Найти область сходимости степенного ряда

@kristi1 · Регистрация: 07.03.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

День добрый! Не понимаю как совершить данное действо... Вот пример.... Объясните пожалуйста подробнее ибо у меня их еще много. Спасибо большое!

@Ellipsoid · 11.12.2012, 11:01

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{| \frac{a_{n+1}}{a_n}|}=\lim_{n \to \infty}{|\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+n+1} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} \cdot \frac{3^n+n}{2^n}|}=\frac{2}{3}|x|<1$

Решаем последнее неравенство и получаем интервал сходимости. Отдельно нужно проверить сходимость на концах интервала.

@kristi1 · 12.12.2012, 09:59 **[ТС]**

То бишь получаем, что x<-3/2 и x>3/2

Получается используем Радикальный признак Коши, а концы интервала подставляем вместо икса и получается ряд:

(2^n*(3/2)^n) / (3^n+n) в пределе получается 3 => ряд расходится, верно?

А второй будет знакопеременным. Получается, что он условно сходится.... Как его включать тогда?

vetvet · 12.12.2012, 10:26

Сообщение от kristi1

Получается используем Радикальный признак Коши

Вообще-то, это

Сообщение от Ellipsoid

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{| \frac{a_{n+1}}{a_n}|}=\lim_{n \to \infty}{|\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+n+1} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} \cdot \frac{3^n+n}{2^n}|}=\frac{2}{3}|x|<1$

признак Даламбера.

@kristi1 · 12.12.2012, 10:28 **[ТС]**

ну а дальше, когда вместо икса поставить -3/2

vetvet · 12.12.2012, 10:43

Сообщение от kristi1

ну а дальше, когда вместо икса поставить -3/2

Да. Подставляйте.

@kristi1 · 12.12.2012, 10:44 **[ТС]**

ну и получается что он будет условно сходиться, верно?

vetvet · 12.12.2012, 11:16

Сообщение от kristi1

ну и получается что он будет условно сходиться, верно?

Похоже на то.

@kristi1 · 12.12.2012, 11:17 **[ТС]**

тогда эту точку брать в область сходимости или оставить так: (-3/2,3/2] ?

vetvet · 12.12.2012, 11:25

Сообщение от kristi1

тогда эту точку брать в область сходимости или оставить так: (-3/2,3/2] ?

Он условно сходится при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-\frac{3}{2}$

И ещё нужно проверить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{3}{2}$

@kristi1 · 12.12.2012, 11:26 **[ТС]**

при 3/2 сходится у меня получилось, значит область сходимости будет такая: [-3/2,3/2] так?

vetvet · 12.12.2012, 11:42

Сообщение от kristi1

при 3/2 сходится у меня получилось, значит область сходимости будет такая: [-3/2,3/2] так?

Верно.

@kristi1 · 12.12.2012, 11:43 **[ТС]**

Спасибо большое, теперь разобралась, в который раз убеждаюсь - очень умный вы человек!=)

vetvet · 12.12.2012, 11:50

Всегда пожалуйста

Не по теме:

Сообщение от kristi1

очень умный вы человек!=)

Здесь есть умельцы гораздо лучше меня.

@kristi1 · 12.12.2012, 11:51 **[ТС]**

Все-таки реально - суть форума не тупо решить за человека, а помочь) вы не в 1 раз очень помогли, спасибо еще раз)

@kristi1 · 16.12.2012, 12:29 **[ТС]**

А радиус сходимость ищется же как предел an/(a(n+1), а не a(n+1)/an

Добавлено через 13 секунд
неверно получается нашли?

vetvet · 16.12.2012, 13:07

В вашем задании требуется найти область сходимости, а не радиус.

@kristi1 · 16.12.2012, 13:09 **[ТС]**

А, ну хорошо.... тогда с концами отрезка проблемы... У меня получается после сокращений, что общий член ряда не стремится к нулю, такое возможно?

