Л.Д.Кудрявцев и кампания, том 1, 2.35

@Igor · Регистрация: 11.11.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1},\ {x}_{2},\ ...\ ,\ {x}_{n} -$ произвольные неотрицательные числа, причем

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+\ {x}_{2}+\ ...\ +\ {x}_{n}\ \leq \ 1/2.$

Доказать, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\ ...\ (1-{x}_{n})\ \geq \ 1/2.$

Хотелось бы посмотреть возможные решения.

@Sakralbar · 17.01.2012, 16:49

Мне вот тоже интересно, может кто решил уже?

@Igor · 17.01.2012, 16:51 **[ТС]**

Я дошел до одного момента и дальше тупик, могу выложить кому интересно.

@Sakralbar · 17.01.2012, 16:52

Конечно интересно!

@Igor · 17.01.2012, 17:06 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-[(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})]\ \leq \ \frac{1}{2} (1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})\ \geq\ n-\frac{1}{2} \frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq\ 1-\frac{1}{2n} \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$
Т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n}\ \leq\ \frac{1}{2}$ , то можем законно воспользоваться неравенством Коши:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq \ \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \Rightarrow\ 1-\frac{1}{2n}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$
При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1:$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}$
Осталось показать монотонность, в этом и проблема.

@Sakralbar · 17.01.2012, 17:14

В третьей строке вторую чать не поделили на n. А дальше написали правильно.
Хм, может индукцией? (если, конечно, не пробовали)

@Igor · 18.01.2012, 12:59 **[ТС]**

Да, конечно, в третьей строке сделал опечатку.
Приводил к виду
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq\ \frac{1}{2}$

Вроде понятно теперь, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\geq\ \frac{1}{2}$ из неравенства Бернулли "вытекает".

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1+x)}^{n}\ \geq\ 1+nx x=-\frac{1}{2n}\ \geq\ -1,\ n\in N {(1+(-\frac{1}{2n}))}^{n}\ \geq \ 1+n(-\frac{1}{2n})$
В итоге, получаем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq \ \frac{1}{2}$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .
Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .	Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2

	Л.Д.Кудрявцев и кампания, том 1, 2.35 16.01.2012, 21:54. Показов 855. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1},\ {x}_{2},\ ...\ ,\ {x}_{n} -$ произвольные неотрицательные числа, причем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+\ {x}_{2}+\ ...\ +\ {x}_{n}\ \leq \ 1/2.$ Доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\ ...\ (1-{x}_{n})\ \geq \ 1/2.$ Хотелось бы посмотреть возможные решения. 0

@Sakralbar 352 / 162 / 20 Регистрация: 22.12.2011 Сообщений: 352
	17.01.2012, 16:49
	Мне вот тоже интересно, может кто решил уже? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.01.2012, 16:51 [ТС]
	Я дошел до одного момента и дальше тупик, могу выложить кому интересно. 0

@Sakralbar 352 / 162 / 20 Регистрация: 22.12.2011 Сообщений: 352
	17.01.2012, 16:52
	Конечно интересно! 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.01.2012, 17:06 [ТС]
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-[(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})]\ \leq \ \frac{1}{2}<br /> (1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})\ \geq\ n-\frac{1}{2}<br /> \frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq\ 1-\frac{1}{2n}<br /> \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$ Т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n}\ \leq\ \frac{1}{2}$ , то можем законно воспользоваться неравенством Коши: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq \ \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \Rightarrow\ 1-\frac{1}{2n}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$ При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1:$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}$ Осталось показать монотонность, в этом и проблема. 0

@Sakralbar 352 / 162 / 20 Регистрация: 22.12.2011 Сообщений: 352
	17.01.2012, 17:14
	В третьей строке вторую чать не поделили на n. А дальше написали правильно. Хм, может индукцией? (если, конечно, не пробовали) 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	18.01.2012, 12:59 [ТС]
	Да, конечно, в третьей строке сделал опечатку. Приводил к виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq\ \frac{1}{2}$ Вроде понятно теперь, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\geq\ \frac{1}{2}$ из неравенства Бернулли "вытекает". $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1+x)}^{n}\ \geq\ 1+nx<br /> x=-\frac{1}{2n}\ \geq\ -1,\ n\in N<br /> {(1+(-\frac{1}{2n}))}^{n}\ \geq \ 1+n(-\frac{1}{2n})$ В итоге, получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq \ \frac{1}{2}$ 0