Как долго шарик будет крутиться

@йот · Регистрация: 08.09.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Что такое трение скольжения и трение качения? - я знаю...
Но вот на стальной плите, никуда не двигаясь, вращается
стальной шарик...
Какой вид трения здесь задействован? Похоже на трение
качения? Нет - не оно? А что? И есть ли формула по которой
можно рассчитать... Как долго этот шарик будет крутиться?

@jogano · 08.10.2017, 18:41

Сообщение от йот

никуда не двигаясь,

Если он привязан (просверлен диаметральный горизонтальный канал, в который пропущена проволока, не дающая ему возможность двигаться вдоль плиты, но не мешающая ему давить на плиту), то нужно посчитать изменение его кинетической энергии.
Кинетическая энергия равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{J\omega ^2}{2}$ . За малое время dt она изменится на величину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( \frac{J\omega ^2}{2}\right)'_t dt=J\omega \dot{\omega }dt$ . С другой стороны, поверхность шарика скользит по плите, и за счёт силы трения скольжения, которая равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?mg\mu$ , скорость вращения шарика будет уменьшаться. За время dt обод шарика проскальзывает по плите на дугу, равную $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega rdt$ метров. На этом расстоянии работа силы трения скольжения равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?mg\mu\omega rdt$ Дж.
Получаем равенство для изменения кинетической энергии шарика:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J\omega \dot{\omega }dt=-mg\mu\omega rdt \: \Rightarrow \: \dot{\omega} =-\frac{mg\mu r}{J} \: \Rightarrow \: \omega \left(t \right)=\omega _0-\frac{mg\mu r}{J}t$
Так как для шара момент инерции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J=\frac{2}{5}mr^2$ кг*м², то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega \left(t \right)=\omega _0-\frac{5g\mu }{2r}t$
Шарик остановится через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_0=\frac{2r\omega _0}{5g\mu }$ . Если радиус шарика r=0,1 м и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu =0,03$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_0=0,1360\omega _0$ сек.
Не учитывается изменение коэффициента трения скольжения при нагревании (вся кинетическая энергия шарика пойдёт на нагревание и стачивание поверхностей шарика и плиты).

@йот · 08.10.2017, 19:00 **[ТС]**

jogano
спасибо! Я вам так благодарен за решение этой задачи!
Я тоже долго думал над тем... куда уходит энергия? Ведь
уходит же (сопротивление воздуха можно не учитывать)...
jogano
А интересно... какой процент энергии может уйти на торможение
шара воздухом? Чёрт! сложная задача - это не цилиндр...

@jogano · 08.10.2017, 19:14

Сообщение от йот

А интересно... какой процент энергии может уйти на торможение
шара воздухом?

Это вы уже многого хотите. Избегайте вопросов с неопределёнными исходными данными - вам же не решат.
Попробуйте сделать ту же задачу, если шарик не закреплён. Трения качения нет, только скольжение. "Ту же" в смысле когда прекратится проскальзывание, а не когда шарик остановится.

@йот · 08.10.2017, 19:19 **[ТС]**

jogano,
спасибо! Я просто подумал, что если подвесить стальной
шарик с помощью магнитного поля и раскрутить... то
сутки крутиться будет?

@titan4ik · 08.10.2017, 19:41

Сообщение от jogano

За время dt обод шарика проскальзывает по плите на дугу, равную https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega rdt метров. На этом расстоянии работа силы трения скольжения равна https://www.cyberforum.ru/cgi-... g\mu\omega rdt Дж.

Не уверен, что это так. Скорее всего t₀ >> 0,1360 * omega₀сек

r - это радиус шарика? И соответственно "обода шарика"?
Но... сила трения приложена ....в какой "точке" шарика?!) Уж точно не в районе "обода". Понятно, что она распределена по пятну контакта, "радиус" которого много меньше r.
Тут, наверное, нужно сделать какое-то предположение о пятне контакта шарика с поверхностью (и характере распределения приложения силы трения) и исходя из этого решать задачу. Интересно, что при абсолютно твердых и абсолютно гладких шарике и плите, шарик будет крутиться вечно ибо плечо силы трения и путь, на котором она совершает работу, равны нулю (пятно контакта - точка - проекция центра), а сила трения конечна.
Не зря опоры в мех часах делают в виде "иглы".

