Найти все возможные значения уравнения

@ProHacker · Регистрация: 20.06.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

1)
числа a,b,c попарно различны и выполняеться уравнения
a+1/b=b+1/c=c+1/a найти все возможные значения уравнения

@splen · 02.04.2017, 14:28

Из первого уравнения следует, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=\frac{b-c}{bc}.$

Аналогично,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b-c=\frac{c-a}{ac}, \, c-a=\frac{a-b}{ab}.$

Перемножая полученные равенства и учитывая, что числа различны, находим:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?abc=\pm 1.$

В случае abc=1 после исключения переменной с получается система

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left \{ \begin{matrix} a+\frac{1}{b}=b+ab,\\ b+ab=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a},\end{matrix}\right$

которую при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a,b\ne 0$ можно переписать в виде

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} (b-1)(ab+b+1)=0,\\ (ab-1)(ab+b+1)=0. \end{matrix}\right.$

Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ab+b+1 \neq 0$ , то a = b = 1, что противоречит условию. Поэтому ab + b + 1 = 0, откуда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b = -\frac{1}{a+1}, \, c = -1 - \frac{1}{a}, \, a \ne 0, \, a \ne -1.$

Аналогично, если abc=-1, то из системы

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} (b+1)(ab-b+1)=0,\\ (ab-1)(ab-b+1)=0 \end{matrix}\right$

следует, что ab-b+1=0, откуда получаются решения вида

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\frac{1}{1-a}, \, c=\frac{1}{a}-1, \, a\ne 0, a \ne 1.$

Байт · 03.04.2017, 11:06

Сообщение от ProHacker

найти все возможные значения уравнения

Видимо, описка?

@ProHacker 5 / 5 / 0 Регистрация: 20.06.2016 Сообщений: 87
		1
	Найти все возможные значения уравнения 31.03.2017, 22:00. Показов 1665. Ответов 2 Метки нет (Все метки) 1) числа a,b,c попарно различны и выполняеться уравнения a+1/b=b+1/c=c+1/a найти все возможные значения уравнения 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	02.04.2017, 14:28	2
	Из первого уравнения следует, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=\frac{b-c}{bc}.$ Аналогично, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b-c=\frac{c-a}{ac}, \, c-a=\frac{a-b}{ab}.$ Перемножая полученные равенства и учитывая, что числа различны, находим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?abc=\pm 1.$ В случае abc=1 после исключения переменной с получается система $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left \{ \begin{matrix}<br /> a+\frac{1}{b}=b+ab,\\ <br /> b+ab=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a},\end{matrix}\right$ которую при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a,b\ne 0$ можно переписать в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}<br /> (b-1)(ab+b+1)=0,\\ <br /> (ab-1)(ab+b+1)=0.<br /> \end{matrix}\right.$ Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ab+b+1 \neq 0$ , то a = b = 1, что противоречит условию. Поэтому ab + b + 1 = 0, откуда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b = -\frac{1}{a+1}, \, c = -1 - \frac{1}{a}, \, a \ne 0, \, a \ne -1.$ Аналогично, если abc=-1, то из системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}<br /> (b+1)(ab-b+1)=0,\\ <br /> (ab-1)(ab-b+1)=0<br /> \end{matrix}\right$ следует, что ab-b+1=0, откуда получаются решения вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\frac{1}{1-a}, \, c=\frac{1}{a}-1, \, a\ne 0, a \ne 1.$ 0

Байт Диссидент 27709 / 17325 / 3811 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	03.04.2017, 11:06	3
	Сообщение от ProHacker найти все возможные значения уравнения Видимо, описка? 0