Доказать что функция двух переменных не имеет предела в данной точке

@antony sky · Регистрация: 09.03.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

функции

@cmath · 17.09.2012, 15:32

Вообще достаточно показать, что пределы зависят от пути стремления к (0;0), т.е. при разных путях стремления получаются разные значения предела.
А мне только кажется, или пределы всё-таки есть?

@Igor · 17.09.2012, 16:54

Сообщение от Hydrogen

А мне только кажется, или пределы всё-таки есть?

Такие же мысли посещают.

@antony sky · 17.09.2012, 17:50 **[ТС]**

тогда просто помогите парочку пожалуйста решить

@Igor · 17.09.2012, 17:53

antony sky,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{(x,y)\rightarrow 0}{(1+{x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}}=\lim_{(x,y)\rightarrow 0}{(1+\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}})}^{\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}}=e$

@cmath · 17.09.2012, 18:23

antony sky,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sin xy}{x}=\frac{xy}{x}-\frac{{(xy)}^{3}}{x*3!}+\frac{{(xy)}^{5}}{x*5!}-...\\<br /> \lim \frac{\sin xy}{x} = \lim \sum \frac{{(-1)}^{n-1}{(xy)}^{2n+1}}{x*(2n+1)!}=0$

@Igor · 17.09.2012, 18:25

Hydrogen, может лучше так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{(x,y)\rightarrow 0}\frac{\sin xy}{x}=\lim_{(x,y)\rightarrow 0}\frac{\sin xy}{xy}\cdot y=\lim_{(x,y)\rightarrow 0}y=0$

@cmath · 17.09.2012, 18:32

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}-1}{{x}^{2}+{y}^{2}}=\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+1-1}{({x}^{2}+{y}^{2})\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}+1}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}+1}\\<br /> \lim \frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}-1}{{x}^{2}+{y}^{2}}=\lim \frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}+1} = \frac{1}{2}$

Добавлено через 46 секунд

Сообщение от Igor

Hydrogen, может лучше так:

Может. А вам мой вариант не нравится?

Добавлено через 2 минуты
Кст ваш вариантЪ упускает из виду траекторию стремления к (0;0) y=0, в этом случае... ну сами понимаете

@Igor · 17.09.2012, 19:14

Hydrogen, почему же - нравится.

Добавлено через 37 минут
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \lim_{(x,y)\rightarrow 0}\frac{tg({x}^{2}+{y}^{2})}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{4}+9}-3}=[tg({x}^{2}+{y}^{2})\sim ({x}^{2}+{y}^{2}),\ \sqrt{{x}^{2}+{y}^{4}+9}\sim \sqrt{{x}^{2}+{y}^{4}}+3,\ (x,y)\rightarrow 0]=<br /> =\lim_{(x,y)\rightarrow 0}\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{4}}}=[x=p\cos \varphi ,\ y=p\sin \varphi ]=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{{p}^{2}}{\sqrt{{p}^{2}{\cos }^{2}\varphi +{p}^{4}{\sin }^{4}\varphi }}=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{p}{\sqrt{{\cos }^{2}\varphi +{p}^{2}{\sin }^{4}\varphi }}=0$

@antony sky 0 / 4 / 1 Регистрация: 09.03.2011 Сообщений: 482
		1
	Доказать что функция двух переменных не имеет предела в данной точке 17.09.2012, 14:37. Показов 2408. Ответов 8 Метки нет (Все метки) функции Миниатюры 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.09.2012, 15:32	2
	Вообще достаточно показать, что пределы зависят от пути стремления к (0;0), т.е. при разных путях стремления получаются разные значения предела. А мне только кажется, или пределы всё-таки есть? 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.09.2012, 16:54	3
	Сообщение от Hydrogen А мне только кажется, или пределы всё-таки есть? Такие же мысли посещают. 1

@antony sky 0 / 4 / 1 Регистрация: 09.03.2011 Сообщений: 482
	17.09.2012, 17:50 [ТС]	4
	тогда просто помогите парочку пожалуйста решить 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.09.2012, 17:53	5
	antony sky, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{(x,y)\rightarrow 0}{(1+{x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}}=\lim_{(x,y)\rightarrow 0}{(1+\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}})}^{\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}}=e$ 1

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.09.2012, 18:23	6
	antony sky, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sin xy}{x}=\frac{xy}{x}-\frac{{(xy)}^{3}}{x3!}+\frac{{(xy)}^{5}}{x5!}-...\\<br /> \lim \frac{\sin xy}{x} = \lim \sum \frac{{(-1)}^{n-1}{(xy)}^{2n+1}}{x*(2n+1)!}=0$ 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.09.2012, 18:25	7
	Hydrogen, может лучше так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{(x,y)\rightarrow 0}\frac{\sin xy}{x}=\lim_{(x,y)\rightarrow 0}\frac{\sin xy}{xy}\cdot y=\lim_{(x,y)\rightarrow 0}y=0$ 1

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.09.2012, 18:32	8
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}-1}{{x}^{2}+{y}^{2}}=\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+1-1}{({x}^{2}+{y}^{2})\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}+1}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}+1}\\<br /> \lim \frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}-1}{{x}^{2}+{y}^{2}}=\lim \frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}+1} = \frac{1}{2}$ Добавлено через 46 секунд Сообщение от Igor Hydrogen, может лучше так: Может. А вам мой вариант не нравится? Добавлено через 2 минуты Кст ваш вариантЪ упускает из виду траекторию стремления к (0;0) y=0, в этом случае... ну сами понимаете 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.09.2012, 19:14	9
	Hydrogen, почему же - нравится. Добавлено через 37 минут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \lim_{(x,y)\rightarrow 0}\frac{tg({x}^{2}+{y}^{2})}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{4}+9}-3}=[tg({x}^{2}+{y}^{2})\sim ({x}^{2}+{y}^{2}),\ \sqrt{{x}^{2}+{y}^{4}+9}\sim \sqrt{{x}^{2}+{y}^{4}}+3,\ (x,y)\rightarrow 0]=<br /> =\lim_{(x,y)\rightarrow 0}\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{4}}}=[x=p\cos \varphi ,\ y=p\sin \varphi ]=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{{p}^{2}}{\sqrt{{p}^{2}{\cos }^{2}\varphi +{p}^{4}{\sin }^{4}\varphi }}=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{p}{\sqrt{{\cos }^{2}\varphi +{p}^{2}{\sin }^{4}\varphi }}=0$ 2