Добавлено через 5 минут

Сообщение от jogano

Попробуйте сделать ту же задачу, если шарик не закреплён. Трения качения нет, только скольжение. "Ту же" в смысле когда прекратится проскальзывание, а не когда шарик остановится.

Соответственно указанной выше причине, это совсем другая задача. Можно провести такой эксперимент, если есть шарик и большой стол - первый раз крутаните шарик относительно вертикальной оси (и измерьте время вращения) и примерно с той же "энергией" запустите его юзом по столу или крутаните его относительно горизонтальной оси)) Получите очевидный результат.

@йот · 08.10.2017, 19:42 **[ТС]**

titan4ik
Спасибо! Я вам благодарен за ваше мнение...
А не остановит вращение шарика например притяжение
другого тела... скажем Земля притормозила угловую
скорость вращения Луны?

@jogano · 08.10.2017, 19:46

titan4ik, это же модель. Понятно, что площадь пятна контакта в идеальном случае равна 0 (значит, давление шарика на плиту $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?= +\infty$ - крах плиты и шарика

), а в реальности они же как-то трутся.

Сообщение от titan4ik

r - это радиус шарика? И соответственно "обода шарика"?

Да. Если не "обод" - можно назвать по-другому часть большой дуги шара.

@йот · 08.10.2017, 19:52 **[ТС]**

jogano, спасибо,
я так понял, что шарик должен в месте вращения
сплющиться. То есть будет небольшой круг...
да для стали... или наоборот продавить "дырку"?

@titan4ik · 08.10.2017, 20:03

jogano, и вы и я рассматривали реальный случай (не идеальный), об идеальном я просто упомянул, чтобы яснее было в чем ошибка в вашем расчете - путь, на котором сила трения совершает работу, не верно определен. Он должен быть значительно меньше, поскольку характерный размер пятна контакта << r.

@titan4ik · 08.10.2017, 20:09

Путь определен принципиально не верно.

@TRam_ · 08.10.2017, 20:09

Сообщение от йот

То есть будет небольшой круг... да для стали..

чем твёрже и ровнее шарик с плитой, тем меньше пятно контакта, тем меньше момент силы трения, тем дольше будет вращаться. Ну а так по сути это трение скольжения в пятне контакта.

P.S. пример вращения шарика на плите, правда не на стальной, а на стеклянной - https://www.youtube.com/watch?v=6sCpZU_1eAw

@йот · 08.10.2017, 20:13 **[ТС]**

titan4ik,
Спасибо!!!
А можно определить размер пятна контакта?
Допустим твердость поверхности и шарика одинакова
Что надо знать еще? И есть ли такая формула?

Добавлено через 2 минуты
TRam_
А почему это трение скольжения, а не трение качения?
Ведь при трении качения тоже будет образовываться след?

@titan4ik · 08.10.2017, 20:15

Сообщение от йот

А можно определить размер пятна контакта?
Допустим твердость поверхности и шарика одинакова
Что надо знать еще? И есть ли такая формула?

Можно. Это одна из классических контактных задач механики. Погуглите. Решения контактных задач Герца-Беляева.

@йот · 08.10.2017, 20:24 **[ТС]**

titan4ik,
Спасибо. Я очень вам благодарен за обстоятельный ответ.

Добавлено через 6 минут
TRam_,
В чём разница?
Будет шарик крутиться или будет катиться?
Время до остановки одинаково?

@TRam_ · 08.10.2017, 20:34

Сообщение от йот

а не трение качения?

Трение качения - это когда шарик/ролик подминает себя и подложку с одной стороны, а с другой - восстанавливают исходную форму. И разница между силами, которые препятствуют подминанию, и осуществляют возвращение, и образуют трение качения.

