Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными

@Lucia000 · Регистрация: 20.05.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными и найти их норму:

А:L2[a,b] в L2[a,b]
Ах(t)= sin(t)*x(t)

Ilot · 23.05.2013, 15:29

Напомните, что представляет собой нома L2...
Хотя впринципе это не так важно ведь оператор весьма прост и имеет вид cx.
Линеность:
A(x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂
Непрерывность:
||A(x_n - x_n+k)|| < c ||x_n - x_n+k|| < c * epsilon
||Ax|| < c ||x|| < c * X, как только x < X
c > |sin(t)|

@helter · 24.05.2013, 12:25

Сообщение от Ilot

Напомните, что представляет собой нома L2...

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? || x ||_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b |x(t)|^2 dt \right)^{1/2} $

Сообщение от Ilot

Линеность:
A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2 $

Сообщение от Ilot

Непрерывность:
||A(xn - xn+k)|| < c ||xn - xn+k|| < c * epsilon

Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица.

Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? ||Ax|| \le c ||x|| $

Сообщение от Ilot

||Ax|| < c ||x|| < c * X, как только x < X
c > |sin(t)|

А что такое t?

@Lucia000 · 19.06.2013, 18:30 **[ТС]**

Ax(t)=sin(t)*x(t)
A: L2[a,b] в L2[a,b]

Вроде бы доказала, но препод сказал что норма не правильно найдена, так нельзя...а как тогда надо? помогите

@Lucia000 · 19.06.2013, 22:20 **[ТС]**

Сообщение от helter

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? || x ||_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b |x(t)|^2 dt \right)^{1/2} $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2 $

Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица.

Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? ||Ax|| \le c ||x|| $

А что такое t?

А как норму найти из этого?

@helter · 20.06.2013, 21:43

Эко вы написали: "Покажем, что...; для этого необходимо, чтобы доказательство ограниченности выполнялось при x(t) = const." Это как это "доказательство выполняется"? Есть полуразговорное выражение "доказательство проходит", но "выполняется" - вроде не употребляется со словом "доказательство". В любом случае, непонятно, что вы имели в виду. Перед этим вы провели доказательство, которое одинаково хорошо проходит как для непостоянных, так и для постоянных функций.

Вообще, ограниченность оператора часто удаётся установить более-менее стандартными оценками, а находить норму в принципе сложнее. Вам требуется доказать, что найденное вами значение C = 1 нельзя уменьшить. (Что, вообще говоря, и неверно.) Для этого вы можете, например, найти такую функцию, на которой достигается равенство. Более общо, вы можете найти такую последовательность x_n, что ||Ax_n|| = c_n ||x_n||, где c_n -> C; легко понять, что отсюда следует, что ||A|| = C.

В вашем случае, мне кажется, лучше всего воспользоваться вторым способом. Ответ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? ||A|| = \max_{t \in [a,b]} |sin (t)| $
Указания к доказательству. Пусть максимум достигается в точке t0 и пусть для определённости отрезок [t0, t0 + eps] содержится в [a,b]. Рассмотрите последовательность
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x_n (t)=\begin{cases} \sqrt{n} & t \in [t_0, t_0 + 1/n]\\ 0 & otherwise \end{cases} (n \geq 1/\varepsilon) $

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Асинхронные операции в Django с Celery py-thonny 05.04.2025 Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .	Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go golander 05.04.2025 Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .	Создаем Telegram бот на TypeScript с grammY run.dev 05.04.2025 Одна из его самых сильных сторон Telegram — это интеграция ботов прямо в экосистему приложения. В отличие от многих других платформ, он предоставляет разработчикам мощный API, позволяющий создавать. . .	Паттерны распределённых транзакций в Event-Driven микросервисах ArchitectMsa 05.04.2025 Современные программные системы всё чаще проектируются как совокупность взаимодействующих микросервисов. И хотя такой подход даёт множество преимуществ — масштабируемость, гибкость, устойчивость к. . .	Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .
Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .	Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .

@Lucia000 9 / 9 / 1 Регистрация: 20.05.2012 Сообщений: 138

	Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными 23.05.2013, 00:29. Показов 5859. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными и найти их норму: А:L2[a,b] в L2[a,b] Ах(t)= sin(t)*x(t) 0

Ilot $Эксперт по математике/физике$ 2209 / 1414 / 411 Регистрация: 16.05.2013 Сообщений: 3,606 Записей в блоге: 6
	23.05.2013, 15:29
	Напомните, что представляет собой нома L2... Хотя впринципе это не так важно ведь оператор весьма прост и имеет вид cx. Линеность: A(x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂ Непрерывность: \|\|A(x_n - x_n+k)\|\| < c \|\|x_n - x_n+k\|\| < c * epsilon \|\|Ax\|\| < c \|\|x\|\| < c * X, как только x < X c > \|sin(t)\| 2

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	24.05.2013, 12:25
	Сообщение было отмечено как решение Решение Сообщение от Ilot Напомните, что представляет собой нома L2... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\| x \|\|_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b \|x(t)\|^2 dt \right)^{1/2}<br />$ Сообщение от Ilot Линеность: A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2<br />$ Сообщение от Ilot Непрерывность: \|\|A(xn - xn+k)\|\| < c \|\|xn - xn+k\|\| < c * epsilon Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица. Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\|Ax\|\| \le c \|\|x\|\|<br />$ Сообщение от Ilot \|\|Ax\|\| < c \|\|x\|\| < c * X, как только x < X c > \|sin(t)\| А что такое t? 4

@Lucia000 9 / 9 / 1 Регистрация: 20.05.2012 Сообщений: 138
	19.06.2013, 18:30 [ТС]
	Ax(t)=sin(t)*x(t) A: L2[a,b] в L2[a,b] Вроде бы доказала, но препод сказал что норма не правильно найдена, так нельзя...а как тогда надо? помогите Миниатюры 0

@Lucia000 9 / 9 / 1 Регистрация: 20.05.2012 Сообщений: 138
	19.06.2013, 22:20 [ТС]
	Сообщение от helter $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\| x \|\|_{L_2(a,b)} = \left( \int_a^b \|x(t)\|^2 dt \right)^{1/2}<br />$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 A x_1 + \alpha_2 A x_2<br />$ Это вы условие Липшица проверяете - более сильное, чем непрерывность. Но хорошо известно, что непрерывность линейного оператора на нормируемом пространстве эквивалентна его ограниченности. Поэтому нет смысла отдельно проверять непрерывность или условие Липшица. Ограниченность значит, что существует c, такое, что для всех x выполняется (нестрогое) неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\|Ax\|\| \le c \|\|x\|\|<br />$ А что такое t? А как норму найти из этого? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	20.06.2013, 21:43
	Эко вы написали: "Покажем, что...; для этого необходимо, чтобы доказательство ограниченности выполнялось при x(t) = const." Это как это "доказательство выполняется"? Есть полуразговорное выражение "доказательство проходит", но "выполняется" - вроде не употребляется со словом "доказательство". В любом случае, непонятно, что вы имели в виду. Перед этим вы провели доказательство, которое одинаково хорошо проходит как для непостоянных, так и для постоянных функций. Вообще, ограниченность оператора часто удаётся установить более-менее стандартными оценками, а находить норму в принципе сложнее. Вам требуется доказать, что найденное вами значение C = 1 нельзя уменьшить. (Что, вообще говоря, и неверно.) Для этого вы можете, например, найти такую функцию, на которой достигается равенство. Более общо, вы можете найти такую последовательность x_n, что \|\|Ax_n\|\| = c_n \|\|x_n\|\|, где c_n -> C; легко понять, что отсюда следует, что \|\|A\|\| = C. В вашем случае, мне кажется, лучше всего воспользоваться вторым способом. Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \|\|A\|\| = \max_{t \in [a,b]} \|sin (t)\|<br />$ Указания к доказательству. Пусть максимум достигается в точке t0 и пусть для определённости отрезок [t0, t0 + eps] содержится в [a,b]. Рассмотрите последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x_n (t)=\begin{cases}<br /> \sqrt{n} & t \in [t_0, t_0 + 1/n]\\<br /> 0 & otherwise<br /> \end{cases}<br /> (n \geq 1/\varepsilon)<br />$ 1

Проверить, являются ли заданные операторы линейными, непрерывными, ограниченными

Решение