Предел (2n-1)!!/(2n)!!

Байт · Регистрация: 24.12.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В разделе С++ возникла такая задачка
Дано натуральное число n. Вычислить произведение первых n сомножителей: 1/2*3/4*5/6.;
Ясно, что предел существует.
Ощущение, что он равен 0.
А вот доказательство в голову не приходит...

Добавлено через 2 минуты
В названии темы должно быть !! (двойной факториал). Так и набирал. Но получился только один...

Добавлено через 1 минуту
Наверное, это политика форума - сдерживать эмоции новичков

@cmath · 25.09.2013, 17:11

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (2n-1)!!=\frac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=\frac{(2n-1)!}{2^{n-1}(n-1)!}\\(2n)!!=2^nn!\\\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!n!}\\\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!n!}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{2\pi (2n-1)}(\frac{2n-1}{e})^{2n-1}}{2^{2n-1}*2\pi\sqrt{n(n-1)}(\frac{n-1}{e})^{n-1}(\frac{n}{e})^{n}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(2n-1)^{2n-0.5}}{2^{2n-1}(n-1)^{n-0.5}n^{n+0.5}}$

Добавлено через 1 минуту
Таки нуль.

@Том Ардер · 25.09.2013, 17:20

Основные соотношения:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{(2n)!!}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2n)!!={2}^{n}n!$
затем формула Стирлинга для факториалов

Добавлено через 2 минуты
cmath, опередил

Байт · 25.09.2013, 22:09 **[ТС]**

Спасибо всем, кто подтвердил мои интуитивные домыслы. Да, формула Штирлинга - это такая пушка, от которой ни один воробушек не убежит

Но мне чегой-то кажется, что должно существовать и элементарное (в смысле элементарной математики) решение. Олимпиадного типа. Ведь по элементарности формулировки - прям как великая теорема Ферма. (хотя элементарного решения ВТФ (авторского, которое не поместилось на полях, так и не найдено)).
Но главное (еще раз спасибо) - знаем, чего искать. Устремляем помыслы к нулю.

Добавлено через 6 минут
cmath, я думаю, что 3-ю строчку ваших выкладок можно как-то проанализировать. Но у нас дело близится к ночи, я квашу первую в сезоне капусту, как говорил поэт

Здесь прошелся загадки таинственный ноготь.
Поздно. Высплюсь. Чуть свет - перечту и пойму.

@Igor · 25.09.2013, 22:53

Можно через интеграл доказать.

Если интересно, то могу расписать

Добавлено через 15 минут
Еще так можно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \ln \prod_{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{2n}=\sum_{n=1}^{\infty }\ln \frac{2n-1}{2n}=\sum_{n=1}^{\infty }\ln (1-\frac{1}{2n})\sim -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\ \Rightarrow \ \lim_{n\rightarrow \infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1} {2k}=0.$

Байт · 26.09.2013, 00:31 **[ТС]**

Igor, Не сразу врубился, потом дошло. ln P -> -∞ => P->0
Здорово, и вполне элементарно.

Чуял я, что где-то гармонический ряд здесь болтается

Добавлено через 45 минут
Ха-ха! Только прилег, и вот высветился такой набросок. Вместе с исходной последовательностью рассмотрим такую
2/3*4/5*... 2n/(2n+1)
Они настолько похожи, что если исходная имеет предел A>0, то и эта, новенькая имеет предел B>0 жирным выделено то, что в самом деле надо бы построже доказать. Будем считать доказанным, ИМХО, это очевидно. Они там как-то очень мило аппроксимируют друг дружку.
Теперь перемножим их. Получится просто 1/(2n+1) -> 0 => A*B = 0

Day · 26.09.2013, 01:15

Сообщение от Байт

Они там как-то очень мило аппроксимируют друг дружку.

X_n = 1/2*3/4*...(2n-1)/2n
Y_n = 2/3*4/5*... 2n/(2n+1)
2*X_n > Y_n+1 > X_n+1
2A > B > A
Хотя вполне достаточно Y_n > X_n => B > A > 0 (по предположению)

Не по теме:

Сообщение от Байт

я квашу первую в сезоне капусту,

Капустой-то угостишь?

