Вычислить интеграл методом трапеций

@Викочка3115 · Регистрация: 16.08.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Дана непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x). Используя метод трапеций приближенного вычисления интеграла, шаг интегрирования h=0,01. Для вычисления подынтегральной функции f(x) написать пользовательскую функцию. f (x) =e^x sin x x [0; 3.14 / 2] . Результат вычисления вывести на экран.

@udmurt2024 · 17.11.2024, 10:36

Pascal

function f(x:real):real;
begin
  f:=exp(x)*sin(x);
end;
var a,b,h,s,x,y1,y2:real;
begin
  a:=0;
  b:=Pi/2;
  h:=0.01;
  s:=0;
  y1:=f(a);
  x:=a+h;
  while x<=b do
  begin
    y2:=f(x);
    s:=s+y1+y2;
    y1:=y2;
    x:=x+h;
  end;
  s:=s*h/2;
  writeln('S=',s);//2.90144125781108
end.

@Cyborg Drone · 17.11.2024, 22:39

udmurt2024, а где Вы в задании увидели π? 3.14 - это очень приблизительное π. И шаг 0.01 как бы намекает, что формула должна быть составной (подынтервалы должны быть равными), иначе это как-то плохо укладывается в обычные учебные задания.

Хотя...

Хотя, кто знает, сейчас не уделяется особого внимания строгости рассуждений (учат "по понятиям", а не тому, как оно есть на самом деле...). Вполне возможно, что π=3.14 и одновременно π=4... Кто ж его знает... Мне жалко моих внуков, им вывернули мозги и наблевали в уши.

Да и вообще... Можно и проще, и быстрее, с помощью формулы Котеса:

Pascal

function f(x: real): real;
begin
  f := exp(x) * sin(x)
end;
 
const
  a = 0;
  b = 3.14 / 2;
  h = 0.01;
var
  s: real;
  i: integer;
begin
  s := (f(a) + f(b)) / 2;
  for i := 1 to trunc((b - a) / h - 1) do s := s + f(a + h * i);
  s := s * h;
  writeln('S = ', s:0:14); //2.90144125781108
  readln
end.

На всякий случай. Этот интеграл можно вычислить аналитически:

Аналитическое решение, точный ответ 2.90140950369712623995...

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int e^x\sin(x)\operatorname{d}x $

Интегрируем по частям. Пусть

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? U=\sin (x)\\dV=e^xdx $

Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? dU=\cos (x)\\V=e^x $

Получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int e^x\sin(x)\operatorname{d}x=e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)\operatorname{d}x $

Проинтегрируем по частям интеграл из правой части:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int e^x\cos(x)\operatorname{d}x\\U=\cos(x)\\dU=-\sin(x)dx\\V=e^x\\dV=e^xdx\\\int e^x\cos(x)\operatorname{d}x=e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)\operatorname{d}x$

Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int e^x\sin(x)\operatorname{d}x=e^x\sin(x)-e^x\cos(x)-\int e^x\sin(x)\operatorname{d}x $

Возвратный интеграл. Вот и славненько. Окончательно получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int e^x\sin(x)\operatorname{d}x=\frac{e^x\left( sin(x)-\cos(x)\right)}{2} $

Вычисляем определённый интеграл:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{0}^{\frac{3.14}{2}} e^x\sin(x)\operatorname{d}x=\left. \frac{e^x\left( sin(x)-\cos(x)\right)}{2}\right|_{0}^{\frac{3.14}{2}}= 2.90140950369712623995... $

Лёгкое несоответствие (ну очень лёгкое) между нашими ответами возникает из-за разницы (f(π/2)-f(3.14/2))/2, а ошибка порядка 10^-5 относительно точного решения возникает из-за ошибки составной формулы метода трапеций

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? E(f)=\begin{vmatrix}\frac{(b-a)h^2}{12}\max _{x\in [a,\,b]}f^{''}(x)\end{vmatrix} $

@Викочка3115 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.08.2016 Сообщений: 132
		1
	Вычислить интеграл методом трапеций 17.11.2024, 09:05. Показов 294. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Дана непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x). Используя метод трапеций приближенного вычисления интеграла, шаг интегрирования h=0,01. Для вычисления подынтегральной функции f(x) написать пользовательскую функцию. f (x) =e^x sin x x [0; 3.14 / 2] . Результат вычисления вывести на экран. 0

	17.11.2024, 22:39

Вычислить интеграл методом трапеций

Решение