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,557
	12.12.2012, 11:50	14
	Всегда пожалуйста Не по теме: Сообщение от kristi1 очень умный вы человек!=) Здесь есть умельцы гораздо лучше меня. 1

@kristi1 11 / 11 / 2 Регистрация: 07.03.2010 Сообщений: 465
	12.12.2012, 11:51 [ТС]	15
	Все-таки реально - суть форума не тупо решить за человека, а помочь) вы не в 1 раз очень помогли, спасибо еще раз) 0

@kristi1 11 / 11 / 2 Регистрация: 07.03.2010 Сообщений: 465
	16.12.2012, 13:09 [ТС]	18
	А, ну хорошо.... тогда с концами отрезка проблемы... У меня получается после сокращений, что общий член ряда не стремится к нулю, такое возможно? 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	11.12.2012, 11:01	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{\| \frac{a_{n+1}}{a_n}\|}=\lim_{n \to \infty}{\|\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+n+1} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} \cdot \frac{3^n+n}{2^n}\|}=\frac{2}{3}\|x\|<1$ Решаем последнее неравенство и получаем интервал сходимости. Отдельно нужно проверить сходимость на концах интервала. 1

@kristi1 11 / 11 / 2 Регистрация: 07.03.2010 Сообщений: 465
	12.12.2012, 09:59 [ТС]	3
	То бишь получаем, что x<-3/2 и x>3/2 Получается используем Радикальный признак Коши, а концы интервала подставляем вместо икса и получается ряд: (2^n*(3/2)^n) / (3^n+n) в пределе получается 3 => ряд расходится, верно? А второй будет знакопеременным. Получается, что он условно сходится.... Как его включать тогда? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,557
	12.12.2012, 10:26	4
	Сообщение от kristi1 Получается используем Радикальный признак Коши Вообще-то, это Сообщение от Ellipsoid $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{\| \frac{a_{n+1}}{a_n}\|}=\lim_{n \to \infty}{\|\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+n+1} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} \cdot \frac{3^n+n}{2^n}\|}=\frac{2}{3}\|x\|<1$ признак Даламбера. 1

@kristi1 11 / 11 / 2 Регистрация: 07.03.2010 Сообщений: 465
	12.12.2012, 10:28 [ТС]	5
	ну а дальше, когда вместо икса поставить -3/2 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,557
	12.12.2012, 10:43	6
	Сообщение от kristi1 ну а дальше, когда вместо икса поставить -3/2 Да. Подставляйте. 1

@kristi1 11 / 11 / 2 Регистрация: 07.03.2010 Сообщений: 465
	12.12.2012, 10:44 [ТС]	7
	ну и получается что он будет условно сходиться, верно? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,557
	12.12.2012, 11:16	8
	Сообщение от kristi1 ну и получается что он будет условно сходиться, верно? Похоже на то. 1

@kristi1 11 / 11 / 2 Регистрация: 07.03.2010 Сообщений: 465
	12.12.2012, 11:17 [ТС]	9
	тогда эту точку брать в область сходимости или оставить так: (-3/2,3/2] ? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,557
	12.12.2012, 11:25	10
	Сообщение от kristi1 тогда эту точку брать в область сходимости или оставить так: (-3/2,3/2] ? Он условно сходится при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-\frac{3}{2}$ И ещё нужно проверить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{3}{2}$ 1

@kristi1 11 / 11 / 2 Регистрация: 07.03.2010 Сообщений: 465
	12.12.2012, 11:26 [ТС]	11
	при 3/2 сходится у меня получилось, значит область сходимости будет такая: [-3/2,3/2] так? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,557
	12.12.2012, 11:42	12
	Сообщение от kristi1 при 3/2 сходится у меня получилось, значит область сходимости будет такая: [-3/2,3/2] так? Верно. 1

@kristi1 11 / 11 / 2 Регистрация: 07.03.2010 Сообщений: 465
	12.12.2012, 11:43 [ТС]	13
	Спасибо большое, теперь разобралась, в который раз убеждаюсь - очень умный вы человек!=) 0

@kristi1 11 / 11 / 2 Регистрация: 07.03.2010 Сообщений: 465
	16.12.2012, 12:29 [ТС]	16
	А радиус сходимость ищется же как предел an/(a(n+1), а не a(n+1)/an Добавлено через 13 секунд неверно получается нашли? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,557
	16.12.2012, 13:07	17
	В вашем задании требуется найти область сходимости, а не радиус. 0