Исследовать ряд на сходимость

11.12.2012, 16:07. **Показов** 1051. **Ответов** 5

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum \frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+n)}$
Даламбер дает единицу.. логично было бы применить к этому делу сравнение, но я не пойму каким образом.

@cmath · 11.12.2012, 16:35

Необходимое условие не выполняется.

По признакам д'Аламбера и Коши:
Если вы получили единицу, то воспользуйтесь либо а) интегральным признаком Коши-Маклорена; б) признаком Раабе или еще каким-нибудь "слабым" признаком. Конечно, если выполнен необходимое условие. В противном случае можно сразу ставить диагноз "расходится". Всё это можете найти во II томе Фихтенгольца.

@St-Voland · 11.12.2012, 17:48

Эм. Для разминки возьмем а = 2. Получаем весьма сходящийся ряд. Потом слегка разогревшись можно попробовать с а = 0. Получаем еще чтото вполне разумное. Теперь, подставив а = 1 можем получить определенную гипотезу + воспользоваться признаками сравнения. Удачи))

@splen · 11.12.2012, 19:39

Данный ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum a_n=\sum \frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+n)}$

удобно сравнивать с рядом

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum b_n=\sum \frac{1}{(n+1)^{p}},$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\frac{a+1}{2}.$

При этом

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{a}{n+1},$

а

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{b_n}{b_{n+1}}=(1+\frac{1}{n+1})^{p} \sim 1+\frac{p}{n+1}.$

Пусть a > 1. Тогда a > p > 1, и для достаточно больших n

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_n}{a_{n+1}} \gt \frac{b_n}{b_{n+1}},$

откуда следует, что для достаточно больших n

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0 \lt a_n \lt const \cdot b_n,$

т.е. данный ряд мажорируется сходящимся рядом.

Если же a < 1, то a < p < 1, откуда для достаточно больших n получается аналогичная оценка снизу расходящимся рядом, и данный ряд также расходится.

Наконец, при а = 1 получаем гармонический ряд.

Байт · 11.12.2012, 23:17

Сообщение от cmath

Необходимое условие не выполняется.

С какого перепугу? При a >= 1 очень даже выполняется!

@cmath · 12.12.2012, 07:25

Сообщение от Байт

С какого перепугу? При a >= 1 очень даже выполняется!

Точно, извините. Чего-то про 0 думал.

Lestar13
		1
	Исследовать ряд на сходимость 11.12.2012, 16:07. Показов 1051. Ответов 5 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum \frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+n)}$ Даламбер дает единицу.. логично было бы применить к этому делу сравнение, но я не пойму каким образом.

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	11.12.2012, 16:35	2
	Необходимое условие не выполняется. По признакам д'Аламбера и Коши: Если вы получили единицу, то воспользуйтесь либо а) интегральным признаком Коши-Маклорена; б) признаком Раабе или еще каким-нибудь "слабым" признаком. Конечно, если выполнен необходимое условие. В противном случае можно сразу ставить диагноз "расходится". Всё это можете найти во II томе Фихтенгольца. 0

@St-Voland 171 / 79 / 4 Регистрация: 05.12.2012 Сообщений: 217
	11.12.2012, 17:48	3
	Эм. Для разминки возьмем а = 2. Получаем весьма сходящийся ряд. Потом слегка разогревшись можно попробовать с а = 0. Получаем еще чтото вполне разумное. Теперь, подставив а = 1 можем получить определенную гипотезу + воспользоваться признаками сравнения. Удачи)) 2

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	11.12.2012, 19:39	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение Данный ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum a_n=\sum \frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+n)}$ удобно сравнивать с рядом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum b_n=\sum \frac{1}{(n+1)^{p}},$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\frac{a+1}{2}.$ При этом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{a}{n+1},$ а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{b_n}{b_{n+1}}=(1+\frac{1}{n+1})^{p} \sim 1+\frac{p}{n+1}.$ Пусть a > 1. Тогда a > p > 1, и для достаточно больших n $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a_n}{a_{n+1}} \gt \frac{b_n}{b_{n+1}},$ откуда следует, что для достаточно больших n $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0 \lt a_n \lt const \cdot b_n,$ т.е. данный ряд мажорируется сходящимся рядом. Если же a < 1, то a < p < 1, откуда для достаточно больших n получается аналогичная оценка снизу расходящимся рядом, и данный ряд также расходится. Наконец, при а = 1 получаем гармонический ряд. 3

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	11.12.2012, 23:17	5
	Сообщение от cmath Необходимое условие не выполняется. С какого перепугу? При a >= 1 очень даже выполняется! 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	12.12.2012, 07:25	6
	Сообщение от Байт С какого перепугу? При a >= 1 очень даже выполняется! Точно, извините. Чего-то про 0 думал. 0

Исследовать ряд на сходимость

Решение