Л.Д.Кудрявцев и кампания, том 1, 2.35

@Igor · Регистрация: 11.11.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1},\ {x}_{2},\ ...\ ,\ {x}_{n} -$ произвольные неотрицательные числа, причем

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+\ {x}_{2}+\ ...\ +\ {x}_{n}\ \leq \ 1/2.$

Доказать, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\ ...\ (1-{x}_{n})\ \geq \ 1/2.$

Хотелось бы посмотреть возможные решения.

@Sakralbar · 17.01.2012, 16:49

Мне вот тоже интересно, может кто решил уже?

@Igor · 17.01.2012, 16:51 **[ТС]**

Я дошел до одного момента и дальше тупик, могу выложить кому интересно.

@Sakralbar · 17.01.2012, 16:52

Конечно интересно!

@Igor · 17.01.2012, 17:06 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-[(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})]\ \leq \ \frac{1}{2} (1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})\ \geq\ n-\frac{1}{2} \frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq\ 1-\frac{1}{2n} \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$
Т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n}\ \leq\ \frac{1}{2}$ , то можем законно воспользоваться неравенством Коши:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq \ \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \Rightarrow\ 1-\frac{1}{2n}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$
При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1:$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}$
Осталось показать монотонность, в этом и проблема.

@Sakralbar · 17.01.2012, 17:14

В третьей строке вторую чать не поделили на n. А дальше написали правильно.
Хм, может индукцией? (если, конечно, не пробовали)

@Igor · 18.01.2012, 12:59 **[ТС]**

Да, конечно, в третьей строке сделал опечатку.
Приводил к виду
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq\ \frac{1}{2}$

Вроде понятно теперь, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\geq\ \frac{1}{2}$ из неравенства Бернулли "вытекает".

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1+x)}^{n}\ \geq\ 1+nx x=-\frac{1}{2n}\ \geq\ -1,\ n\in N {(1+(-\frac{1}{2n}))}^{n}\ \geq \ 1+n(-\frac{1}{2n})$
В итоге, получаем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq \ \frac{1}{2}$

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
		1
	Л.Д.Кудрявцев и кампания, том 1, 2.35 16.01.2012, 21:54. Показов 838. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1},\ {x}_{2},\ ...\ ,\ {x}_{n} -$ произвольные неотрицательные числа, причем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+\ {x}_{2}+\ ...\ +\ {x}_{n}\ \leq \ 1/2.$ Доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\ ...\ (1-{x}_{n})\ \geq \ 1/2.$ Хотелось бы посмотреть возможные решения. 0

@Sakralbar 352 / 162 / 20 Регистрация: 22.12.2011 Сообщений: 352
	17.01.2012, 16:49	2
	Мне вот тоже интересно, может кто решил уже? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.01.2012, 16:51 [ТС]	3
	Я дошел до одного момента и дальше тупик, могу выложить кому интересно. 0

@Sakralbar 352 / 162 / 20 Регистрация: 22.12.2011 Сообщений: 352
	17.01.2012, 16:52	4
	Конечно интересно! 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.01.2012, 17:06 [ТС]	5
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-[(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})]\ \leq \ \frac{1}{2}<br /> (1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})\ \geq\ n-\frac{1}{2}<br /> \frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq\ 1-\frac{1}{2n}<br /> \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$ Т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n}\ \leq\ \frac{1}{2}$ , то можем законно воспользоваться неравенством Коши: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq \ \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \Rightarrow\ 1-\frac{1}{2n}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$ При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1:$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}$ Осталось показать монотонность, в этом и проблема. 0

@Sakralbar 352 / 162 / 20 Регистрация: 22.12.2011 Сообщений: 352
	17.01.2012, 17:14	6
	В третьей строке вторую чать не поделили на n. А дальше написали правильно. Хм, может индукцией? (если, конечно, не пробовали) 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	18.01.2012, 12:59 [ТС]	7
	Да, конечно, в третьей строке сделал опечатку. Приводил к виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq\ \frac{1}{2}$ Вроде понятно теперь, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\geq\ \frac{1}{2}$ из неравенства Бернулли "вытекает". $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1+x)}^{n}\ \geq\ 1+nx<br /> x=-\frac{1}{2n}\ \geq\ -1,\ n\in N<br /> {(1+(-\frac{1}{2n}))}^{n}\ \geq \ 1+n(-\frac{1}{2n})$ В итоге, получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq \ \frac{1}{2}$ 0