Проверить справедливость соотношения

@Ciber_Woolf · Регистрация: 14.09.2019

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Не могу написать программу в паскале, задали лабораторную работу.

Проверить справедливость соотношения.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=cos(x)+\frac{cos(3x)}{{3}^{2}}+\frac{cos(5x)}{{5}^{2}}+...+\frac{cos((2n-1)x)}{{(2n-1)}^{2}}$
с точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\epsilon={10}^{-4}$
Точное значение функции
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{{\pi}^{2}}{8}-\frac{\pi}{4}\cdot|x|$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{\pi}{5}\left(\frac{\pi}{10} \right\)\pi$

Поправил числитель в последнем члене ряда.

Вложение 1066710

Pascal    
        
            
                
                
                
                
            
        
    Скопировано
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
const e=0.0001;
function S(x:real):real;
var t,y:real;
    n:integer;
begin
n:=1;
t:=cos(x);
y:=t;
while abs(t)>e do
 begin
  inc(n);
  t:=cos((2*n-1)*x)/sqr(2*n-1);
  y:=y+t;
 end;
S:=y;
end;
function Y(x:real):real;
begin
Y:=sqr(pi)/8-pi*abs(x)/4;
end;
var x:real;
begin
x:=pi/5;
while x<=pi do
 begin
  writeln('x=',x:0:2,' S=',S(x):7:4,' Y=',Y(x):7:4);
  x:=x+pi/10;
 end;
end.

@Cyborg Drone · 23.11.2019, 05:21

Вопрос в том, изучали ли Вы числовые и функциональные ряды, или нет.

Если не изучали, то Ваша программа для сдачи подойдёт. Только сообщите Вашему преподавателю, что я Вам сказал, что применён неверный критерий окончания вычисления суммы ряда, и поэтому программа выдаёт неверный результат.

Если изучали, то Вы не до конца продумали решение задачи.

Что же не так? Вы неверно применили признак Лейбница.

Во-первых, этот признак применим только для знакочередующихся рядов, а Ваш ряд - не знакочередующийся, а знакопеременный.

Во-вторых, признак Лейбница - это "сумма остатка знакочередующегося ряда меньше некоторой величины, если любой член остатка ряда меньше некоторой величины", а не "сумма остатка знакочередующегося ряда меньше некоторой величины, если первый член остатка ряда меньше некоторой величины". Последнее тоже верно, но только для рядов, у которых модули членов ряда монотонно убывают. Модули членов Вашего ряда не убывают монотонно из-за косинуса в числителе.

Именно для Вашего ряда, оценка величины суммы остатка ряда получается ужас какая громоздкая. Для размышления: Wolfram MathWorld - Multiple-Angle Formulas. То есть, как-то преобразовать ряд с целью избавления от косинуса кратного угла весьма затруднительно. Но - не беда, можно найти подходящий критерий оценки величины суммы остатка ряда.

Моё решение.

Итак, есть ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos \left( (2n-1)x\right)}{(2n-1)^2} $

Числитель общего члена ряда по модулю не превосходит 1. Нагло заменим всякие там косинусы на 1, получим ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)^2} $

Что можно сказать про этот ряд? Он знакопостоянный и сходится. Точное значение суммы этого ряда равно π²/8 (это так, для справки).

Но не это главное. Главное, что k-ый член этого ряда не меньше, чем модуль k-ого члена Вашего ряда, и поэтому k-ый остаток этого ряда не меньше k-ого остатка Вашего ряда, и, ели k-й остаток этого ряда будет меньше ε, то и k-й остаток Вашего ряда будет меньше ε. Осталось найти это самое k, и просуммировать k членов Вашего ряда. Тогда сумма Вашего ряда будет найдена с точностью не хуже ε.

"Наглый" ряд - знакопостоянный, поэтому оценим его остаток по интегральному признаку Коши-Маклорена (Википедия - Интегральный признак Коши-Маклорена):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? R_k\leq \int_{n=k}^{\infty }\frac{\operatorname{d}n}{(2n-1)^2}=\left.-\frac{1}{2(2n-1)}\right|_k^{\infty }=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( -\frac{1}{2(2n-1)}\right)+\frac{1}{2(2k-1)}=\frac{1}{2(2k-1)} $

Получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? R_k\leq \frac{1}{2(2k-1)}\leq \varepsilon \ \Rightarrow \ \boxed{k\geq \frac{4}{\varepsilon }+8} $

Замечу, что полученное "k" никак не зависит от "x", потому что от икс я избавился вместе с косинусом. При ε=10^-4 получится k=40008.

Теперь можно подрихтовать Вашу программу:

Pascal    
        
            
                
                
                
                
            
        
    Скопировано
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
const
  e = 1e-4;
  k = round(4 / e + 8);
 
function S(x: real): real;
var
  y: real;
  n: integer;
begin
  y := 0;
  for n := 1 to k do y := y + cos(2 * x * (n - 0.5)) / 4 / (n - 0.5) / (n - 0.5);
  S := y
end;
 
function Y(x: real): real;
begin
  Y := pi * (pi / 2 - abs(x)) / 4
end;
 
var
  x: real;
 
begin
  x := pi / 5;
  while x <= pi do
    begin
      writeln('x = ', x:0:4, ' S = ', S(x):7:4, ' Y=',  Y(x):7:4);
      x := x + pi / 10
    end;
  readln
end.

В программе я, что можно, повыносил за скобки, и не возводил целые числа в квадрат во избежание целочисленного переполнения, поскольку (2k-1)²=80015²=6402400225 больше, чем maxint=2³¹-1=2147483647.

На мой вкус, так как в задании указано "проверить справедливость соотношения", я бы результат этого самого соотнрошения тоже бы вывел на печать, если без существенных переделок, то так, например:

Pascal    
        
    Скопировано
25
      writeln('x = ', x:0:4, ' S = ', S(x):7:4, ' Y=',  Y(x):7:4, abs(S(x) - Y(x)) < e:6);

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .

Проверить справедливость соотношения

Решение