@Igor · 26.09.2013, 09:24

Можно показать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {b}_{n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\ <\ \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.$

Байт · 26.09.2013, 10:16 **[ТС]**

Сообщение от Igor

Можно показать, что

Только что пришло в голову, что из моего доказательства следует, что b_n = O(n^-1/2)

Добавлено через 1 минуту
Igor, в правой части неравенства стоит, конечно, 1/√(2n+1)

@Igor · 26.09.2013, 10:18

Сообщение от Байт

Igor, в правой части неравенства стоит, конечно, 1/√(2n+1)

Байт, да, конечно. Жаль что уже не поправить.

Ilot · 26.09.2013, 11:38

Сообщение от Igor

Еще так можно:

Так нельзя. Логарифм произведения не равен сумме логарифмов для рядов. А если и равен то только в исключительных случаях когда произведение сходится абсолютно.
Вот док-во без Стирлинга:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(2n-1)!!}{2n!!}=\frac{2n!}{{2}^{2n}{n!}^{2}} = \frac{1}{{2}^{2n}}\int_{0}^{1}{x}^{n-1}{1-x}^{n-1}dx < \frac{1}{{2}^{3n-1}}\int_{0}^{1}dx\rightarrow 0, n\rightarrow inf$

@Igor · 26.09.2013, 13:16

Ilot, а как же теорема: для того чтобы бесконечное произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\prod_{n=1}^{\infty}{p}_{n}$ сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\ln {p}_{n}.$

Кликните здесь для просмотра всего текста

взято из Фихтенгольца.

Ilot · 26.09.2013, 13:35

Ну правильно, а у вас то ряд логарифмов не сходится, значит теорема не применима. Я не к тому что у вас принципиально не правильно, а к тому что не стоит так просто оперировать особыми точками. Ведь предел штука хитрая.

Day · 26.09.2013, 14:03

Сообщение от Igor

Ilot, а как же теорема: для того чтобы бесконечное произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\prod_{n=1}^{\infty}{p}_{n}$ сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\ln {p}_{n}.$

Кликните здесь для просмотра всего текста

взято из Фихтенгольца.

Странно... Пусть p_n = 1/2 (все одинаковые). Произведение равно 1/2ⁿ сходится. А ряд логарифмов расходится (правда к -∞)
К сожалению, Фихтенгольца под рукой нет.

Добавлено через 3 минуты
Ilot, Не понял, как у вас получилось, что O(1/n^-1/2) < 1/2^3n-1.
А ведь легко показать, что это существенное О-большое (никак не о-малое)

Ilot · 26.09.2013, 15:44

Странно... Пусть pn = 1/2 (все одинаковые). Произведение равно 1/2n сходится. А ряд логарифмов расходится (правда к -∞)

Вовсе не странно, а так и должно быть. Тонкость в том, сходимость бесконечного произведения это число от нуля до бесконечности исключая ноль. Таким образом бесконечное произведение тоже расходится

Сообщение от Day

Ilot, Не понял, как у вас получилось, что O(1/n-1/2) < 1/23n-1.
А ведь легко показать, что это существенное О-большое (никак не о-малое)

Под корешком торчит парабола попой к верху и имеет максимум в т 1/2 значит I < 1/2^4n-2

Добавлено через 16 минут
Может быть я где то не прав. Вот мои выкладки:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2n!}{{2}^{2n}{n!}^{2}} = \frac{1}{{2}^{2n}}\frac{G(2n + 1)}{G(n + 1)G(n + 1)}=\frac{1}{{2}^{2n}}B(n + 1, n + 1) = \frac{1}{{2}^{2n}} \int_{0}^{1}{x}^{n}{(1-x)}^{n}dx$
Каюсь, что степеня у меня отличаются в каждом посте. Ну уж простите спец ф-и у меня были давно на втором курсе. Так что самому интересно почему у нас порядки разнятся.

