Парадокс с возведением в степень

Здравствуйте, уважаемые математики!
Во многих школьных учебниках рациональная степень определяется только для неотрицательных чисел. Например, число 8 можно возвести в степень с показателем 1/3 (что равноценно действию кубического корня с ответом 2), но число (-8) в степень с показателем 1/3 возводить нельзя. В хороших учебниках (например, учебник АЛГЕБРА 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков) можно прочитать и обоснование этого ограничения: поскольку 1/3 = 2/6, то должно выполняться равенство (-8)^1/3 = (-8)^2/6. Однако слева ответом должно быть число -2, тогда как справа - число 2! Чтобы избежать такой неувязки, в определение степени с дробным показателем и вводится ограничение: основание степени должно быть неотрицательным числом.
А теперь мой вопрос. По той же причине, мы не можем непротиворечиво возводить отрицательные числа даже в целую степень, например, в 1-ю или 3-ю! Например, (-2)^1 = -2, но 1 = 2/2, поэтому должно выполняться равенство (-2)^1 = (-2)^2/2. На самом деле справа ответом должно быть число +2 (корень квадратный из -2 в квадрате). Значит, по тем же соображениям, что и для дробных степеней, мы должны запретить возводить отрицательные числа и в целые степени (по крайней мере нечётные), что явно обсурд! Получается странная ситуация с возведением отрицательных чисел в любую степень, не только дробную. Как же все это урегулировать?

0

Эта тема уже обсуждалась на форуме Свойства степеней с рациональным показателем

1

Сообщение от Hagrael Получается странная ситуация с возведением отрицательных чисел в любую степень, не только дробную.

Действительно. Хотя, конечно можно найти такое число, что при возведении в куб получится -8 (это число есть -2), но при отрицательных основаниях показательная функция ведет себя чуднО. Так, не выполняется соотношение x^ab = (x^a)^b

Сообщение от Hagrael Как же все это урегулировать?

Очень просто! Запретить использование оснований <= 0. Что и сделано в определении показательной функции. И тогда она ведет себя вполне достойно.
Конечно, вы можете написать (-8)^1/3 Но не ждите тогда выполнения естественных соотношений

1

Я, конечно, смирился с ограничением при возведении в дробную степень (т.е. что основание должно быть положительным). Но ведь проблема остается даже при возведении отрицательного числа в ЦЕЛУЮ (!) степень! Вот пример: (-2)^1 = -2, так? Но 1 = 2/2, так? Значит, должно быть (-2)^(2/2) = -2, так? Но с другой стороны, это корень квадратный из (-2) в квадрате, т.е. 2, а не -2!
Чтобы было яснее. Допустим, нам надо решить уравнение х^(2/2) = -2. Любой нормальный человек понимает, что 2/2 - это 1, и перепишет это уравнение в виде х^1 = -2, т.е. получит решение х = -2. Но если подставить это решение в исходное уравнение и вспомнить, что слева - корень из квадрата х, то отрицательный ответ получиться не может и у такого уравнения решений нет! Где же истина???

0

Hagrael, сразу вспомнилась цитата из башорга, очень точно отражающая данную ситуацию:

Оригинал тут.

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от Hagrael Но ведь проблема остается даже при возведении отрицательного числа в ЦЕЛУЮ (!) степень! Вот пример: (-2)^1 = -2, так? Но 1 = 2/2, так? Значит, должно быть (-2)^(2/2) = -2, так? Но с другой стороны, это корень квадратный из (-2) в квадрате, т.е. 2, а не -2!

Кстати говоря, проблемы нет. В поле целых чисел рациональных чисел не существует. И, следовательно, 1=2/2 - бред бритой гоминиды.

1

Сообщение от Hagrael По той же причине, мы не можем непротиворечиво возводить отрицательные числа даже в целую степень

Hagrael, здесь нет противоречия, если вспомнить, что операция возведения в степень не коммутативна. То есть:
(aⁿ)^k не равно (a^k)ⁿ для любого a, k, n. Поэтому, продемонстрированный вами приём, последовательного возведения в четную степень и извлечение четного корня того же порядка - не корректен. Легко показать, что он сводится к нахождению модуля (по определению). Но, если модуль определен для любого действительного числа, то квадратный корень, - только для неотрицательных действительных чисел.

0