Проверить справедливость соотношения

@Ciber_Woolf · Регистрация: 14.09.2019

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Не могу написать программу в паскале, задали лабораторную работу.

Проверить справедливость соотношения.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=cos(x)+\frac{cos(3x)}{{3}^{2}}+\frac{cos(5x)}{{5}^{2}}+...+\frac{cos((2n-1)x)}{{(2n-1)}^{2}}$
с точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\epsilon={10}^{-4}$
Точное значение функции
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{{\pi}^{2}}{8}-\frac{\pi}{4}\cdot|x|$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{\pi}{5}\left(\frac{\pi}{10} \right\)\pi$

Поправил числитель в последнем члене ряда.

Вложение 1066710

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
const e=0.0001;
function S(x:real):real;
var t,y:real;
    n:integer;
begin
n:=1;
t:=cos(x);
y:=t;
while abs(t)>e do
 begin
  inc(n);
  t:=cos((2*n-1)*x)/sqr(2*n-1);
  y:=y+t;
 end;
S:=y;
end;
function Y(x:real):real;
begin
Y:=sqr(pi)/8-pi*abs(x)/4;
end;
var x:real;
begin
x:=pi/5;
while x<=pi do
 begin
  writeln('x=',x:0:2,' S=',S(x):7:4,' Y=',Y(x):7:4);
  x:=x+pi/10;
 end;
end.

@Cyborg Drone · 23.11.2019, 05:21

Вопрос в том, изучали ли Вы числовые и функциональные ряды, или нет.

Если не изучали, то Ваша программа для сдачи подойдёт. Только сообщите Вашему преподавателю, что я Вам сказал, что применён неверный критерий окончания вычисления суммы ряда, и поэтому программа выдаёт неверный результат.

Если изучали, то Вы не до конца продумали решение задачи.

Что же не так? Вы неверно применили признак Лейбница.

Во-первых, этот признак применим только для знакочередующихся рядов, а Ваш ряд - не знакочередующийся, а знакопеременный.

Во-вторых, признак Лейбница - это "сумма остатка знакочередующегося ряда меньше некоторой величины, если любой член остатка ряда меньше некоторой величины", а не "сумма остатка знакочередующегося ряда меньше некоторой величины, если первый член остатка ряда меньше некоторой величины". Последнее тоже верно, но только для рядов, у которых модули членов ряда монотонно убывают. Модули членов Вашего ряда не убывают монотонно из-за косинуса в числителе.

Именно для Вашего ряда, оценка величины суммы остатка ряда получается ужас какая громоздкая. Для размышления: Wolfram MathWorld - Multiple-Angle Formulas. То есть, как-то преобразовать ряд с целью избавления от косинуса кратного угла весьма затруднительно. Но - не беда, можно найти подходящий критерий оценки величины суммы остатка ряда.

Моё решение.

Итак, есть ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos \left( (2n-1)x\right)}{(2n-1)^2} $

Числитель общего члена ряда по модулю не превосходит 1. Нагло заменим всякие там косинусы на 1, получим ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)^2} $

Что можно сказать про этот ряд? Он знакопостоянный и сходится. Точное значение суммы этого ряда равно π²/8 (это так, для справки).

Но не это главное. Главное, что k-ый член этого ряда не меньше, чем модуль k-ого члена Вашего ряда, и поэтому k-ый остаток этого ряда не меньше k-ого остатка Вашего ряда, и, ели k-й остаток этого ряда будет меньше ε, то и k-й остаток Вашего ряда будет меньше ε. Осталось найти это самое k, и просуммировать k членов Вашего ряда. Тогда сумма Вашего ряда будет найдена с точностью не хуже ε.

"Наглый" ряд - знакопостоянный, поэтому оценим его остаток по интегральному признаку Коши-Маклорена (Википедия - Интегральный признак Коши-Маклорена):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? R_k\leq \int_{n=k}^{\infty }\frac{\operatorname{d}n}{(2n-1)^2}=\left.-\frac{1}{2(2n-1)}\right|_k^{\infty }=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( -\frac{1}{2(2n-1)}\right)+\frac{1}{2(2k-1)}=\frac{1}{2(2k-1)} $

Получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? R_k\leq \frac{1}{2(2k-1)}\leq \varepsilon \ \Rightarrow \ \boxed{k\geq \frac{4}{\varepsilon }+8} $

Замечу, что полученное "k" никак не зависит от "x", потому что от икс я избавился вместе с косинусом. При ε=10^-4 получится k=40008.

Теперь можно подрихтовать Вашу программу:

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
const
  e = 1e-4;
  k = round(4 / e + 8);
 
function S(x: real): real;
var
  y: real;
  n: integer;
begin
  y := 0;
  for n := 1 to k do y := y + cos(2 * x * (n - 0.5)) / 4 / (n - 0.5) / (n - 0.5);
  S := y
end;
 
function Y(x: real): real;
begin
  Y := pi * (pi / 2 - abs(x)) / 4
end;
 
var
  x: real;
 
begin
  x := pi / 5;
  while x <= pi do
    begin
      writeln('x = ', x:0:4, ' S = ', S(x):7:4, ' Y=',  Y(x):7:4);
      x := x + pi / 10
    end;
  readln
end.

В программе я, что можно, повыносил за скобки, и не возводил целые числа в квадрат во избежание целочисленного переполнения, поскольку (2k-1)²=80015²=6402400225 больше, чем maxint=2³¹-1=2147483647.

На мой вкус, так как в задании указано "проверить справедливость соотношения", я бы результат этого самого соотнрошения тоже бы вывел на печать, если без существенных переделок, то так, например:

Pascal
25
      writeln('x = ', x:0:4, ' S = ', S(x):7:4, ' Y=',  Y(x):7:4, abs(S(x) - Y(x)) < e:6);

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/	WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .	Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и источниками (напряжения, ЭДС и тока). Найти токи и напряжения во всех элементах. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и. . .

Проверить справедливость соотношения

Решение