Привести уравнение Фредгольма к системе линейных уравнений

Зосима · Регистрация: 02.04.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Pre Scriptum: прошу прощения если промахнулся с разделом

Сегодня, буквально несколько часов назад, узнал о такой прелюбопытнейшей вещи как уравнение Фредгольма...

Задание: приближнно решить ур-е Фредгольма приведя его к системе лин. ур-й (интеграл рассчитать методом трапеций в 20 точках):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x) = \ln(x+1) - 5 \int^1_0{\exp(xt+t^2)y(t)dt}$

Подобная тема появилась в разделе, что я модерирую. Однако чтобы реализовать програмно рассчет данного выражения мне крайне нехватает теоретических седений по данному типу интегральных уравнений, а именно, как его привести к системе линейных уравнений?

Попытка выделить ядро, как в этой теме:
Интегральное уравнение Фредгольма 2го порядка
успехом не увенчались:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c(x) = \int^1_0{\exp(xt+t^2)y(t)dt} = \int^1_0{\exp(x)^t \exp(t^2)y(t)dt}$
И в данном случае этого не требуется...

Вообщем при моих скудных познаниях без вашей помощи не обойтись!

vetvet · 03.01.2013, 22:16

Так вам нужно в сторону численных методов анализа копать.

Добавлено через 4 минуты
Например, Копчёнова, Марон "Вычислительная математика в примерах и задачах", издание 1972 г., глава 10, параграф 8. Там вроде бы похожее уравнение в примере разбирается (точно с экспонентой).

@Том Ардер · 04.01.2013, 00:35

Метод коллокации (5.15) в:
http://www.alleng.ru/d/math/math207.htm

Также
http://ega-math.narod.ru/Books/Tricomi2.htm

240Volt · 04.01.2013, 00:41

Сообщение от Зосима

.. приближнно решить ур-е Фредгольма приведя его к системе лин. ур-й ..

Попробуйте взглянуть здесь: Арушанян "Численное решение интегральных уравнений методом квадратур". Может пригодится. Начните сразу со второго раздела.

Зосима · 04.01.2013, 17:04 **[ТС]**

Ребятки и девчатки огромное спасибо зо советы!

vetvet,
240Volt, по техническим причинам скачать и просмотреть упомянутую литературу пока не могу

Том Ардер,
огромнейшее спасибо за скрины! А то бы я лопнул от любопытства и мои гаврики остались бы без модератора

Вообщем, [s]в кабине горящего танка[\s] набросал на листочке формулы общего вида, сопоставил со своим выражением, и, как не странно, до меня дошло как составлять систему!

Вот только хочу еще уточнить пару моментов:

1 Можно ли в качестве координатных ф-ций пользовать степенной ряд, т.е.:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi_i(x) = x^i;$
В этом случае приближенное решение Y_n(x) будет многочленом n-ой степени.
Или же следует взять иные ф-ции, например:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi_i(x) = cos(i/n*x);$
2.1 почему узловые значения аргумента x_j берется внутри интервала интегрирования, т.е. a<=x_j<=b. Можно ли брать иные значения, вне интервала?

2.2 Если приближенное решение Y_n(x) в узловых точках x = x_j равно точному значению y(x_j), т.е. при x = x_j отношение Y_n(x)/y(x) = 1, то как будут соотноситься точное и приближенные решения при значениях аргумента, лежащих вне диапазона интегрирования? (ведь полином n-ой степени Y_n(x) определен на всей числовой оси, а точное решение y(x) кажется существует только в некотором интервале...

)
Объясните двоечнику, если не трудно.

PS: ответ на 1й вопрос для меня крайне важен, а остальные - это уже по желанию.

@Том Ардер · 04.01.2013, 17:32

Сообщение от Зосима

Можно ли в качестве координатных ф-ций пользовать степенной ряд

Можно, но лучше использовать полиномы, ортогональные на данном отрезке (напр. полиномы Чебышёва, Лежандра, ..).
Но сначала я бы попробовал кусочно-линейные функции.

