Вычисление арктангенса, арксинуса, арккосинуса на бумаге "вручную" без таблиц Брадиса и калькулятора

@Kolesnikov DS · Регистрация: 24.09.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрые люди, помогите пожалуста. Хочу понять как вычислить без таблицы Брадиса, углы в треугольнике на основании длин их сторон. (не с помощью теоремы косинусов)

Вычислив косинусы, синусы, тангенсы, котангенсы, секансы, косекансы.
Но как перевести даный синус, тангенс в градусы, радианы без таблицы Брадиса.

Где то в интернете нашел что при помощи ряда Тейлора можно вычислить. Но примеров решения не нашел, помогите пожалуста, перевести арксинус в значения в градусы или радианы.

Можно так сказать, каким способом вычисления пользовался господин Брадис когда составлял таблицы???

Заранее всем спасибо!!!

P.S. Извеняюсь за возможные ошибки!

@Puporev · 10.03.2019, 17:45

Сообщение от Kolesnikov DS

без таблицы Брадиса

Так у Вас и калькулятора нет?
Можно с помощью логарифмической линейки, если найдете ее.

@Excalibur921 · 10.03.2019, 18:03

В 2019 используют atan2

@jogano · 10.03.2019, 18:09

Kolesnikov DS, не ясно, зачем вам это нужно и какие методы для вас приемлемы, если не таблицы Брадиса и не научный калькулятор, где есть и прямые, и обратные триг. функции.
"Как вычислить" на чём? На бумажке? А то сейчас начнётся отсекание методов, которые вам предложат, и будет много разговоров в пользу бедных...

@Kolesnikov DS · 10.03.2019, 18:55 **[ТС]**

С калькулятором конечно можно вычислить
получается
cos ~36,86 градусов = 0,8
tg ~36,86 градусов = 0,75

ArcCos(0,8)=36,86 градусов
ArcTg(0,75)=36,86 градусов

,но мне не извесно как вычислить на бумаге ArcCos, ArcTg

Добавлено через 22 минуты
Есть какая то формула или способ зная величину ArcCos, ArcTg можно "в ручную" на бумаге вычислить соответствующий ему градус.
Если знаете, разпишите пожалуста пример приближеного вычисления Arc(0,8), ArcTg(0,75).

@jogano · 10.03.2019, 19:06

Сообщение от Kolesnikov DS

зная величину ArcCos, ArcTg можно "в ручную" на бумаге вычислить соответствующий ему градус.

Малограмотно записано. Любой arc*** это и есть угол, а в чём его выражать - в градусах или в радианах - не суть важно. Известен вам не "арк", а значение прямой функции (безразмерная величина), а вычислить вы хотите именно арк, то есть угол.
Arc(0,8) особенно доставил. Что это такое? arccos0,8, судя по строчке выше?
Имена аркфункций пишутся без больших букв ни в начале, ни в середине.

@Kolesnikov DS · 10.03.2019, 19:30 **[ТС]**

Да, именно угол хочу вычислить, arccos 0,8. Но не знаю формулы или функции по которой можно высчитать результат. Извеняюсь за ошибки.

@jogano · 10.03.2019, 19:58

Ряд Тейлора в помощь тогда:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{arcsin}x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+...+\frac{\left( 2n\right)!x^{2n+1}}{4^n\left(n! \right)^2\left(2n+1 \right)}+...\\\text{arccos}x=\frac{\pi}{2}-\text{arcsin}x\\\text{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+\frac{\left(-1 \right)^{n-1}x^{2n-1}}{2n-1}+... \: \: \left|x \right|\leq 1$
Для арктангенса большого х (вне отрезка [-1;1]) можно сделать так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{arctg}x=\text{arcctg}\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}-\text{arctg}\frac{1}{x}$ , а последний арктангенс уже раскладывать в ряд Тейлора.

Добавлено через 8 минут
Например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{arccos}0,8=\frac{\pi}{2}-\text{arcsin}0,8 \approx \frac{\pi}{2}-\left(0,8+\frac{0,8^3}{6} \right)\approx 0,6855$ - абсолютная погрешность 0,04 с избытком (истинное значение 0,6435). Так это всего два слагаемых разложения в ряд Тейлора, да ещё и аргумент 0,8 далеко от 0 (чем ближе х к 0, тем точнее приближение для одного и того же количества слагаемых разложения).
Точно так же $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{arctg}0,75 \approx 0,75-\frac{0,75^3}{3} \approx 0,6094$ при истинном значении 0,6435 - абсолютная погрешность 0,04 с недостатком.