А трение скольжения - когда есть взаимное перемещение двух тел в месте контакта. В случае вращения шарика вокруг своей вертикальной оси (без качения по подложке) только оно и есть.

Добавлено через 3 минуты
В случае чистого качения (когда шарик катится прямолинейно) никаких вращающих моментов вокруг вертикальной оси не возникает, только вышеопианное трение качения.

@йот · 08.10.2017, 20:37 **[ТС]**

TRam_,
Спасибо, что-то этот ... но ведь крутится он на одном
месте и уже не будет "высверливать" поверхность ...

@TRam_ · 08.10.2017, 20:48

йот, если одновременно с вращением будет катиться, то будет "высверливать" не одно место, а линию, по которой он катится. При этом траектория движения, скорее всего, из-за данного вращающего момента, будет несколько криволинейной.

Добавлено через 5 минут
https://youtu.be/6sCpZU_1eAw?t=3m8s - не совсем это, но в общем катание по траектории в виде окружности на поверхности магнита. Тут тоже и трение качения, и трение скольжения.

@йот · 08.10.2017, 20:49 **[ТС]**

TRam_,
Еще раз спасибо... кажется я все-таки разобрался.
Тут сложность заключается в том, что трение идет
сферическими слоями. То есть без интегрирования
скоро не разберешься... А вот вы разобрались...
Раз так, то еще раз Большое Спасибо!!!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Асинхронные операции в Django с Celery py-thonny 05.04.2025 Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .	Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go golander 05.04.2025 Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .	Создаем Telegram бот на TypeScript с grammY run.dev 05.04.2025 Одна из его самых сильных сторон Telegram — это интеграция ботов прямо в экосистему приложения. В отличие от многих других платформ, он предоставляет разработчикам мощный API, позволяющий создавать. . .	Паттерны распределённых транзакций в Event-Driven микросервисах ArchitectMsa 05.04.2025 Современные программные системы всё чаще проектируются как совокупность взаимодействующих микросервисов. И хотя такой подход даёт множество преимуществ — масштабируемость, гибкость, устойчивость к. . .	Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .
Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .	Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .

Как долго шарик будет крутиться

Решение

Решение

Решение

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448

	Как долго шарик будет крутиться 08.10.2017, 15:31. Показов 2000. Ответов 18 Метки нет (Все метки) Что такое трение скольжения и трение качения? - я знаю... Но вот на стальной плите, никуда не двигаясь, вращается стальной шарик... Какой вид трения здесь задействован? Похоже на трение качения? Нет - не оно? А что? И есть ли формула по которой можно рассчитать... Как долго этот шарик будет крутиться? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.10.2017, 18:41
	Сообщение было отмечено йот как решение Решение Сообщение от йот никуда не двигаясь, Если он привязан (просверлен диаметральный горизонтальный канал, в который пропущена проволока, не дающая ему возможность двигаться вдоль плиты, но не мешающая ему давить на плиту), то нужно посчитать изменение его кинетической энергии. Кинетическая энергия равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{J\omega ^2}{2}$ . За малое время dt она изменится на величину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( \frac{J\omega ^2}{2}\right)'_t dt=J\omega \dot{\omega }dt$ . С другой стороны, поверхность шарика скользит по плите, и за счёт силы трения скольжения, которая равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?mg\mu$ , скорость вращения шарика будет уменьшаться. За время dt обод шарика проскальзывает по плите на дугу, равную $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega rdt$ метров. На этом расстоянии работа силы трения скольжения равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?mg\mu\omega rdt$ Дж. Получаем равенство для изменения кинетической энергии шарика: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J\omega \dot{\omega }dt=-mg\mu\omega rdt \: \Rightarrow \: \dot{\omega} =-\frac{mg\mu r}{J} \: \Rightarrow \: \omega \left(t \right)=\omega _0-\frac{mg\mu r}{J}t$ Так как для шара момент инерции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J=\frac{2}{5}mr^2$ кг*м², то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega \left(t \right)=\omega _0-\frac{5g\mu }{2r}t$ Шарик остановится через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_0=\frac{2r\omega _0}{5g\mu }$ . Если радиус шарика r=0,1 м и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu =0,03$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_0=0,1360\omega _0$ сек. Не учитывается изменение коэффициента трения скольжения при нагревании (вся кинетическая энергия шарика пойдёт на нагревание и стачивание поверхностей шарика и плиты). 1