Добавлено через 55 минут
Очевидно одно, что с порядком я точно ошибся

@Том Ардер · 26.09.2013, 16:09

Сообщение от Ilot

Добавлено через 16 минут
Может быть я где то не прав. Вот мои выкладки:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2n!}{{2}^{2n}{n!}^{2}} = \frac{1}{{2}^{2n}}\frac{G(2n + 1)}{G(n + 1)G(n + 1)}=\frac{1}{{2}^{2n}}B(n + 1, n + 1) = \frac{1}{{2}^{2n}} \int_{0}^{1}{x}^{n}{(1-x)}^{n}dx$
Каюсь, что степеня у меня отличаются в каждом посте. Ну уж простите спец ф-и у меня были давно на втором курсе. Так что самому интересно почему у нас порядки разнятся.

Добавлено через 55 минут
Очевидно одно, что с порядком я точно ошибся

С B- и Г-функциями немножко напутал. Должно быть так:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(2n)!}{{2}^{2n}{n!}^{2}} = \frac{1}{{2}^{2n}}\frac{\Gamma (2n + 1)}{\Gamma (n + 1)\Gamma (n + 1)}=\frac{1}{{2}^{2n}(2n+1)B(n + 1, n + 1)}$

Асимптотику В-функции можно оценить методом перевала:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(n+1,n+1)\sim {2}^{-2n}\frac{1}{\sqrt{n}}$

Результат для отношения исходных факториалов: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sim \frac{1}{\sqrt{n}}$

@Igor · 26.09.2013, 17:59

Раз уж заикнулся...

Рассмотрим такой(ую) интеграл(последовательность):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {I}_{2n}=\int_{0}^{\pi /2}{\sin }^{2n}(x)dx=\int_{0}^{\pi /2}{\sin }^{2n-1}(x)\sin (x)dx=... ...=(2n-1)\int_{0}^{\pi /2}{\sin }^{2n-2}(x)(1-{\sin }^{2}x)dx=(2n-1){I}_{2n-2}-(2n-1){I}_{2n}\ \Rightarrow \ {I}_{2n}=\frac{2n-1}{2n}{I}_{2n-2}=\frac{1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot ...\cdot 2n}.$

Думаю, понятно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty }{I}_{2n}=0.$ Кому захочется, то пусть формализует.

@Том Ардер · 26.09.2013, 18:41

Igor, заменой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\sin^2 x}=t$ этот интеграл сводится к В-функции:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{I}_{2n}=\frac{1}{2}B(n,\, \frac{1}{2})$ .

Асимптотика даёт ту же самую оценку:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{I}_{2n}\sim \frac{1}{\sqrt{n}}$

Байт · 26.09.2013, 18:49 **[ТС]**

Igor, Замечательно. Пожалуй, самое красивое доказательство.

Добавлено через 1 минуту

Когда б вы знали, из какого сора...

...

Ilot · 26.09.2013, 18:54

Раз всех поперло может всеми силами возьмемся за эту задачу? Второй день не могу решить...

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.
Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .	Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .

Предел (2n-1)!!/(2n)!!

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978

	Предел (2n-1)!!/(2n)!! 25.09.2013, 16:31. Показов 27163. Ответов 19 Метки нет (Все метки) В разделе С++ возникла такая задачка Дано натуральное число n. Вычислить произведение первых n сомножителей: 1/23/45/6.; Ясно, что предел существует. Ощущение, что он равен 0. А вот доказательство в голову не приходит... Добавлено через 2 минуты В названии темы должно быть !! (двойной факториал). Так и набирал. Но получился только один... Добавлено через 1 минуту Наверное, это политика форума - сдерживать эмоции новичков 4

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	25.09.2013, 17:11
	Сообщение было отмечено как решение Решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> (2n-1)!!=\frac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=\frac{(2n-1)!}{2^{n-1}(n-1)!}\\(2n)!!=2^nn!\\\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!n!}\\\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!n!}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{2\pi (2n-1)}(\frac{2n-1}{e})^{2n-1}}{2^{2n-1}2\pi\sqrt{n(n-1)}(\frac{n-1}{e})^{n-1}(\frac{n}{e})^{n}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(2n-1)^{2n-0.5}}{2^{2n-1}(n-1)^{n-0.5}n^{n+0.5}}$ Добавлено через 1 минуту* Таки нуль. 6

