С Новым годом! Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
Карта форума Темы раздела Блоги Сообщество Поиск Заказать работу  
 
Рейтинг 4.91/32: Рейтинг темы: голосов - 32, средняя оценка - 4.91
9 / 9 / 1
Регистрация: 20.05.2012
Сообщений: 138
1

Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными

23.05.2013, 00:29. Показов 5775. Ответов 5
Метки нет (Все метки)

Author24 — интернет-сервис помощи студентам
Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными и найти их норму:

А:L2[a,b] в L2[a,b]
Ах(t)= sin(t)*x(t)
0
Лучшие ответы (1)
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
23.05.2013, 00:29
Ответы с готовыми решениями:

Являются ли линейными операторы A и B? Найти их матрицу
Пусть x = {x1; x2; x3}. Являются ли линейными операторы A и B? Найдите матрицу каждого линейного...

Проверить, являются ли заданные числа четными
Даны целые числа а и b. 1. Являются ли эти числа четными; вывести на экран только те числа,...

Проверить, являются ли заданные числа дружественными
Даны два натуральных числа. Проверить, являются ли они дружественными. Для подсчета суммы...

Проверить, являются ли заданные слова в предложении палиндромами
Проверить, являются ли заданные слова в предложении палиндромами (перевёртышами).

5
Эксперт по математике/физикеЭксперт С++
2206 / 1411 / 411
Регистрация: 16.05.2013
Сообщений: 3,597
Записей в блоге: 6
23.05.2013, 15:29 2
Напомните, что представляет собой нома L2...
Хотя впринципе это не так важно ведь оператор весьма прост и имеет вид cx.
Линеность:
A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2
Непрерывность:
||A(xn - xn+k)|| < c ||xn - xn+k|| < c * epsilon
||Ax|| < c ||x|| < c * X, как только x < X
c > |sin(t)|
2
4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038
24.05.2013, 12:25 3
Лучший ответ Сообщение было отмечено как решение

Решение

Цитата Сообщение от Ilot Посмотреть сообщение
Напомните, что представляет собой нома L2...
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
|| x ||_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b |x(t)|^2 dt \right)^{1/2}<br />

Цитата Сообщение от Ilot Посмотреть сообщение
Линеность:
A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2<br />

Цитата Сообщение от Ilot Посмотреть сообщение
Непрерывность:
||A(xn - xn+k)|| < c ||xn - xn+k|| < c * epsilon
Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица.

Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
||Ax|| \le c ||x||<br />

Цитата Сообщение от Ilot Посмотреть сообщение
||Ax|| < c ||x|| < c * X, как только x < X
c > |sin(t)|
А что такое t?
4
9 / 9 / 1
Регистрация: 20.05.2012
Сообщений: 138
19.06.2013, 18:30  [ТС] 4
Ax(t)=sin(t)*x(t)
A: L2[a,b] в L2[a,b]

Вроде бы доказала, но препод сказал что норма не правильно найдена, так нельзя...а как тогда надо? помогите
Миниатюры
Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными   Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными  
0
9 / 9 / 1
Регистрация: 20.05.2012
Сообщений: 138
19.06.2013, 22:20  [ТС] 5
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
|| x ||_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b |x(t)|^2 dt \right)^{1/2}<br />



https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2<br />


Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица.

Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
||Ax|| \le c ||x||<br />


А что такое t?
А как норму найти из этого?
0
4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038
20.06.2013, 21:43 6
Эко вы написали: "Покажем, что...; для этого необходимо, чтобы доказательство ограниченности выполнялось при x(t) = const." Это как это "доказательство выполняется"? Есть полуразговорное выражение "доказательство проходит", но "выполняется" - вроде не употребляется со словом "доказательство". В любом случае, непонятно, что вы имели в виду. Перед этим вы провели доказательство, которое одинаково хорошо проходит как для непостоянных, так и для постоянных функций.

Вообще, ограниченность оператора часто удаётся установить более-менее стандартными оценками, а находить норму в принципе сложнее. Вам требуется доказать, что найденное вами значение C = 1 нельзя уменьшить. (Что, вообще говоря, и неверно.) Для этого вы можете, например, найти такую функцию, на которой достигается равенство. Более общо, вы можете найти такую последовательность x_n, что ||Ax_n|| = c_n ||x_n||, где c_n -> C; легко понять, что отсюда следует, что ||A|| = C.

В вашем случае, мне кажется, лучше всего воспользоваться вторым способом. Ответ:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
||A|| = \max_{t \in [a,b]} |sin (t)|<br />
Указания к доказательству. Пусть максимум достигается в точке t0 и пусть для определённости отрезок [t0, t0 + eps] содержится в [a,b]. Рассмотрите последовательность
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
x_n (t)=\begin{cases}<br />
\sqrt{n} & t \in [t_0, t_0 + 1/n]\\<br />
0 & otherwise<br />
\end{cases}<br />
(n \geq 1/\varepsilon)<br />
1
20.06.2013, 21:43
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
20.06.2013, 21:43
Помогаю со студенческими работами здесь

Проверить, являются ли два треугольника, заданные сторонами, равновеликими
Составить программу, печатающую значение true, если указанное высказывание истинно, и false, если...

Проверить, являются ли заданные три числа взаимно простыми
Проверить, являются ли заданные три числа взаимно простыми. Помогите пожалуйста, очень прошу вас!...

Проверить являются ли заданные три числа взаимно простыми
Написать программу в паскаль абс и составить блок-схему

Доказать, что следующие функции не являются непрерывными в начале координат
Не понимаю как исследовать на непрерывность функцию в таком виде. Может кто может решить или...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
6
Ответ Создать тему
КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2024, CyberForum.ru