Странный Гессиан

@Potanin · Регистрация: 27.10.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день! Решал следующую задачу:
Нужно найти экстремумы функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}$ при ограничении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}+e^{y}-5=0$ .

Нашел функцию Лагранжа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}+\lambda(e^{x}+e^{y}-5)$ . По системе частных производных функции Лагранжа приравненных к нулю нашел, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}=2; e^{y}=3; \lambda=-1$ . Составил матрицу квадратичной формы из вторых дифференциалов функции Лагранжа (её Гессиан). Получилась следующая картина:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} e^{x+y}-2e^{x}+\lambda e^{x}&e^{x+y}\\ e^{x+y}&e^{x+y}-e^{y}+\lambda e^{y}\\ \end{pmatrix}$

Соответственно, в найденной, подозрительной на экстремум точке получил:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 0&6\ 6&0\\ \end{pmatrix}$

По критерию Сильвестра, поскольку второй главный минор отрицательный (0*0-6*6=-36), то данная форма не является отрицательно знакоорпделенной и следовательно эта точка не может быть максимумом. Но, в ответе, а также при проверке через wolframalpha (команда maximize e^(x+y)-2e^x-e^y on e^x+e^y-5=0) оказывается, что это точка локального максимума. Подскажите, пожалуйста, в чем может быть загвоздка. Может ли в данном случае критерий Сильвестра дать сбой? Что в таком случае предпринимать?

@mathmichel · 03.02.2015, 14:20

Не то написал

Добавлено через 10 минут
Ошибок не нашел. Сам по себе критерий Сильвестра не может давать сбой, так как очевидно, что матрица Гессе в этой точке является знаконеопределенной с собственными значениями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 6$ .

@Potanin · 03.02.2015, 14:27 **[ТС]**

Однако, если проверить в wolframalpha (можно и любой иной программой) то все-таки локальный максимум существует и располагается именно в этой точке. Следовательно, должна быть какая-то подоплека, позволяющая вопреки отсутствию знакоопределенности матрицы в этой точки установить то что последняя все-таки является локальным максимумом. Вопрос в том, как это сделать.

@mathmichel · 03.02.2015, 14:34

У Вас задача на условный экстремум, в этом случае критерии наличия экстремума усложняются - надо выписывать матрицу Гессе уже третьего порядка с производными по трем переменным!

@Potanin · 03.02.2015, 14:41 **[ТС]**

Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал?

@mathmichel · 03.02.2015, 14:47

Достаточно взять определитель этой новой матрицы Гессе со знаком минус. Если это число меньше 0, то это максимум. Сейчас проверил, он равен -60 в этой точке, т.е. критерий максимума выполняется!

@Potanin · 03.02.2015, 14:50 **[ТС]**

Большое спасибо, не знал о таком способе, крайне признателен! Не могли бы вы, пожалуйста, скинуть ссылку где бы можно было почитать про это подробнее? А то везде где я смотрел описывался не верный способ, которым я раньше пользовался, и нигде не было внятного доказательства или пояснения этого метода.

@mathmichel · 03.02.2015, 14:52

Сообщение от Potanin

Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал?

В случае условного экстремума критерии несколько меняются - матрица Гессе может оказаться знаконеопределенной. Посмотрите лекцию Волченко: http://math.volchenko.com/Lectures/ExtremN.pdf

@Potanin · 03.02.2015, 20:04 **[ТС]**

Еще раз большое спасибо! Пятая теорема оказалась именно тем, что нужно. Теперь, дополнительно, стало ясно как решать задачи с произвольным числом множителей Лагранжа.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Сайт компании Red-Star-Soft переехал на новый хостинг! Etyuhibosecyu 06.03.2025 Как и советовал Rius, я покинул хостинг от "Ru-Center" и перенес сайт red-star-soft. com на хостинг с более позитивными отзывами (спойлер: найти его было далеко не просто) (чтобы прочитать текст,. . .	Альтернативная сериализация в Java: сравнение Kryo, Protobuf и Avro Jamaican 06.03.2025 Сериализация — один из краеугольных процессов в Java-разработке. Превращение объектов в поток байтов для хранения или передачи по сети с последующим восстановлением звучит просто, но реализация этого. . .	Битва Java-кешей: Сравниваем Ehcache, Caffeine и Hazelcast Jamaican 06.03.2025 Производительность — вечный Святой Грааль для Java-разработчиков. Мы оптимизируем алгоритмы, настраиваем JVM, распараллеливаем процессы, но неизменно приходим к одному и тому же средству ускорения —. . .	Параметры подтверждения сообщения Kafka Jamaican 06.03.2025 Среди распределённых систем и высоконагруженных приложений Apache Kafka занимает особое место. Эта платформа потоковой обработки данных давно стала стандартом де-факто для организаций, которым. . .	Оптимизация времени запуска Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Вы когда-нибудь сидели, барабаня пальцами по столу, пока ваше Spring Boot приложение медленно поднимается? Этот момент, когда вы успеваете сходить за кофе, пообщаться с коллегами и вернуться, а. . .
Деплой Kubernetes в Java: масштабирование Spring Boot приложений Jamaican 06.03.2025 Когда ваше Spring Boot приложение внезапно получает всплеск трафика или требует плавного обновления без простоя — традиционные методы деплоя часто пасуют. Именно здесь на сцену выходит Kubernetes —. . .	Бессерверные приложения Java: сравнение AWS Lambda и Azure Functions Jamaican 06.03.2025 Что такое "бессерверные приложения" и почему они так привлекательны? Вопреки названию, серверы никуда не исчезли — просто теперь управление инфраструктурой перекладывается на плечи облачного. . .	Безопасность микросервисов с OAuth2 и OpenID Connect Jamaican 06.03.2025 С ростом популярности микросервисов растут и проблемы, связанные с их безопасностью. В отличие от монолитных приложений, где безопасность можно было обеспечить централизованно, микросервисная. . .	Структурное логирование в Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Представьте, что вы управляете сотней микросервисов в продакшн-среде. Внезапно один из сервисов начинает давать сбои, и вам нужно срочно выяснить причину. Вы открываете логи и видите бесконечные. . .	Предотвращение XSS, CSRF и SQL-инъекций в JavaScript bytestream 05.03.2025 В эпоху цифровизации безопасность веб-приложений становится не просто рекомендацией, а жизненной необходимостью. Если вы разрабатываете приложения на JavaScript, вам наверняка знакома эта. . .

