Зосима

Pre Scriptum: прошу прощения если промахнулся с разделом Сегодня, буквально несколько часов назад, узнал о такой прелюбопытнейшей вещи как уравнение Фредгольма...

Задание: приближнно решить ур-е Фредгольма приведя его к системе лин. ур-й (интеграл рассчитать методом трапеций в 20 точках):


Подобная тема появилась в разделе, что я модерирую. Однако чтобы реализовать програмно рассчет данного выражения мне крайне нехватает теоретических седений по данному типу интегральных уравнений, а именно, как его привести к системе линейных уравнений?
Попытка выделить ядро, как в этой теме:
Интегральное уравнение Фредгольма 2го порядка
успехом не увенчались:

И в данном случае этого не требуется...

Вообщем при моих скудных познаниях без вашей помощи не обойтись!

0

vetvet

Так вам нужно в сторону численных методов анализа копать.

Добавлено через 4 минуты
Например, Копчёнова, Марон "Вычислительная математика в примерах и задачах", издание 1972 г., глава 10, параграф 8. Там вроде бы похожее уравнение в примере разбирается (точно с экспонентой).

1

@Том Ардер

Метод коллокации (5.15) в:
http://www.alleng.ru/d/math/math207.htm

Также
http://ega-math.narod.ru/Books/Tricomi2.htm

Миниатюры

     

1

240Volt

Попробуйте взглянуть здесь: Арушанян "Численное решение интегральных уравнений методом квадратур". Может пригодится. Начните сразу со второго раздела.

1

Зосима

Ребятки и девчатки огромное спасибо зо советы!
vetvet,
240Volt, по техническим причинам скачать и просмотреть упомянутую литературу пока не могу
Том Ардер,
огромнейшее спасибо за скрины! А то бы я лопнул от любопытства и мои гаврики остались бы без модератора
Вообщем, [s]в кабине горящего танка[\s] набросал на листочке формулы общего вида, сопоставил со своим выражением, и, как не странно, до меня дошло как составлять систему!
Вот только хочу еще уточнить пару моментов:

1 Можно ли в качестве координатных ф-ций пользовать степенной ряд, т.е.:

В этом случае приближенное решение Y_n(x) будет многочленом n-ой степени.
Или же следует взять иные ф-ции, например:

2.1 почему узловые значения аргумента x_j берется внутри интервала интегрирования, т.е. a<=x_j<=b. Можно ли брать иные значения, вне интервала?

2.2 Если приближенное решение Y_n(x) в узловых точках x = x_j равно точному значению y(x_j), т.е. при x = x_j отношение Y_n(x)/y(x) = 1, то как будут соотноситься точное и приближенные решения при значениях аргумента, лежащих вне диапазона интегрирования? (ведь полином n-ой степени Y_n(x) определен на всей числовой оси, а точное решение y(x) кажется существует только в некотором интервале... )
Объясните двоечнику, если не трудно.

PS: ответ на 1й вопрос для меня крайне важен, а остальные - это уже по желанию.

0

@Том Ардер

Можно, но лучше использовать полиномы, ортогональные на данном отрезке (напр. полиномы Чебышёва, Лежандра, ..).
Но сначала я бы попробовал кусочно-линейные функции.

2.1 Узловые точки должны быть внутри интервала, иначе не будет их вклада в интеграл.

1

Зосима

А как в этом случае будут выглядеть координатные ф-ции φ_i(x) ?

0

@Том Ардер

1

Зосима

помоему с полиномами Чебышева φ_i(x) = cos(i*arccos(x)) проще... Ладно, попробую разобраться и с кусочно-линейной ф-цией

Добавлено через 47 минут
Том Ардер, еще хочу уточнить по поводу коэф-тов a и b:
Исходя из второго выражения a и b находятся из граничных условий i-го поддиапазона, которые, как можно заметить, одинаковы для всех поддиапазонов, т.е. a_i=a_j, для любых i, j из диапазона интегрирования, т.е. нетрудно посчитать, что:
a = -1/(x_i+1-x_i)
b = 0 - a*x_i+1 = 1-a*x_i
В этом случае сумма этих кусочно-линейных ф-ций (если узлов n, то поддиапазонов n-1):

будет выглядеть как набор параллельных прямых каждая из которых начинается в точке ( x_i,1 ) и оканчивается в точке ( x_i+1, 0 );

Я правильно понял?

0

@Том Ардер

Я неточно объяснил. Кусочно-линейная функция =1 в узле и обращается в 0 в двух соседних узлах, т.е. для каждого подынтервала x(i)-x(i+1) будут две линейных функции.

0

Зосима

Т.е. положим взяли мы три узловые точки: x_j-1, x_j и x_j+1.
То кусочно линейная ф-ция для x_j будет равна нулю и возрастать при x>=(x_j-1 + x_j)/2 - средина интервала между x_j-1 и x_j, достигнет 1 в точке x = x_j, а потом будет убывать до нуля при x_j>x>=(x_j + x_j+1)/2 - средина интервала между x_j, x_j+1.
Тогда сумма этих ф-ций будет представлять собой набор треугольничков, вершины которых равны 1 приходятся на узлы x=x_j. Так?

*с каждым разом все сложнее представить, как все это присандалить к упомянутой вначале системе уравнений... хотя, может не все так страшно

0

@Том Ардер

Да, именно так.

0

Зосима

А можно вместо

Использовать:

?

0

@Том Ардер

Лучше кусочно-постоянная функция:

1

Зосима

Спасибо, буду пробовать!
А φ_i(x) чему равно в случае кусочно-постоянной/линейной? Не 1 ли, часом, на всем диапазоне [a, b]?

________________________________________________________________________________ _____

Подобью результаты для данной задачи, верно ли я мыслю?



Откуда:



Принимая n=20 - кол-во узловых точек, получаем набор значений:



Теперь координатная ф-ция:



Тогда:




Еще хочу уточнить, правильно ли я думаю (в случае кусочно-постоянной ф-ции):

Положим:



тогда вектор-столбец правой части B = [b₁,..., b_n]



А тогда i-я ψ-ф-ция на i-м узле:



И таже ф-ция в другой точке:



где m_i,j - элементы матрицы коэф-тов лин. системы:



Получаем матричное уравнение:



Откуда:



Где A = [A_j] - вектор искомых коэф-тов,
и, наконец, приближенное решение:



График которого будет в виде ступенечек

0

@Том Ардер

Всё так, противоречий не вижу.

0

Зосима

С φ₀(x) угадал?

0

vetvet

Не знаю, подходит ли этот вариант:

2

Зосима

vetvet, только я кое-как разобрался с колокацией, как на тебе - метод конечный сумм! я так с вами прохфессором стану!
Но это больше подходит под условие задачи, так что будем разбираться! Большое спасибо!
*в этой книжке хоть примеры нормальные!

0

vetvet

Зосима, всегда пожалуйста

0