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3416 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,817
	25.09.2013, 17:20
	Сообщение было отмечено как решение Решение Основные соотношения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{(2n)!!}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2n)!!={2}^{n}n!$ затем формула Стирлинга для факториалов Добавлено через 2 минуты cmath, опередил 3

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	25.09.2013, 22:53
	Сообщение было отмечено как решение Решение Можно через интеграл доказать. Если интересно, то могу расписать Добавлено через 15 минут Еще так можно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \ln \prod_{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{2n}=\sum_{n=1}^{\infty }\ln \frac{2n-1}{2n}=\sum_{n=1}^{\infty }\ln (1-\frac{1}{2n})\sim -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\ \Rightarrow \ \lim_{n\rightarrow \infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1} {2k}=0.$ 3

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	26.09.2013, 00:31 [ТС]
	Сообщение было отмечено как решение Решение Igor, Не сразу врубился, потом дошло. ln P -> -∞ => P->0 Здорово, и вполне элементарно. Чуял я, что где-то гармонический ряд здесь болтается Добавлено через 45 минут Ха-ха! Только прилег, и вот высветился такой набросок. Вместе с исходной последовательностью рассмотрим такую 2/34/5... 2n/(2n+1) Они настолько похожи, что если исходная имеет предел A>0, то и эта, новенькая имеет предел B>0 жирным выделено то, что в самом деле надо бы построже доказать. Будем считать доказанным, ИМХО, это очевидно. Они там как-то очень мило аппроксимируют друг дружку. Теперь перемножим их. Получится просто 1/(2n+1) -> 0 => A*B = 0 3

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	26.09.2013, 09:24
	Можно показать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {b}_{n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\ <\ \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.$ 2

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	26.09.2013, 13:16
	Ilot, а как же теорема: для того чтобы бесконечное произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\prod_{n=1}^{\infty}{p}_{n}$ сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\ln {p}_{n}.$ Кликните здесь для просмотра всего текста взято из Фихтенгольца. 0

Ilot $Эксперт по математике/физике$ 2224 / 1426 / 420 Регистрация: 16.05.2013 Сообщений: 3,649 Записей в блоге: 6
	26.09.2013, 13:35
	Ну правильно, а у вас то ряд логарифмов не сходится, значит теорема не применима. Я не к тому что у вас принципиально не правильно, а к тому что не стоит так просто оперировать особыми точками. Ведь предел штука хитрая. 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	26.09.2013, 17:59
	Сообщение было отмечено как решение Решение Раз уж заикнулся... Рассмотрим такой(ую) интеграл(последовательность): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {I}_{2n}=\int_{0}^{\pi /2}{\sin }^{2n}(x)dx=\int_{0}^{\pi /2}{\sin }^{2n-1}(x)\sin (x)dx=...<br /> ...=(2n-1)\int_{0}^{\pi /2}{\sin }^{2n-2}(x)(1-{\sin }^{2}x)dx=(2n-1){I}_{2n-2}-(2n-1){I}_{2n}\ \Rightarrow \ {I}_{2n}=\frac{2n-1}{2n}{I}_{2n-2}=\frac{1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot ...\cdot 2n}.$ Думаю, понятно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty }{I}_{2n}=0.$ Кому захочется, то пусть формализует. 3

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3416 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,817
	26.09.2013, 18:41
	Igor, заменой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\sin^2 x}=t$ этот интеграл сводится к В-функции: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{I}_{2n}=\frac{1}{2}B(n,\, \frac{1}{2})$ . Асимптотика даёт ту же самую оценку: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{I}_{2n}\sim \frac{1}{\sqrt{n}}$ 1

Ilot $Эксперт по математике/физике$ 2224 / 1426 / 420 Регистрация: 16.05.2013 Сообщений: 3,649 Записей в блоге: 6
	26.09.2013, 18:54
	Раз всех поперло может всеми силами возьмемся за эту задачу? Второй день не могу решить... 0