Странный Гессиан

@Potanin · Регистрация: 27.10.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день! Решал следующую задачу:
Нужно найти экстремумы функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}$ при ограничении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}+e^{y}-5=0$ .

Нашел функцию Лагранжа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}+\lambda(e^{x}+e^{y}-5)$ . По системе частных производных функции Лагранжа приравненных к нулю нашел, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}=2; e^{y}=3; \lambda=-1$ . Составил матрицу квадратичной формы из вторых дифференциалов функции Лагранжа (её Гессиан). Получилась следующая картина:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} e^{x+y}-2e^{x}+\lambda e^{x}&e^{x+y}\\ e^{x+y}&e^{x+y}-e^{y}+\lambda e^{y}\\ \end{pmatrix}$

Соответственно, в найденной, подозрительной на экстремум точке получил:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 0&6\ 6&0\\ \end{pmatrix}$

По критерию Сильвестра, поскольку второй главный минор отрицательный (0*0-6*6=-36), то данная форма не является отрицательно знакоорпделенной и следовательно эта точка не может быть максимумом. Но, в ответе, а также при проверке через wolframalpha (команда maximize e^(x+y)-2e^x-e^y on e^x+e^y-5=0) оказывается, что это точка локального максимума. Подскажите, пожалуйста, в чем может быть загвоздка. Может ли в данном случае критерий Сильвестра дать сбой? Что в таком случае предпринимать?

@mathmichel · 03.02.2015, 14:20

Не то написал

Добавлено через 10 минут
Ошибок не нашел. Сам по себе критерий Сильвестра не может давать сбой, так как очевидно, что матрица Гессе в этой точке является знаконеопределенной с собственными значениями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 6$ .

@Potanin · 03.02.2015, 14:27 **[ТС]**

Однако, если проверить в wolframalpha (можно и любой иной программой) то все-таки локальный максимум существует и располагается именно в этой точке. Следовательно, должна быть какая-то подоплека, позволяющая вопреки отсутствию знакоопределенности матрицы в этой точки установить то что последняя все-таки является локальным максимумом. Вопрос в том, как это сделать.

@mathmichel · 03.02.2015, 14:34

У Вас задача на условный экстремум, в этом случае критерии наличия экстремума усложняются - надо выписывать матрицу Гессе уже третьего порядка с производными по трем переменным!

@Potanin · 03.02.2015, 14:41 **[ТС]**

Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал?

@mathmichel · 03.02.2015, 14:47

Достаточно взять определитель этой новой матрицы Гессе со знаком минус. Если это число меньше 0, то это максимум. Сейчас проверил, он равен -60 в этой точке, т.е. критерий максимума выполняется!

@Potanin · 03.02.2015, 14:50 **[ТС]**

Большое спасибо, не знал о таком способе, крайне признателен! Не могли бы вы, пожалуйста, скинуть ссылку где бы можно было почитать про это подробнее? А то везде где я смотрел описывался не верный способ, которым я раньше пользовался, и нигде не было внятного доказательства или пояснения этого метода.

@mathmichel · 03.02.2015, 14:52

Сообщение от Potanin

Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал?

В случае условного экстремума критерии несколько меняются - матрица Гессе может оказаться знаконеопределенной. Посмотрите лекцию Волченко: http://math.volchenko.com/Lectures/ExtremN.pdf

@Potanin · 03.02.2015, 20:04 **[ТС]**

Еще раз большое спасибо! Пятая теорема оказалась именно тем, что нужно. Теперь, дополнительно, стало ясно как решать задачи с произвольным числом множителей Лагранжа.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .	Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .	Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .
JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .	Мультитенантная архитектура со SpringBoot и PostgreSQL ArchitectMsa 29.03.2025 SaaS-приложения редко обслуживают одного клиента и обычно они должны поддерживать множество организаций, каждая из которых работает в своём изолированном пространстве. Мультитенантная архитектура. . .	std::span в C++: Производительность и лучшие практики NullReferenced 28.03.2025 std::span — одно из самых недооценённых нововведений стандарта C++20, которое радикально меняет подход к работе с непрерывными последовательностями данных. По сути, это невладеющее представление. . .	Многопоточность в C#: Threadpool UnmanagedCoder 28.03.2025 Пул потоков в C# — это коллекция заранее созданных и готовых к использованию потоков, которые находятся в распоряжении приложения. Вместо того чтобы создавать и уничтожать потоки для каждой небольшой. . .	Вопросы на собеседованиях по микросервисам ArchitectMsa 27.03.2025 Работодатели ищут не просто разработчиков, знающих базовые концепции, а специалистов, разбирающихся в тонкостях масштабирования, отказоустойчивости и производительности. Сейчас на первый план выходят. . .