@Kolesnikov DS · 10.03.2019, 20:21 **[ТС]**

Спасибо, похоже это то что нужно!
Знаете, jogano, я очень вам благодарен!!!
Надо попробовать сейчас посчитать. Результат ведь должен получится в радианах?

Добавлено через 1 минуту
Офигеть, вы уже и посчитать успели.

Добавлено через 9 минут
Круто!!! С примером стало намного ясней.

@Excalibur921 · 11.03.2019, 20:29

Kolesnikov DS, Будете на бумажке писать ряды Тейлора или аппроксимацию? А зачем?
Вроде как тригонометрия нужна компу так часто и так много и точно что ее решатель давно встроили в процессор. Раньше это была отдельная микросхема.

@wer1 · 12.03.2019, 08:32

Уважаемый Kolesnikov DS,
я бы хотел немного дополнить ответ глубоко уважаемого jogano.
Вот пара формул, которые позволят вам в ряде случаев упростить ваши вычисления.
1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arcsin(x)=\frac{\pi}{2}-arcsin\sqrt{1-x^2}$
(эту формулу удобно использовать при икс близком к 1)

2. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arctg(x)=\frac{\pi}{4}+arctg\frac{1-x}{1+x}$
(эту формулу также удобно использовать при икс близком к 1. Так как ряд Тейлора при x =1 сходится очень медленно)

@Kolesnikov DS · 16.03.2019, 17:24 **[ТС]**

Excalibur921, Я изучал некоторые примеры по черчению.Так и появился вопрос, как без транспортира узнать угол между двумя сторонами, а про ряд Тейлора узнал вот только только.

Результат действительно в радианах получается.

нтч, тоесть с помощью таких формул можно вычислить приближенный результат сразу, без суммы большого количества слагаемых?

Спасибо всем кто откликнулся! =)

@Excalibur921 · 16.03.2019, 18:06

Сообщение от Kolesnikov DS

про ряд Тейлора узнал вот только только.

И что поменяется? Зачем вообще нужно знать про ряд Тейлора хз… Вся эта тригонометрия давно сделана аппаратно на куче языков программирования где САПР и программист дергают готовые функции. Изобретать колесо тут просто нелепо. Все эти измерения давно есть в любых приличных САПР, все это делается в пару кликов мышки вообще без вникания в матан.

Сообщение от Kolesnikov DS

нтч, тоесть с помощью таких формул можно вычислить приближенный результат сразу,

Выглядит как вырывание гланд через одно место…Вы уже запрашиваете тригонометрию у процессора в формуле, он уже возможно строит ряд Тейлора и выдает довольно точный результат. А затем вы за каким-то его округляете.

Если интересно то это вопрос больше для форума ассемблера или может С++.
Написать 100 000 арксинусов и замерять время выполнения формула выдающая примерный результат и готовая функция…что быстрей?

@Kolesnikov DS · 07.04.2019, 17:29 **[ТС]**

Раслабтесь, мне просто нужен был хороший пример, что бы понять базовые вещи.

@Люк Кио · 31.03.2023, 18:45

Сообщение от wer1

(эту формулу также удобно использовать при икс близком к 1. Так как ряд Тейлора при x =1 сходится очень медленно)

Уважаемый wer1, у вас есть точно такая же, но для арктангенса?
Например, мне нужно получить тангенс от 1.00001
Так как более одного я ищу его через actg 1/1.0001
Но это число близко к 1. Ряд будет сходиться неприлично долго. Нужна такая же замена аргумента и результата.
И где вообще можно найти такие хорошие преобразования? В википедии о такой оптимизации ничего не пишут. Как будто скрывают от трудового народа всё, что ему может пригодиться.

Добавлено через 1 час 44 минуты

Сообщение от wer1

1. asin x=pi/2- asin (1-x^2)^.5
(эту формулу удобно использовать при икс близком к 1)

Здесь наибольшее значение x при котором решается как быстрее вычислить asin
(1-x^2)^.5=x
x≈ ± 0.70711
Может быть лучше использовать тождество
acos=2asin(.5-x/2)^.5
(.5-x/2)^.5=x
x = 1/2
В этом случае наибольший аргумент в степенном ряде будет 0.5 а не 0.7
В обоих случаях нужно пользоваться положительным аргументом
asin -x = -asin x
Я ничего не упустил?

