Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными

@Lucia000 · Регистрация: 20.05.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными и найти их норму:

А:L2[a,b] в L2[a,b]
Ах(t)= sin(t)*x(t)

Ilot · 23.05.2013, 15:29

Напомните, что представляет собой нома L2...
Хотя впринципе это не так важно ведь оператор весьма прост и имеет вид cx.
Линеность:
A(x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂
Непрерывность:
||A(x_n - x_n+k)|| < c ||x_n - x_n+k|| < c * epsilon
||Ax|| < c ||x|| < c * X, как только x < X
c > |sin(t)|

@helter · 24.05.2013, 12:25

Сообщение от Ilot

Напомните, что представляет собой нома L2...

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? || x ||_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b |x(t)|^2 dt \right)^{1/2} $

Сообщение от Ilot

Линеность:
A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2 $

Сообщение от Ilot

Непрерывность:
||A(xn - xn+k)|| < c ||xn - xn+k|| < c * epsilon

Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица.

Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? ||Ax|| \le c ||x|| $

Сообщение от Ilot

||Ax|| < c ||x|| < c * X, как только x < X
c > |sin(t)|

А что такое t?

@Lucia000 · 19.06.2013, 18:30 **[ТС]**

Ax(t)=sin(t)*x(t)
A: L2[a,b] в L2[a,b]

Вроде бы доказала, но препод сказал что норма не правильно найдена, так нельзя...а как тогда надо? помогите

@Lucia000 · 19.06.2013, 22:20 **[ТС]**

Сообщение от helter

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? || x ||_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b |x(t)|^2 dt \right)^{1/2} $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2 $

Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица.

Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? ||Ax|| \le c ||x|| $

А что такое t?

А как норму найти из этого?

@helter · 20.06.2013, 21:43

Эко вы написали: "Покажем, что...; для этого необходимо, чтобы доказательство ограниченности выполнялось при x(t) = const." Это как это "доказательство выполняется"? Есть полуразговорное выражение "доказательство проходит", но "выполняется" - вроде не употребляется со словом "доказательство". В любом случае, непонятно, что вы имели в виду. Перед этим вы провели доказательство, которое одинаково хорошо проходит как для непостоянных, так и для постоянных функций.

Вообще, ограниченность оператора часто удаётся установить более-менее стандартными оценками, а находить норму в принципе сложнее. Вам требуется доказать, что найденное вами значение C = 1 нельзя уменьшить. (Что, вообще говоря, и неверно.) Для этого вы можете, например, найти такую функцию, на которой достигается равенство. Более общо, вы можете найти такую последовательность x_n, что ||Ax_n|| = c_n ||x_n||, где c_n -> C; легко понять, что отсюда следует, что ||A|| = C.

В вашем случае, мне кажется, лучше всего воспользоваться вторым способом. Ответ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? ||A|| = \max_{t \in [a,b]} |sin (t)| $
Указания к доказательству. Пусть максимум достигается в точке t0 и пусть для определённости отрезок [t0, t0 + eps] содержится в [a,b]. Рассмотрите последовательность
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x_n (t)=\begin{cases} \sqrt{n} & t \in [t_0, t_0 + 1/n]\\ 0 & otherwise \end{cases} (n \geq 1/\varepsilon) $

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
BASH scripting - the best cases [PurpleSchool] jigi33 08.04.2025 Занятия BASH в PurpleSchool - отличные примеры для внедрения в практику (see screenshots and file names)	Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г.) Programma_Boinc 07.04.2025 Результаты исследования от команды MCM (март 2025 г. ) В рамках наших текущих исследований мы продолжаем изучать гены, которые имеют наибольшую вероятность развития рака легких, выявленные в рамках. . .	Рекурсивные типы в Python py-thonny 07.04.2025 Рекурсивные типы - это типы данных, которые определяются через самих себя или в сочетании с другими типами, которые в свою очередь ссылаются на исходный тип. В мире программирования такие структуры. . .	C++26: Объединение и конкатенация последовательностей и диапазонов в std::ranges NullReferenced 07.04.2025 Работа с последовательностями данных – одна из фундаментальных задач, с которой сталкивается каждый разработчик. C++ прошел длинный путь в эволюции средств для манипуляции коллекциями – от. . .	Обмен данными в микросервисной архитектуре ArchitectMsa 06.04.2025 Когда разработчики начинают погружаться в мир микросервисов, они часто сталкиваются с парадоксальным правилом: "два сервиса не должны делить один источник данных". Эта мантра звучит повсюду в. . .
PostgreSQL в Kubernetes: Автоматизация обслуживания с CNPG Mr. Docker 06.04.2025 Администраторы баз данных сталкиваются с целым рядом проблем при обслуживании PostgreSQL в Kubernetes: как обеспечить правильную репликацию данных, как настроить автоматическое переключение при. . .	Async/await в TypeScript run.dev 06.04.2025 Асинхронное программирование — это подход к разработке программного обеспечения, при котором операции выполняются независимо друг от друга. В отличие от синхронного выполнения, где каждая последующая. . .	Многопоточность в C#: Синхронизация потоков UnmanagedCoder 06.04.2025 Многопоточное программирование стало неотъемлемой частью разработки современных приложений на C#. С появлением многоядерных процессоров возможность выполнять несколько задач параллельно значительно. . .	TypeScript: Классы и конструкторы run.dev 06.04.2025 TypeScript, как статически типизированный язык, построенный на основе JavaScript, привнес в веб-разработку новый уровень надежности и структурированности кода. Одним из важнейших элементов этой. . .	Многопоточное программирование: Rust против C++ golander 06.04.2025 C++ существует уже несколько десятилетий и его поддержка параллелизма постепенно наращивалась со временем. Начиная с C++11, язык получил стандартную библиотеку для работы с потоками, а в последующих. . .

