; \: a_{k+1}=-\frac{N-k}{k+1} \cdot \left(1-\frac{1}{N-k} \right)^M \cdot a_k, \: k= \bar{0;N-2}$ 2

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	06.11.2018, 23:48 [ТС]	3
	jogano, спасибо. То есть я не зря себе репу тер. Совсем все не просто. Но меня больше интересует даже не точная формула, а асимтотика. Хотя бы ограничения снизу. Конечно, ваши формулы можно запрограммировать и получить первые 120 или 720 или 5040 значений. (числа - количества мишений, значения - матожидания количества выстрелов) Вот вы не видите ли каких-то простых апроксимаций? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4300 / 2091 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,163 Записей в блоге: 24
	07.11.2018, 00:08	4
	Мысли вслух. По-моему, здесь сумма геометрических процессов. Сначала мы стреляем, пока не попадём хотя бы в одну мишень. Это X1=1 попытка. Затем стреляем, пока не попадём в любую другую мишень. Это X2 попыток, которые распределены по (N-1)/N * 1/N^(X2-1). Потом стреляем, пока не попадём в любую третью мишень. Это X3 попыток, распределение (N-2)/N * 2/N^(X3-1). И так далее. M = X1 + X2 + X3 + ... Матожидание равно сумме матожиданий. Матожидание Xk, распр. по (N-k)/N * k/N^(Xk-1), равно N/(N-k), наверное. Тогда M = 1 + N/(N-1) + N/(N-2) + ... + N Это примерно N ln(N). Не по теме: Личное открытие: слово вероятность происходит от слов вера и ять (брать). 1

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	07.11.2018, 13:03 [ТС]	6
	SSC, Спасибо! Результаты впечатляют. Собственно, меня интересовал не способ решения задачи, а результат. Чтобы показать полную несостоятельность одного предложенного алгоритма. Но при обсуждении выяснилось, что доказывать-то некому. Ибо неадекватность моего оппонента превзошла все мыслимые пределы. Но вам спасибо все равно. И за проделанную работу, и за то, что вы, как и другие участники, помогли мне утвердиться в своем мнении 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	07.11.2018, 13:38	7
	По данной задаче придумались два варианта азартной игры. Имеется игровой кубик - 6 граней. Задача серией последовательных бросков добиться чтобы в серии каждая грань выпала хотя бы 1 раз. 1 вариант: Размер серии бросков 12. Если игрок за 12 бросков добивается, что каждая грань выпадет хотя бы 1 раз, то он выиграл ставку, если нет - то проиграл. Как вариант бросаются сразу 12 кубиков. Вероятность выигрыша у игрока - 0.4378 хуже чем в рулетку (при чет/нечет или красное/черное 0.48648), хотя кажется что вероятность выигрыша больше 1/2. 2 вариант: Последовательно бросает кубик, за каждый бросок платит 1 монету, как только достигнет выигрыша (все грани выпали хотя бы 1 раз) получает 14 монет. Матожидание достижения выигрыша - 14.57 1

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	07.11.2018, 13:54 [ТС]	8
	Сообщение от SSC придумались два варианта азартной игры. Хорошая игра! Только не отдавайте ее даром! С какого-нибудь лохоуловителя можно получить приличные бабки. И пусть он приходит на форум. Мы ему докажем, что он не переплатил 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	07.11.2018, 14:41	9
	Игры "лохоуловителей" у меня сразу вызывают ассоциации как конь Юлий с деревом играл на угадывание цифр. А тут можно с "живым" кубиком реализовать 0