Странный Гессиан

Решение

Решение

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
		1
	Странный Гессиан 03.02.2015, 13:04. Показов 1975. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Добрый день! Решал следующую задачу: Нужно найти экстремумы функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}$ при ограничении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}+e^{y}-5=0$ . Нашел функцию Лагранжа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}+\lambda(e^{x}+e^{y}-5)$ . По системе частных производных функции Лагранжа приравненных к нулю нашел, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}=2; e^{y}=3; \lambda=-1$ . Составил матрицу квадратичной формы из вторых дифференциалов функции Лагранжа (её Гессиан). Получилась следующая картина: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> e^{x+y}-2e^{x}+\lambda e^{x}&e^{x+y}\\<br /> e^{x+y}&e^{x+y}-e^{y}+\lambda e^{y}\\<br /> \end{pmatrix}$ Соответственно, в найденной, подозрительной на экстремум точке получил: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> 0&6\ <br /> 6&0\\<br /> \end{pmatrix}$ По критерию Сильвестра, поскольку второй главный минор отрицательный (00-66=-36), то данная форма не является отрицательно знакоорпделенной и следовательно эта точка не может быть максимумом. Но, в ответе, а также при проверке через wolframalpha (команда maximize e^(x+y)-2e^x-e^y on e^x+e^y-5=0) оказывается, что это точка локального максимума. Подскажите, пожалуйста, в чем может быть загвоздка. Может ли в данном случае критерий Сильвестра дать сбой? Что в таком случае предпринимать? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10857 / 7210 / 3910 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,493
	03.02.2015, 14:20	2
	Не то написал Добавлено через 10 минут Ошибок не нашел. Сам по себе критерий Сильвестра не может давать сбой, так как очевидно, что матрица Гессе в этой точке является знаконеопределенной с собственными значениями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 6$ . 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 14:27 [ТС]	3
	Однако, если проверить в wolframalpha (можно и любой иной программой) то все-таки локальный максимум существует и располагается именно в этой точке. Следовательно, должна быть какая-то подоплека, позволяющая вопреки отсутствию знакоопределенности матрицы в этой точки установить то что последняя все-таки является локальным максимумом. Вопрос в том, как это сделать. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10857 / 7210 / 3910 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,493
	03.02.2015, 14:34	4
	У Вас задача на условный экстремум, в этом случае критерии наличия экстремума усложняются - надо выписывать матрицу Гессе уже третьего порядка с производными по трем переменным! 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 14:41 [ТС]	5
	Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10857 / 7210 / 3910 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,493
	03.02.2015, 14:47	6
	Сообщение было отмечено Potanin как решение Решение Достаточно взять определитель этой новой матрицы Гессе со знаком минус. Если это число меньше 0, то это максимум. Сейчас проверил, он равен -60 в этой точке, т.е. критерий максимума выполняется! 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 14:50 [ТС]	7
	Большое спасибо, не знал о таком способе, крайне признателен! Не могли бы вы, пожалуйста, скинуть ссылку где бы можно было почитать про это подробнее? А то везде где я смотрел описывался не верный способ, которым я раньше пользовался, и нигде не было внятного доказательства или пояснения этого метода. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10857 / 7210 / 3910 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,493
	03.02.2015, 14:52	8
	Сообщение было отмечено Potanin как решение Решение Сообщение от Potanin Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал? В случае условного экстремума критерии несколько меняются - матрица Гессе может оказаться знаконеопределенной. Посмотрите лекцию Волченко: http://math.volchenko.com/Lectures/ExtremN.pdf 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 20:04 [ТС]	9
	Еще раз большое спасибо! Пятая теорема оказалась именно тем, что нужно. Теперь, дополнительно, стало ясно как решать задачи с произвольным числом множителей Лагранжа. 0