2.1 Узловые точки должны быть внутри интервала, иначе не будет их вклада в интеграл.

Зосима · 04.01.2013, 18:26 **[ТС]**

Сообщение от Том Ардер

Но сначала я бы попробовал кусочно-линейные функции.

А как в этом случае будут выглядеть координатные ф-ции φ_i(x) ?

@Том Ардер · 04.01.2013, 19:16

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _i(x)=\left\{\begin{matrix}\\ a+bx, \; {x}_{i}<=x<={x}_{i+1}\\ 0, else\end{matrix}\right.<br />$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a,b:\; {\varphi }_{i}({x}_{i})=1,\; {\varphi }_{i}({x}_{i+1})=0$

Зосима · 04.01.2013, 21:29 **[ТС]**

помоему с полиномами Чебышева φ_i(x) = cos(i*arccos(x)) проще... Ладно, попробую разобраться и с кусочно-линейной ф-цией

Добавлено через 47 минут
Том Ардер, еще хочу уточнить по поводу коэф-тов a и b:
Исходя из второго выражения a и b находятся из граничных условий i-го поддиапазона, которые, как можно заметить, одинаковы для всех поддиапазонов, т.е. a_i=a_j, для любых i, j из диапазона интегрирования, т.е. нетрудно посчитать, что:
a = -1/(x_i+1-x_i)
b = 0 - a*x_i+1 = 1-a*x_i
В этом случае сумма этих кусочно-линейных ф-ций (если узлов n, то поддиапазонов n-1):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L(x) = \sum_{i=1}^{n-1}{\phi_i(x)}$
будет выглядеть как набор параллельных прямых каждая из которых начинается в точке ( x_i,1 ) и оканчивается в точке ( x_i+1, 0 );

Я правильно понял?

@Том Ардер · 04.01.2013, 21:50

Я неточно объяснил. Кусочно-линейная функция =1 в узле и обращается в 0 в двух соседних узлах, т.е. для каждого подынтервала x(i)-x(i+1) будут две линейных функции.

Зосима · 04.01.2013, 22:12 **[ТС]**

Т.е. положим взяли мы три узловые точки: x_j-1, x_j и x_j+1.
То кусочно линейная ф-ция для x_j будет равна нулю и возрастать при x>=(x_j-1 + x_j)/2 - средина интервала между x_j-1 и x_j, достигнет 1 в точке x = x_j, а потом будет убывать до нуля при x_j>x>=(x_j + x_j+1)/2 - средина интервала между x_j, x_j+1.
Тогда сумма этих ф-ций будет представлять собой набор треугольничков, вершины которых равны 1 приходятся на узлы x=x_j. Так?

*с каждым разом все сложнее представить, как все это присандалить к упомянутой вначале системе уравнений...

хотя, может не все так страшно

@Том Ардер · 04.01.2013, 23:30

Сообщение от Зосима

набор треугольничков, вершины которых равны 1 приходятся на узлы x=xj.

Да, именно так.

Зосима · 05.01.2013, 00:56 **[ТС]**

А можно вместо
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _i(x)=\left\{\begin{matrix}\\ a+bx, \; {x}_{i}<=x<={x}_{i+1}\\ 0, \; else\end{matrix}\right.$
Использовать:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _i(x)=\left\{\begin{matrix}\\ 1, \; x={x}_{i}\\ 0, \; else\end{matrix}\right.$
?

@Том Ардер · 05.01.2013, 02:00

Лучше кусочно-постоянная функция:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _i(x)=\left\{\begin{matrix}\\ 1, \; {x}_{i}<=x<={x}_{i+1}\\ 0, \; else\end{matrix}\right.$

Зосима · 05.01.2013, 03:35 **[ТС]**

Спасибо, буду пробовать!