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	08.10.2017, 19:00 [ТС]
	jogano спасибо! Я вам так благодарен за решение этой задачи! Я тоже долго думал над тем... куда уходит энергия? Ведь уходит же (сопротивление воздуха можно не учитывать)... jogano А интересно... какой процент энергии может уйти на торможение шара воздухом? Чёрт! сложная задача - это не цилиндр... 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.10.2017, 19:14
	Сообщение было отмечено йот как решение Решение Сообщение от йот А интересно... какой процент энергии может уйти на торможение шара воздухом? Это вы уже многого хотите. Избегайте вопросов с неопределёнными исходными данными - вам же не решат. Попробуйте сделать ту же задачу, если шарик не закреплён. Трения качения нет, только скольжение. "Ту же" в смысле когда прекратится проскальзывание, а не когда шарик остановится. 1

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	08.10.2017, 19:19 [ТС]
	jogano, спасибо! Я просто подумал, что если подвесить стальной шарик с помощью магнитного поля и раскрутить... то сутки крутиться будет? 0

@titan4ik Заблокирован
	08.10.2017, 19:41
	Сообщение было отмечено йот как решение Решение Сообщение от jogano За время dt обод шарика проскальзывает по плите на дугу, равную https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega rdt метров. На этом расстоянии работа силы трения скольжения равна https://www.cyberforum.ru/cgi-... g\mu\omega rdt Дж. Не уверен, что это так. Скорее всего t₀ >> 0,1360 * omega₀сек r - это радиус шарика? И соответственно "обода шарика"? Но... сила трения приложена ....в какой "точке" шарика?!) Уж точно не в районе "обода". Понятно, что она распределена по пятну контакта, "радиус" которого много меньше r. Тут, наверное, нужно сделать какое-то предположение о пятне контакта шарика с поверхностью (и характере распределения приложения силы трения) и исходя из этого решать задачу. Интересно, что при абсолютно твердых и абсолютно гладких шарике и плите, шарик будет крутиться вечно ибо плечо силы трения и путь, на котором она совершает работу, равны нулю (пятно контакта - точка - проекция центра), а сила трения конечна. Не зря опоры в мех часах делают в виде "иглы". Добавлено через 5 минут Сообщение от jogano Попробуйте сделать ту же задачу, если шарик не закреплён. Трения качения нет, только скольжение. "Ту же" в смысле когда прекратится проскальзывание, а не когда шарик остановится. Соответственно указанной выше причине, это совсем другая задача. Можно провести такой эксперимент, если есть шарик и большой стол - первый раз крутаните шарик относительно вертикальной оси (и измерьте время вращения) и примерно с той же "энергией" запустите его юзом по столу или крутаните его относительно горизонтальной оси)) Получите очевидный результат. 1

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	08.10.2017, 19:42 [ТС]
	titan4ik Спасибо! Я вам благодарен за ваше мнение... А не остановит вращение шарика например притяжение другого тела... скажем Земля притормозила угловую скорость вращения Луны? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.10.2017, 19:46
	titan4ik, это же модель. Понятно, что площадь пятна контакта в идеальном случае равна 0 (значит, давление шарика на плиту $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?= +\infty$ - крах плиты и шарика ), а в реальности они же как-то трутся. Сообщение от titan4ik r - это радиус шарика? И соответственно "обода шарика"? Да. Если не "обод" - можно назвать по-другому часть большой дуги шара. 1

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	08.10.2017, 19:52 [ТС]
	jogano, спасибо, я так понял, что шарик должен в месте вращения сплющиться. То есть будет небольшой круг... да для стали... или наоборот продавить "дырку"? 0