@Lucia000 9 / 9 / 1 Регистрация: 20.05.2012 Сообщений: 138

	Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными 23.05.2013, 00:29. Показов 5866. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными и найти их норму: А:L2[a,b] в L2[a,b] Ах(t)= sin(t)*x(t) 0

Ilot $Эксперт по математике/физике$ 2210 / 1415 / 411 Регистрация: 16.05.2013 Сообщений: 3,605 Записей в блоге: 6
	23.05.2013, 15:29
	Напомните, что представляет собой нома L2... Хотя впринципе это не так важно ведь оператор весьма прост и имеет вид cx. Линеность: A(x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂ Непрерывность: \|\|A(x_n - x_n+k)\|\| < c \|\|x_n - x_n+k\|\| < c * epsilon \|\|Ax\|\| < c \|\|x\|\| < c * X, как только x < X c > \|sin(t)\| 2

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	24.05.2013, 12:25
	Сообщение было отмечено как решение Решение Сообщение от Ilot Напомните, что представляет собой нома L2... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\| x \|\|_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b \|x(t)\|^2 dt \right)^{1/2}<br />$ Сообщение от Ilot Линеность: A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2<br />$ Сообщение от Ilot Непрерывность: \|\|A(xn - xn+k)\|\| < c \|\|xn - xn+k\|\| < c * epsilon Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица. Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\|Ax\|\| \le c \|\|x\|\|<br />$ Сообщение от Ilot \|\|Ax\|\| < c \|\|x\|\| < c * X, как только x < X c > \|sin(t)\| А что такое t? 4

@Lucia000 9 / 9 / 1 Регистрация: 20.05.2012 Сообщений: 138
	19.06.2013, 18:30 [ТС]
	Ax(t)=sin(t)*x(t) A: L2[a,b] в L2[a,b] Вроде бы доказала, но препод сказал что норма не правильно найдена, так нельзя...а как тогда надо? помогите Миниатюры 0

@Lucia000 9 / 9 / 1 Регистрация: 20.05.2012 Сообщений: 138
	19.06.2013, 22:20 [ТС]
	Сообщение от helter $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\| x \|\|_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b \|x(t)\|^2 dt \right)^{1/2}<br />$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2<br />$ Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица. Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\|Ax\|\| \le c \|\|x\|\|<br />$ А что такое t? А как норму найти из этого? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	20.06.2013, 21:43
	Эко вы написали: "Покажем, что...; для этого необходимо, чтобы доказательство ограниченности выполнялось при x(t) = const." Это как это "доказательство выполняется"? Есть полуразговорное выражение "доказательство проходит", но "выполняется" - вроде не употребляется со словом "доказательство". В любом случае, непонятно, что вы имели в виду. Перед этим вы провели доказательство, которое одинаково хорошо проходит как для непостоянных, так и для постоянных функций. Вообще, ограниченность оператора часто удаётся установить более-менее стандартными оценками, а находить норму в принципе сложнее. Вам требуется доказать, что найденное вами значение C = 1 нельзя уменьшить. (Что, вообще говоря, и неверно.) Для этого вы можете, например, найти такую функцию, на которой достигается равенство. Более общо, вы можете найти такую последовательность x_n, что \|\|Ax_n\|\| = c_n \|\|x_n\|\|, где c_n -> C; легко понять, что отсюда следует, что \|\|A\|\| = C. В вашем случае, мне кажется, лучше всего воспользоваться вторым способом. Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\|A\|\| = \max_{t \in [a,b]} \|sin (t)\|<br />$ Указания к доказательству. Пусть максимум достигается в точке t0 и пусть для определённости отрезок [t0, t0 + eps] содержится в [a,b]. Рассмотрите последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x_n (t)=\begin{cases}<br /> \sqrt{n} & t \in [t_0, t_0 + 1/n]\\<br /> 0 & otherwise<br /> \end{cases}<br /> (n \geq 1/\varepsilon)<br />$ 1

Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными

Решение