А φ_i(x) чему равно в случае кусочно-постоянной/линейной? Не 1 ли, часом, на всем диапазоне [a, b]?

________________________________________ ________________________________________ _____

Подобью результаты для данной задачи, верно ли я мыслю?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon \left[y(x) \right] \equiv y(x) + 5\int_{0}^{1}\exp(xt+t^2)y(t)dt - \ln(x+1)$

Откуда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = \ln(x+1); \\K(x,t) = \exp(xt+t^2); \\\lambda = -5; \\a = 0; \;\;\; b=1;$

Принимая n=20 - кол-во узловых точек, получаем набор значений:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dx = \frac{b-a}{n-1} = \frac{1}{19} \approx 0.0526; \\X' = [a, \, a+dx,\, a+2dx, \, \dots ,b];$

Теперь координатная ф-ция:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi%20_i(x)=\left\{\begin{matrix}\\%201,%20\;%20{x}_{i}<=x<={x}_{i+1}\\%200,%20\;%20else\end{matrix}\right$

Тогда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi_0(x) = \varphi_0(x) - \ln(x+1) + 5\int_{0}^{1}\exp(xt+t^2)\varphi_0(t)dt$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi_i(x) = \varphi_i(x) + 5\int_{0}^{1}\exp(xt+t^2)\varphi_i(t)dt$

Еще хочу уточнить, правильно ли я думаю (в случае кусочно-постоянной ф-ции):

Положим:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi_0(x) = 1, \;\;\; x \in |a, b|$

тогда вектор-столбец правой части B = [b₁,..., b_n]

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi_0(x_j) = 1 - \ln(x_j+1) + 5\int_{0}^{1}\exp(x_jt+t^2)dt = b_j; \;\;\; j=1...n$

А тогда i-я ψ-ф-ция на i-м узле:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi_i(x_i) = 1 + 5\int_{x_i-dx/2}^{x_i+dx/2}\exp(x_i t+t^2)dt = m_{i,i}$

И таже ф-ция в другой точке:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi _i(x_j) = 0 + 5\int_{x_j-dx/2}^{x_j+dx/2}\exp(x_j t+t^2)dt = m_{i,j};$

где m_i,j - элементы матрицы коэф-тов лин. системы:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M = \begin{Bmatrix}m_{i,j}\end{Bmatrix} \;\;\; i,j = 1,2,...,n$

Получаем матричное уравнение:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\times A = B$

Откуда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = M/B = M^{-1}\times B;$

Где A = [A_j] - вектор искомых коэф-тов,
и, наконец, приближенное решение:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_n(x) = \left\{\begin{matrix}\\ A_j, \; x_{j}-dx/2 <=x <=x_j+dx/2\end{matrix}\right\};$

График которого будет в виде ступенечек

@Том Ардер · 05.01.2013, 04:33

Всё так, противоречий не вижу.

Зосима · 05.01.2013, 10:23 **[ТС]**

С φ₀(x) угадал?

vetvet · 05.01.2013, 14:33

Сообщение от Зосима

vetvet,
240Volt, по техническим причинам скачать и просмотреть упомянутую литературу пока не могу

Не знаю, подходит ли этот вариант:

Кликните здесь для просмотра всего текста

Привести уравнение Фредгольма к системе линейных уравнений

Зосима · 05.01.2013, 15:01 **[ТС]**

vetvet, только я кое-как разобрался с колокацией, как на тебе - метод конечный сумм! я так с вами прохфессором стану!

Но это больше подходит под условие задачи, так что будем разбираться! Большое спасибо!

*в этой книжке хоть примеры нормальные!

vetvet · 05.01.2013, 15:06

Зосима, всегда пожалуйста

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .

Зосима 5243 / 3571 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,475 Записей в блоге: 17

	Привести уравнение Фредгольма к системе линейных уравнений 03.01.2013, 21:59. Показов 4506. Ответов 21 Метки второго порядка, колокация, приближенное решение, уравнение фредгольма (Все метки) Pre Scriptum: прошу прощения если промахнулся с разделом Сегодня, буквально несколько часов назад, узнал о такой прелюбопытнейшей вещи как уравнение Фредгольма... Задание: приближнно решить ур-е Фредгольма приведя его к системе лин. ур-й (интеграл рассчитать методом трапеций в 20 точках): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x) = \ln(x+1) - 5 \int^1_0{\exp(xt+t^2)y(t)dt}$ Подобная тема появилась в разделе, что я модерирую. Однако чтобы реализовать програмно рассчет данного выражения мне крайне нехватает теоретических седений по данному типу интегральных уравнений, а именно, как его привести к системе линейных уравнений? Попытка выделить ядро, как в этой теме: Интегральное уравнение Фредгольма 2го порядка успехом не увенчались: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c(x) = \int^1_0{\exp(xt+t^2)y(t)dt} = \int^1_0{\exp(x)^t \exp(t^2)y(t)dt}$ И в данном случае этого не требуется... Вообщем при моих скудных познаниях без вашей помощи не обойтись! 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	03.01.2013, 22:16
	Так вам нужно в сторону численных методов анализа копать. Добавлено через 4 минуты Например, Копчёнова, Марон "Вычислительная математика в примерах и задачах", издание 1972 г., глава 10, параграф 8. Там вроде бы похожее уравнение в примере разбирается (точно с экспонентой). 1

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.01.2013, 00:35
	Метод коллокации (5.15) в: http://www.alleng.ru/d/math/math207.htm Также http://ega-math.narod.ru/Books/Tricomi2.htm Миниатюры 1

240Volt 4445 / 2449 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108
	04.01.2013, 00:41
	Сообщение от Зосима .. приближнно решить ур-е Фредгольма приведя его к системе лин. ур-й .. Попробуйте взглянуть здесь: Арушанян "Численное решение интегральных уравнений методом квадратур". Может пригодится. Начните сразу со второго раздела. 1

Зосима 5243 / 3571 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,475 Записей в блоге: 17
	04.01.2013, 17:04 [ТС]
	Ребятки и девчатки огромное спасибо зо советы! vetvet, 240Volt, по техническим причинам скачать и просмотреть упомянутую литературу пока не могу Том Ардер, огромнейшее спасибо за скрины! А то бы я лопнул от любопытства и мои гаврики остались бы без модератора Вообщем, [s]в кабине горящего танка[\s] набросал на листочке формулы общего вида, сопоставил со своим выражением, и, как не странно, до меня дошло как составлять систему! Вот только хочу еще уточнить пару моментов: 1 Можно ли в качестве координатных ф-ций пользовать степенной ряд, т.е.: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi_i(x) = x^i;$ В этом случае приближенное решение Y_n(x) будет многочленом n-ой степени. Или же следует взять иные ф-ции, например: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi_i(x) = cos(i/nx);$ 2.1* почему узловые значения аргумента x_j берется внутри интервала интегрирования, т.е. a<=x_j<=b. Можно ли брать иные значения, вне интервала? 2.2 Если приближенное решение Y_n(x) в узловых точках x = x_j равно точному значению y(x_j), т.е. при x = x_j отношение Y_n(x)/y(x) = 1, то как будут соотноситься точное и приближенные решения при значениях аргумента, лежащих вне диапазона интегрирования? (ведь полином n-ой степени Y_n(x) определен на всей числовой оси, а точное решение y(x) кажется существует только в некотором интервале... ) Объясните двоечнику, если не трудно. PS: ответ на 1й вопрос для меня крайне важен, а остальные - это уже по желанию. 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.01.2013, 17:32
	Сообщение от Зосима Можно ли в качестве координатных ф-ций пользовать степенной ряд Можно, но лучше использовать полиномы, ортогональные на данном отрезке (напр. полиномы Чебышёва, Лежандра, ..). Но сначала я бы попробовал кусочно-линейные функции. 2.1 Узловые точки должны быть внутри интервала, иначе не будет их вклада в интеграл. 1