@titan4ik Заблокирован
	08.10.2017, 20:03
	jogano, и вы и я рассматривали реальный случай (не идеальный), об идеальном я просто упомянул, чтобы яснее было в чем ошибка в вашем расчете - путь, на котором сила трения совершает работу, не верно определен. Он должен быть значительно меньше, поскольку характерный размер пятна контакта << r. 1

@titan4ik Заблокирован
	08.10.2017, 20:09
	Путь определен принципиально не верно. 1

@TRam_ зомбяк 1584 / 1218 / 345 Регистрация: 14.05.2017 Сообщений: 3,940
	08.10.2017, 20:09
	Сообщение от йот То есть будет небольшой круг... да для стали.. чем твёрже и ровнее шарик с плитой, тем меньше пятно контакта, тем меньше момент силы трения, тем дольше будет вращаться. Ну а так по сути это трение скольжения в пятне контакта. P.S. пример вращения шарика на плите, правда не на стальной, а на стеклянной - https://www.youtube.com/watch?v=6sCpZU_1eAw 1

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	08.10.2017, 20:13 [ТС]
	titan4ik, Спасибо!!! А можно определить размер пятна контакта? Допустим твердость поверхности и шарика одинакова Что надо знать еще? И есть ли такая формула? Добавлено через 2 минуты TRam_ А почему это трение скольжения, а не трение качения? Ведь при трении качения тоже будет образовываться след? 0

@titan4ik Заблокирован
	08.10.2017, 20:15
	Сообщение от йот А можно определить размер пятна контакта? Допустим твердость поверхности и шарика одинакова Что надо знать еще? И есть ли такая формула? Можно. Это одна из классических контактных задач механики. Погуглите. Решения контактных задач Герца-Беляева. 1

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	08.10.2017, 20:24 [ТС]
	titan4ik, Спасибо. Я очень вам благодарен за обстоятельный ответ. Добавлено через 6 минут TRam_, В чём разница? Будет шарик крутиться или будет катиться? Время до остановки одинаково? 0

@TRam_ зомбяк 1584 / 1218 / 345 Регистрация: 14.05.2017 Сообщений: 3,940
	08.10.2017, 20:34
	Сообщение от йот а не трение качения? Трение качения - это когда шарик/ролик подминает себя и подложку с одной стороны, а с другой - восстанавливают исходную форму. И разница между силами, которые препятствуют подминанию, и осуществляют возвращение, и образуют трение качения. А трение скольжения - когда есть взаимное перемещение двух тел в месте контакта. В случае вращения шарика вокруг своей вертикальной оси (без качения по подложке) только оно и есть. Добавлено через 3 минуты В случае чистого качения (когда шарик катится прямолинейно) никаких вращающих моментов вокруг вертикальной оси не возникает, только вышеопианное трение качения. 1

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	08.10.2017, 20:37 [ТС]
	TRam_, Спасибо, что-то этот ... но ведь крутится он на одном месте и уже не будет "высверливать" поверхность ... 0

@TRam_ зомбяк 1584 / 1218 / 345 Регистрация: 14.05.2017 Сообщений: 3,940
	08.10.2017, 20:48
	йот, если одновременно с вращением будет катиться, то будет "высверливать" не одно место, а линию, по которой он катится. При этом траектория движения, скорее всего, из-за данного вращающего момента, будет несколько криволинейной. Добавлено через 5 минут https://youtu.be/6sCpZU_1eAw?t=3m8s - не совсем это, но в общем катание по траектории в виде окружности на поверхности магнита. Тут тоже и трение качения, и трение скольжения. 1

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	08.10.2017, 20:49 [ТС]
	TRam_, Еще раз спасибо... кажется я все-таки разобрался. Тут сложность заключается в том, что трение идет сферическими слоями. То есть без интегрирования скоро не разберешься... А вот вы разобрались... Раз так, то еще раз Большое Спасибо!!! 0