@Excalibur921 1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	16.03.2019, 18:06	13
	Сообщение от Kolesnikov DS про ряд Тейлора узнал вот только только. И что поменяется? Зачем вообще нужно знать про ряд Тейлора хз… Вся эта тригонометрия давно сделана аппаратно на куче языков программирования где САПР и программист дергают готовые функции. Изобретать колесо тут просто нелепо. Все эти измерения давно есть в любых приличных САПР, все это делается в пару кликов мышки вообще без вникания в матан. Сообщение от Kolesnikov DS нтч, тоесть с помощью таких формул можно вычислить приближенный результат сразу, Выглядит как вырывание гланд через одно место…Вы уже запрашиваете тригонометрию у процессора в формуле, он уже возможно строит ряд Тейлора и выдает довольно точный результат. А затем вы за каким-то его округляете. Если интересно то это вопрос больше для форума ассемблера или может С++. Написать 100 000 арксинусов и замерять время выполнения формула выдающая примерный результат и готовая функция…что быстрей? 1

@Kolesnikov DS 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2018 Сообщений: 21
	07.04.2019, 17:29 [ТС]	14
	Раслабтесь, мне просто нужен был хороший пример, что бы понять базовые вещи. 0

@Люк Кио 51 / 40 / 15 Регистрация: 11.03.2016 Сообщений: 569 Записей в блоге: 22
	31.03.2023, 18:45	15
	Сообщение от wer1 (эту формулу также удобно использовать при икс близком к 1. Так как ряд Тейлора при x =1 сходится очень медленно) Уважаемый wer1, у вас есть точно такая же, но для арктангенса? Например, мне нужно получить тангенс от 1.00001 Так как более одного я ищу его через actg 1/1.0001 Но это число близко к 1. Ряд будет сходиться неприлично долго. Нужна такая же замена аргумента и результата. И где вообще можно найти такие хорошие преобразования? В википедии о такой оптимизации ничего не пишут. Как будто скрывают от трудового народа всё, что ему может пригодиться. Добавлено через 1 час 44 минуты Сообщение от wer1 1. asin x=pi/2- asin (1-x^2)^.5 (эту формулу удобно использовать при икс близком к 1) Здесь наибольшее значение x при котором решается как быстрее вычислить asin (1-x^2)^.5=x x≈ ± 0.70711 Может быть лучше использовать тождество acos=2asin(.5-x/2)^.5 (.5-x/2)^.5=x x = 1/2 В этом случае наибольший аргумент в степенном ряде будет 0.5 а не 0.7 В обоих случаях нужно пользоваться положительным аргументом asin -x = -asin x Я ничего не упустил? 0

@Puporev Почетный модератор 64304 / 47599 / 32743 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 115,181
	10.03.2019, 17:45	2
	Сообщение от Kolesnikov DS без таблицы Брадиса Так у Вас и калькулятора нет? Можно с помощью логарифмической линейки, если найдете ее. 1

@Excalibur921 1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	10.03.2019, 18:03	3
	В 2019 используют atan2 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.03.2019, 18:09	4
	Kolesnikov DS, не ясно, зачем вам это нужно и какие методы для вас приемлемы, если не таблицы Брадиса и не научный калькулятор, где есть и прямые, и обратные триг. функции. "Как вычислить" на чём? На бумажке? А то сейчас начнётся отсекание методов, которые вам предложат, и будет много разговоров в пользу бедных... 1

@Kolesnikov DS 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2018 Сообщений: 21
	10.03.2019, 18:55 [ТС]	5
	С калькулятором конечно можно вычислить получается cos ~36,86 градусов = 0,8 tg ~36,86 градусов = 0,75 ArcCos(0,8)=36,86 градусов ArcTg(0,75)=36,86 градусов ,но мне не извесно как вычислить на бумаге ArcCos, ArcTg Добавлено через 22 минуты Есть какая то формула или способ зная величину ArcCos, ArcTg можно "в ручную" на бумаге вычислить соответствующий ему градус. Если знаете, разпишите пожалуста пример приближеного вычисления Arc(0,8), ArcTg(0,75). 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.03.2019, 19:06	6
	Сообщение от Kolesnikov DS зная величину ArcCos, ArcTg можно "в ручную" на бумаге вычислить соответствующий ему градус. Малограмотно записано. Любой arc*** это и есть угол, а в чём его выражать - в градусах или в радианах - не суть важно. Известен вам не "арк", а значение прямой функции (безразмерная величина), а вычислить вы хотите именно арк, то есть угол. Arc(0,8) особенно доставил. Что это такое? arccos0,8, судя по строчке выше? Имена аркфункций пишутся без больших букв ни в начале, ни в середине. 1