Зосима 5243 / 3571 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,475 Записей в блоге: 17
	04.01.2013, 18:26 [ТС]
	Сообщение от Том Ардер Но сначала я бы попробовал кусочно-линейные функции. А как в этом случае будут выглядеть координатные ф-ции φ_i(x) ? 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.01.2013, 19:16
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _i(x)=\left\{\begin{matrix}\\ a+bx, \; {x}_{i}<=x<={x}_{i+1}\\ 0, else\end{matrix}\right.<br />$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a,b:\; {\varphi }_{i}({x}_{i})=1,\; {\varphi }_{i}({x}_{i+1})=0$ 1

Зосима 5243 / 3571 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,475 Записей в блоге: 17
	04.01.2013, 21:29 [ТС]
	помоему с полиномами Чебышева φ_i(x) = cos(iarccos(x)) проще... Ладно, попробую разобраться и с кусочно-линейной ф-цией Добавлено через 47 минут* Том Ардер, еще хочу уточнить по поводу коэф-тов a и b: Исходя из второго выражения a и b находятся из граничных условий i-го поддиапазона, которые, как можно заметить, одинаковы для всех поддиапазонов, т.е. a_i=a_j, для любых i, j из диапазона интегрирования, т.е. нетрудно посчитать, что: a = -1/(x_i+1-x_i) b = 0 - ax_i+1 = 1-ax_i В этом случае сумма этих кусочно-линейных ф-ций (если узлов n, то поддиапазонов n-1): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L(x) = \sum_{i=1}^{n-1}{\phi_i(x)}$ будет выглядеть как набор параллельных прямых каждая из которых начинается в точке ( x_i,1 ) и оканчивается в точке ( x_i+1, 0 ); Я правильно понял? 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.01.2013, 21:50
	Я неточно объяснил. Кусочно-линейная функция =1 в узле и обращается в 0 в двух соседних узлах, т.е. для каждого подынтервала x(i)-x(i+1) будут две линейных функции. 0

Зосима 5243 / 3571 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,475 Записей в блоге: 17
	04.01.2013, 22:12 [ТС]
	Т.е. положим взяли мы три узловые точки: x_j-1, x_j и x_j+1. То кусочно линейная ф-ция для x_j будет равна нулю и возрастать при x>=(x_j-1 + x_j)/2 - средина интервала между x_j-1 и x_j, достигнет 1 в точке x = x_j, а потом будет убывать до нуля при x_j>x>=(x_j + x_j+1)/2 - средина интервала между x_j, x_j+1. Тогда сумма этих ф-ций будет представлять собой набор треугольничков, вершины которых равны 1 приходятся на узлы x=x_j. Так? *с каждым разом все сложнее представить, как все это присандалить к упомянутой вначале системе уравнений... хотя, может не все так страшно 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.01.2013, 23:30
	Сообщение от Зосима набор треугольничков, вершины которых равны 1 приходятся на узлы x=xj. Да, именно так. 0

Зосима 5243 / 3571 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,475 Записей в блоге: 17
	05.01.2013, 00:56 [ТС]
	А можно вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _i(x)=\left\{\begin{matrix}\\ a+bx, \; {x}_{i}<=x<={x}_{i+1}\\ 0, \; else\end{matrix}\right.$ Использовать: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _i(x)=\left\{\begin{matrix}\\ 1, \; x={x}_{i}\\ 0, \; else\end{matrix}\right.$ ? 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	05.01.2013, 02:00
	Лучше кусочно-постоянная функция: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi _i(x)=\left\{\begin{matrix}\\ 1, \; {x}_{i}<=x<={x}_{i+1}\\ 0, \; else\end{matrix}\right.$ 1

