Исследовать ряд на сходимость

11.12.2012, 16:07. **Показов** 1057. **Ответов** 5

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum \frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+n)}$
Даламбер дает единицу.. логично было бы применить к этому делу сравнение, но я не пойму каким образом.

@cmath · 11.12.2012, 16:35

Необходимое условие не выполняется.

По признакам д'Аламбера и Коши:
Если вы получили единицу, то воспользуйтесь либо а) интегральным признаком Коши-Маклорена; б) признаком Раабе или еще каким-нибудь "слабым" признаком. Конечно, если выполнен необходимое условие. В противном случае можно сразу ставить диагноз "расходится". Всё это можете найти во II томе Фихтенгольца.

@St-Voland · 11.12.2012, 17:48

Эм. Для разминки возьмем а = 2. Получаем весьма сходящийся ряд. Потом слегка разогревшись можно попробовать с а = 0. Получаем еще чтото вполне разумное. Теперь, подставив а = 1 можем получить определенную гипотезу + воспользоваться признаками сравнения. Удачи))

@splen · 11.12.2012, 19:39

Данный ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum a_n=\sum \frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+n)}$

удобно сравнивать с рядом

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum b_n=\sum \frac{1}{(n+1)^{p}},$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\frac{a+1}{2}.$

При этом

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{a}{n+1},$

а

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{b_n}{b_{n+1}}=(1+\frac{1}{n+1})^{p} \sim 1+\frac{p}{n+1}.$

Пусть a > 1. Тогда a > p > 1, и для достаточно больших n

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_n}{a_{n+1}} \gt \frac{b_n}{b_{n+1}},$

откуда следует, что для достаточно больших n

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0 \lt a_n \lt const \cdot b_n,$

т.е. данный ряд мажорируется сходящимся рядом.

Если же a < 1, то a < p < 1, откуда для достаточно больших n получается аналогичная оценка снизу расходящимся рядом, и данный ряд также расходится.

Наконец, при а = 1 получаем гармонический ряд.

Байт · 11.12.2012, 23:17

Сообщение от cmath

Необходимое условие не выполняется.

С какого перепугу? При a >= 1 очень даже выполняется!

@cmath · 12.12.2012, 07:25

Сообщение от Байт

С какого перепугу? При a >= 1 очень даже выполняется!

Точно, извините. Чего-то про 0 думал.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .
Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .	Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .

Lestar13

	Исследовать ряд на сходимость 11.12.2012, 16:07. Показов 1057. Ответов 5 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum \frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+n)}$ Даламбер дает единицу.. логично было бы применить к этому делу сравнение, но я не пойму каким образом.

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	11.12.2012, 16:35
	Необходимое условие не выполняется. По признакам д'Аламбера и Коши: Если вы получили единицу, то воспользуйтесь либо а) интегральным признаком Коши-Маклорена; б) признаком Раабе или еще каким-нибудь "слабым" признаком. Конечно, если выполнен необходимое условие. В противном случае можно сразу ставить диагноз "расходится". Всё это можете найти во II томе Фихтенгольца. 0

@St-Voland 171 / 79 / 4 Регистрация: 05.12.2012 Сообщений: 217
	11.12.2012, 17:48
	Эм. Для разминки возьмем а = 2. Получаем весьма сходящийся ряд. Потом слегка разогревшись можно попробовать с а = 0. Получаем еще чтото вполне разумное. Теперь, подставив а = 1 можем получить определенную гипотезу + воспользоваться признаками сравнения. Удачи)) 2

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	11.12.2012, 19:39
	Сообщение было отмечено как решение Решение Данный ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum a_n=\sum \frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+n)}$ удобно сравнивать с рядом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum b_n=\sum \frac{1}{(n+1)^{p}},$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\frac{a+1}{2}.$ При этом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{a}{n+1},$ а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{b_n}{b_{n+1}}=(1+\frac{1}{n+1})^{p} \sim 1+\frac{p}{n+1}.$ Пусть a > 1. Тогда a > p > 1, и для достаточно больших n $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_n}{a_{n+1}} \gt \frac{b_n}{b_{n+1}},$ откуда следует, что для достаточно больших n $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0 \lt a_n \lt const \cdot b_n,$ т.е. данный ряд мажорируется сходящимся рядом. Если же a < 1, то a < p < 1, откуда для достаточно больших n получается аналогичная оценка снизу расходящимся рядом, и данный ряд также расходится. Наконец, при а = 1 получаем гармонический ряд. 3

Байт Диссидент 27710 / 17328 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	11.12.2012, 23:17
	Сообщение от cmath Необходимое условие не выполняется. С какого перепугу? При a >= 1 очень даже выполняется! 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	12.12.2012, 07:25
	Сообщение от Байт С какого перепугу? При a >= 1 очень даже выполняется! Точно, извините. Чего-то про 0 думал. 0

Исследовать ряд на сходимость

Решение