@Kolesnikov DS 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2018 Сообщений: 21
	10.03.2019, 19:30 [ТС]	7
	Да, именно угол хочу вычислить, arccos 0,8. Но не знаю формулы или функции по которой можно высчитать результат. Извеняюсь за ошибки. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.03.2019, 19:58	8
	Сообщение было отмечено Kolesnikov DS как решение Решение Ряд Тейлора в помощь тогда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{arcsin}x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+...+\frac{\left( 2n\right)!x^{2n+1}}{4^n\left(n! \right)^2\left(2n+1 \right)}+...\\\text{arccos}x=\frac{\pi}{2}-\text{arcsin}x\\\text{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+\frac{\left(-1 \right)^{n-1}x^{2n-1}}{2n-1}+... \: \: \left\|x \right\|\leq 1$ Для арктангенса большого х (вне отрезка [-1;1]) можно сделать так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{arctg}x=\text{arcctg}\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}-\text{arctg}\frac{1}{x}$ , а последний арктангенс уже раскладывать в ряд Тейлора. Добавлено через 8 минут Например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{arccos}0,8=\frac{\pi}{2}-\text{arcsin}0,8 \approx \frac{\pi}{2}-\left(0,8+\frac{0,8^3}{6} \right)\approx 0,6855$ - абсолютная погрешность 0,04 с избытком (истинное значение 0,6435). Так это всего два слагаемых разложения в ряд Тейлора, да ещё и аргумент 0,8 далеко от 0 (чем ближе х к 0, тем точнее приближение для одного и того же количества слагаемых разложения). Точно так же $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{arctg}0,75 \approx 0,75-\frac{0,75^3}{3} \approx 0,6094$ при истинном значении 0,6435 - абсолютная погрешность 0,04 с недостатком. 2

@Kolesnikov DS 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2018 Сообщений: 21
	10.03.2019, 20:21 [ТС]	9
	Спасибо, похоже это то что нужно! Знаете, jogano, я очень вам благодарен!!! Надо попробовать сейчас посчитать. Результат ведь должен получится в радианах? Добавлено через 1 минуту Офигеть, вы уже и посчитать успели. Добавлено через 9 минут Круто!!! С примером стало намного ясней. 0

@Excalibur921 1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	11.03.2019, 20:29	10
	Kolesnikov DS, Будете на бумажке писать ряды Тейлора или аппроксимацию? А зачем? Вроде как тригонометрия нужна компу так часто и так много и точно что ее решатель давно встроили в процессор. Раньше это была отдельная микросхема. 1

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	12.03.2019, 08:32	11
	Уважаемый Kolesnikov DS, я бы хотел немного дополнить ответ глубоко уважаемого jogano. Вот пара формул, которые позволят вам в ряде случаев упростить ваши вычисления. 1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arcsin(x)=\frac{\pi}{2}-arcsin\sqrt{1-x^2}$ (эту формулу удобно использовать при икс близком к 1) 2. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arctg(x)=\frac{\pi}{4}+arctg\frac{1-x}{1+x}$ (эту формулу также удобно использовать при икс близком к 1. Так как ряд Тейлора при x =1 сходится очень медленно) 2

@Kolesnikov DS 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2018 Сообщений: 21
	16.03.2019, 17:24 [ТС]	12
	Excalibur921, Я изучал некоторые примеры по черчению.Так и появился вопрос, как без транспортира узнать угол между двумя сторонами, а про ряд Тейлора узнал вот только только. Результат действительно в радианах получается. нтч, тоесть с помощью таких формул можно вычислить приближенный результат сразу, без суммы большого количества слагаемых? Спасибо всем кто откликнулся! =) 0

Вычисление арктангенса, арксинуса, арккосинуса на бумаге "вручную" без таблиц Брадиса и калькулятора

Решение