Зосима 5243 / 3571 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,475 Записей в блоге: 17
	05.01.2013, 03:35 [ТС]
	Спасибо, буду пробовать! А φ_i(x) чему равно в случае кусочно-постоянной/линейной? Не 1 ли, часом, на всем диапазоне [a, b]? ________________________________________ ________________________________________ _____ Подобью результаты для данной задачи, верно ли я мыслю? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon \left[y(x) \right] \equiv y(x) + 5\int_{0}^{1}\exp(xt+t^2)y(t)dt - \ln(x+1)$ Откуда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = \ln(x+1); \\K(x,t) = \exp(xt+t^2); \\\lambda = -5; \\a = 0; \;\;\; b=1;$ Принимая n=20 - кол-во узловых точек, получаем набор значений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dx = \frac{b-a}{n-1} = \frac{1}{19} \approx 0.0526; \\X' = [a, \, a+dx,\, a+2dx, \, \dots ,b];$ Теперь координатная ф-ция: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi%20_i(x)=\left\{\begin{matrix}\\%201,%20\;%20{x}_{i}<=x<={x}_{i+1}\\%200,%20\;%20else\end{matrix}\right$ Тогда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi_0(x) = \varphi_0(x) - \ln(x+1) + 5\int_{0}^{1}\exp(xt+t^2)\varphi_0(t)dt$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi_i(x) = \varphi_i(x) + 5\int_{0}^{1}\exp(xt+t^2)\varphi_i(t)dt$ Еще хочу уточнить, правильно ли я думаю (в случае кусочно-постоянной ф-ции): Положим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi_0(x) = 1, \;\;\; x \in \|a, b\|$ тогда вектор-столбец правой части B = [b₁,..., b_n] $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi_0(x_j) = 1 - \ln(x_j+1) + 5\int_{0}^{1}\exp(x_jt+t^2)dt = b_j; \;\;\; j=1...n$ А тогда i-я ψ-ф-ция на i-м узле: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi_i(x_i) = 1 + 5\int_{x_i-dx/2}^{x_i+dx/2}\exp(x_i t+t^2)dt = m_{i,i}$ И таже ф-ция в другой точке: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi _i(x_j) = 0 + 5\int_{x_j-dx/2}^{x_j+dx/2}\exp(x_j t+t^2)dt = m_{i,j};$ где m_i,j - элементы матрицы коэф-тов лин. системы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M = \begin{Bmatrix}m_{i,j}\end{Bmatrix} \;\;\; i,j = 1,2,...,n$ Получаем матричное уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\times A = B$ Откуда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = M/B = M^{-1}\times B;$ Где A = [A_j] - вектор искомых коэф-тов, и, наконец, приближенное решение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_n(x) = \left\{\begin{matrix}\\ A_j, \; x_{j}-dx/2 <=x <=x_j+dx/2\end{matrix}\right\};$ График которого будет в виде ступенечек 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	05.01.2013, 04:33
	Всё так, противоречий не вижу. 0

Зосима 5243 / 3571 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,475 Записей в блоге: 17
	05.01.2013, 10:23 [ТС]
	С φ₀(x) угадал? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	05.01.2013, 14:33
	Сообщение от Зосима vetvet, 240Volt, по техническим причинам скачать и просмотреть упомянутую литературу пока не могу Не знаю, подходит ли этот вариант: Кликните здесь для просмотра всего текста 2

Зосима 5243 / 3571 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,475 Записей в блоге: 17
	05.01.2013, 15:01 [ТС]
	vetvet, только я кое-как разобрался с колокацией, как на тебе - метод конечный сумм! я так с вами прохфессором стану! Но это больше подходит под условие задачи, так что будем разбираться! Большое спасибо! *в этой книжке хоть примеры нормальные! 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	05.01.2013, 15:06
	Зосима, всегда пожалуйста 0