Странный Гессиан

@Potanin · Регистрация: 27.10.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день! Решал следующую задачу:
Нужно найти экстремумы функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}$ при ограничении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}+e^{y}-5=0$ .

Нашел функцию Лагранжа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}+\lambda(e^{x}+e^{y}-5)$ . По системе частных производных функции Лагранжа приравненных к нулю нашел, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}=2; e^{y}=3; \lambda=-1$ . Составил матрицу квадратичной формы из вторых дифференциалов функции Лагранжа (её Гессиан). Получилась следующая картина:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} e^{x+y}-2e^{x}+\lambda e^{x}&e^{x+y}\\ e^{x+y}&e^{x+y}-e^{y}+\lambda e^{y}\\ \end{pmatrix}$

Соответственно, в найденной, подозрительной на экстремум точке получил:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 0&6\ 6&0\\ \end{pmatrix}$

По критерию Сильвестра, поскольку второй главный минор отрицательный (0*0-6*6=-36), то данная форма не является отрицательно знакоорпделенной и следовательно эта точка не может быть максимумом. Но, в ответе, а также при проверке через wolframalpha (команда maximize e^(x+y)-2e^x-e^y on e^x+e^y-5=0) оказывается, что это точка локального максимума. Подскажите, пожалуйста, в чем может быть загвоздка. Может ли в данном случае критерий Сильвестра дать сбой? Что в таком случае предпринимать?

@mathmichel · 03.02.2015, 14:20

Не то написал

Добавлено через 10 минут
Ошибок не нашел. Сам по себе критерий Сильвестра не может давать сбой, так как очевидно, что матрица Гессе в этой точке является знаконеопределенной с собственными значениями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 6$ .

@Potanin · 03.02.2015, 14:27 **[ТС]**

Однако, если проверить в wolframalpha (можно и любой иной программой) то все-таки локальный максимум существует и располагается именно в этой точке. Следовательно, должна быть какая-то подоплека, позволяющая вопреки отсутствию знакоопределенности матрицы в этой точки установить то что последняя все-таки является локальным максимумом. Вопрос в том, как это сделать.

@mathmichel · 03.02.2015, 14:34

У Вас задача на условный экстремум, в этом случае критерии наличия экстремума усложняются - надо выписывать матрицу Гессе уже третьего порядка с производными по трем переменным!

@Potanin · 03.02.2015, 14:41 **[ТС]**

Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал?

@mathmichel · 03.02.2015, 14:47

Достаточно взять определитель этой новой матрицы Гессе со знаком минус. Если это число меньше 0, то это максимум. Сейчас проверил, он равен -60 в этой точке, т.е. критерий максимума выполняется!

@Potanin · 03.02.2015, 14:50 **[ТС]**

Большое спасибо, не знал о таком способе, крайне признателен! Не могли бы вы, пожалуйста, скинуть ссылку где бы можно было почитать про это подробнее? А то везде где я смотрел описывался не верный способ, которым я раньше пользовался, и нигде не было внятного доказательства или пояснения этого метода.

@mathmichel · 03.02.2015, 14:52

Сообщение от Potanin

Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал?

В случае условного экстремума критерии несколько меняются - матрица Гессе может оказаться знаконеопределенной. Посмотрите лекцию Волченко: http://math.volchenko.com/Lectures/ExtremN.pdf

@Potanin · 03.02.2015, 20:04 **[ТС]**

Еще раз большое спасибо! Пятая теорема оказалась именно тем, что нужно. Теперь, дополнительно, стало ясно как решать задачи с произвольным числом множителей Лагранжа.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .

Странный Гессиан

Решение

Решение

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95

	Странный Гессиан 03.02.2015, 13:04. Показов 1990. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Добрый день! Решал следующую задачу: Нужно найти экстремумы функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}$ при ограничении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}+e^{y}-5=0$ . Нашел функцию Лагранжа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x+y}-2e^{x}-e^{y}+\lambda(e^{x}+e^{y}-5)$ . По системе частных производных функции Лагранжа приравненных к нулю нашел, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x}=2; e^{y}=3; \lambda=-1$ . Составил матрицу квадратичной формы из вторых дифференциалов функции Лагранжа (её Гессиан). Получилась следующая картина: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> e^{x+y}-2e^{x}+\lambda e^{x}&e^{x+y}\\<br /> e^{x+y}&e^{x+y}-e^{y}+\lambda e^{y}\\<br /> \end{pmatrix}$ Соответственно, в найденной, подозрительной на экстремум точке получил: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> 0&6\ <br /> 6&0\\<br /> \end{pmatrix}$ По критерию Сильвестра, поскольку второй главный минор отрицательный (00-66=-36), то данная форма не является отрицательно знакоорпделенной и следовательно эта точка не может быть максимумом. Но, в ответе, а также при проверке через wolframalpha (команда maximize e^(x+y)-2e^x-e^y on e^x+e^y-5=0) оказывается, что это точка локального максимума. Подскажите, пожалуйста, в чем может быть загвоздка. Может ли в данном случае критерий Сильвестра дать сбой? Что в таком случае предпринимать? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10869 / 7220 / 3913 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,528
	03.02.2015, 14:20
	Не то написал Добавлено через 10 минут Ошибок не нашел. Сам по себе критерий Сильвестра не может давать сбой, так как очевидно, что матрица Гессе в этой точке является знаконеопределенной с собственными значениями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm 6$ . 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 14:27 [ТС]
	Однако, если проверить в wolframalpha (можно и любой иной программой) то все-таки локальный максимум существует и располагается именно в этой точке. Следовательно, должна быть какая-то подоплека, позволяющая вопреки отсутствию знакоопределенности матрицы в этой точки установить то что последняя все-таки является локальным максимумом. Вопрос в том, как это сделать. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10869 / 7220 / 3913 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,528
	03.02.2015, 14:34
	У Вас задача на условный экстремум, в этом случае критерии наличия экстремума усложняются - надо выписывать матрицу Гессе уже третьего порядка с производными по трем переменным! 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 14:41 [ТС]
	Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10869 / 7220 / 3913 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,528
	03.02.2015, 14:47
	Сообщение было отмечено Potanin как решение Решение Достаточно взять определитель этой новой матрицы Гессе со знаком минус. Если это число меньше 0, то это максимум. Сейчас проверил, он равен -60 в этой точке, т.е. критерий максимума выполняется! 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 14:50 [ТС]
	Большое спасибо, не знал о таком способе, крайне признателен! Не могли бы вы, пожалуйста, скинуть ссылку где бы можно было почитать про это подробнее? А то везде где я смотрел описывался не верный способ, которым я раньше пользовался, и нигде не было внятного доказательства или пояснения этого метода. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10869 / 7220 / 3913 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,528
	03.02.2015, 14:52
	Сообщение было отмечено Potanin как решение Решение Сообщение от Potanin Я пробовал в качестве третьей переменной брать производную по лямбде (множитель лагранжа) и уже получал матрицу 3 на 3, но там все равно критерий Сильвестра свидетельствовал в пользу отсутствия знакоопределенности. Или я что-то напутал? В случае условного экстремума критерии несколько меняются - матрица Гессе может оказаться знаконеопределенной. Посмотрите лекцию Волченко: http://math.volchenko.com/Lectures/ExtremN.pdf 1

@Potanin 23 / 16 / 7 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 95
	03.02.2015, 20:04 [ТС]
	Еще раз большое спасибо! Пятая теорема оказалась именно тем, что нужно. Теперь, дополнительно, стало ясно как решать задачи с произвольным числом множителей Лагранжа. 0