Странный Гессиан

Решение

Решение

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95

	Странный Гессиан 03.02.2015, 13:04. Показов 1986. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Добрый день! Решал следующую задачу: Нужно найти экстремумы функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}$ при ограничении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}+e^{y}-5=0$ . Нашел функцию Лагранжа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}+\lambda(e^{x}+e^{y}-5)$ . По системе частных производных функции Лагранжа приравненных к нулю нашел, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}=2; e^{y}=3; \lambda=-1$ . Составил матрицу квадратичной формы из вторых дифференциалов функции Лагранжа (её Гессиан). Получилась следующая картина: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> e^{x+y}-2e^{x}+\lambda e^{x}&e^{x+y}\\<br /> e^{x+y}&e^{x+y}-e^{y}+\lambda e^{y}\\<br /> \end{pmatrix}$ Соответственно, в найденной, подозрительной на экстремум точке получил: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> 0&6\ <br /> 6&0\\<br /> \end{pmatrix}$ По критерию Сильвестра, поскольку второй главный минор отрицательный (00-66=-36), то данная форма не является отрицательно знакоорпделенной и следовательно эта точка не может быть максимумом. Но, в ответе, а также при проверке через wolframalpha (команда maximize e^(x+y)-2e^x-e^y on e^x+e^y-5=0) оказывается, что это точка локального максимума. Подскажите, пожалуйста, в чем может быть загвоздка. Может ли в данном случае критерий Сильвестра дать сбой? Что в таком случае предпринимать? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10868 / 7219 / 3913 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,528
	03.02.2015, 14:20
	Не то написал Добавлено через 10 минут Ошибок не нашел. Сам по себе критерий Сильвестра не может давать сбой, так как очевидно, что матрица Гессе в этой точке является знаконеопределенной с собственными значениями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 6$ . 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 14:27 [ТС]
	Однако, если проверить в wolframalpha (можно и любой иной программой) то все-таки локальный максимум существует и располагается именно в этой точке. Следовательно, должна быть какая-то подоплека, позволяющая вопреки отсутствию знакоопределенности матрицы в этой точки установить то что последняя все-таки является локальным максимумом. Вопрос в том, как это сделать. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10868 / 7219 / 3913 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,528
	03.02.2015, 14:34
	У Вас задача на условный экстремум, в этом случае критерии наличия экстремума усложняются - надо выписывать матрицу Гессе уже третьего порядка с производными по трем переменным! 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 14:41 [ТС]
	Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10868 / 7219 / 3913 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,528
	03.02.2015, 14:47
	Сообщение было отмечено Potanin как решение Решение Достаточно взять определитель этой новой матрицы Гессе со знаком минус. Если это число меньше 0, то это максимум. Сейчас проверил, он равен -60 в этой точке, т.е. критерий максимума выполняется! 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 14:50 [ТС]
	Большое спасибо, не знал о таком способе, крайне признателен! Не могли бы вы, пожалуйста, скинуть ссылку где бы можно было почитать про это подробнее? А то везде где я смотрел описывался не верный способ, которым я раньше пользовался, и нигде не было внятного доказательства или пояснения этого метода. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10868 / 7219 / 3913 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,528
	03.02.2015, 14:52
	Сообщение было отмечено Potanin как решение Решение Сообщение от Potanin Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал? В случае условного экстремума критерии несколько меняются - матрица Гессе может оказаться знаконеопределенной. Посмотрите лекцию Волченко: http://math.volchenko.com/Lectures/ExtremN.pdf 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 20:04 [ТС]
	Еще раз большое спасибо! Пятая теорема оказалась именно тем, что нужно. Теперь, дополнительно, стало ясно как решать задачи с произвольным числом множителей Лагранжа. 0