Представить выражение в виде, содержащем матрицы Паули

@grand_snu · Регистрация: 30.03.2011

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Задача 5.20 из задачника Галицкий Карнаков Коган 1981г.

Представить выражение (σˆ1σˆ2)^2 в виде, содержащем матрицы Паули σˆ1,2 в степени не выше первой. Индексы 1,2 у матриц обозначают, что эти матрицы являются операторами. действующими в пространстве спиновых переменных 1-й и 2-й частиц.

@Зритель · 03.12.2011, 02:49

Сообщение от grand_snu

Задача 5.20 ...

Страшная задача

. Да еще с решением! Смотрели его?
Поясняю решение. Два электрона. Каким может быть спин? S=0 или S=1. Собств. числа квадрата вектора спина $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec S = \frac{1}{2}\left( {{{ \vec \sigma }_1} + {{\vec \sigma }_2}} \right)$ равны (как и для орбитального момента, см. свои лекции) S(S+1):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{ \vec S}^2}{\psi _S} = S(S + 1){\psi _S}$
Внимание! Редактор формул на форуме операторных шляпок (\hat) совместно со стрелочкой вектора (\vec) не передает. (Кстати, надо будет об этом потом спросить модератора, или в здешнюю тех.поддержку обратиться.) Поэтому над векторами шляпок не ставлю.
Дальше.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{array}{l} {{\vec S}^2} = {\left( {\frac{1}{2}\left( {{{\vec \sigma }_1} + {{\vec \sigma }_2}} \right)} \right)^2} = \frac{1}{4}(\vec \sigma _1^2 + \vec \sigma _2^2 + 2{{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2}) = \frac{1}{4}(\hat \sigma _{1x}^2 + \hat \sigma _{1y}^2 + \hat \sigma _{1z}^2 + \hat \sigma _{2x}^2 + \hat \sigma _{2y}^2 + \hat \sigma _{2z}^2 + 2{{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2}) = \\ = \frac{1}{4}(6 + 2{{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2}) \\ \end{array}$
- потому что квадраты всех матриц Паули = 1. Отсюда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat K = {{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2} = 2{{\vec S}^2} - 3$
Поэтому собственные числа этого произведения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2}{\psi _S} = \left(2 {S(S + 1) - 3} \right){\psi _S}$
равны
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{array}{l} {\left( {{{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2}} \right)_0} = 0 - 3 = - 3 \\ {\left( {{{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2}} \right)_1} = 2 \cdot 1 \cdot 2 - 3 = 1 \\ \end{array}$
Характеристический многочлен оператора К
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\lambda + 3)(\lambda - 1) = 0$
А по теореме Гамильтона-Кэли этому же уравнению удовлетворяет и сам оператор К:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\hat K + 3)(\hat K - 1) = 0$
Или
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2} + 3)({{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2} - 1) = 0$
Или
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left( {{{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2}} \right)^2} = 3 - 2{{\vec \sigma }_1} \cdot {{\vec \sigma }_2}$
Что и требовалось.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

@grand_snu 0 / 0 / 0 Регистрация: 30.03.2011 Сообщений: 7

	Представить выражение в виде, содержащем матрицы Паули 02.12.2011, 04:45. Показов 1416. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Задача 5.20 из задачника Галицкий Карнаков Коган 1981г. Представить выражение (σˆ1σˆ2)^2 в виде, содержащем матрицы Паули σˆ1,2 в степени не выше первой. Индексы 1,2 у матриц обозначают, что эти матрицы являются операторами. действующими в пространстве спиновых переменных 1-й и 2-й частиц. 0