Л.Д.Кудрявцев и кампания, том 1, 2.35

@Igor · Регистрация: 11.11.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1},\ {x}_{2},\ ...\ ,\ {x}_{n} -$ произвольные неотрицательные числа, причем

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+\ {x}_{2}+\ ...\ +\ {x}_{n}\ \leq \ 1/2.$

Доказать, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\ ...\ (1-{x}_{n})\ \geq \ 1/2.$

Хотелось бы посмотреть возможные решения.

@Sakralbar · 17.01.2012, 16:49

Мне вот тоже интересно, может кто решил уже?

@Igor · 17.01.2012, 16:51 **[ТС]**

Я дошел до одного момента и дальше тупик, могу выложить кому интересно.

@Sakralbar · 17.01.2012, 16:52

Конечно интересно!

@Igor · 17.01.2012, 17:06 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-[(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})]\ \leq \ \frac{1}{2} (1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})\ \geq\ n-\frac{1}{2} \frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq\ 1-\frac{1}{2n} \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$
Т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n}\ \leq\ \frac{1}{2}$ , то можем законно воспользоваться неравенством Коши:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq \ \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \Rightarrow\ 1-\frac{1}{2n}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$
При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1:$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}$
Осталось показать монотонность, в этом и проблема.

@Sakralbar · 17.01.2012, 17:14

В третьей строке вторую чать не поделили на n. А дальше написали правильно.
Хм, может индукцией? (если, конечно, не пробовали)

@Igor · 18.01.2012, 12:59 **[ТС]**

Да, конечно, в третьей строке сделал опечатку.
Приводил к виду
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq\ \frac{1}{2}$

Вроде понятно теперь, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\geq\ \frac{1}{2}$ из неравенства Бернулли "вытекает".

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1+x)}^{n}\ \geq\ 1+nx x=-\frac{1}{2n}\ \geq\ -1,\ n\in N {(1+(-\frac{1}{2n}))}^{n}\ \geq \ 1+n(-\frac{1}{2n})$
В итоге, получаем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq \ \frac{1}{2}$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Сайт компании Red-Star-Soft переехал на новый хостинг! Etyuhibosecyu 06.03.2025 Как и советовал Rius, я покинул хостинг от "Ru-Center" и перенес сайт red-star-soft. com на хостинг с более позитивными отзывами (спойлер: найти его было далеко не просто) (чтобы прочитать текст,. . .	Альтернативная сериализация в Java: сравнение Kryo, Protobuf и Avro Jamaican 06.03.2025 Сериализация — один из краеугольных процессов в Java-разработке. Превращение объектов в поток байтов для хранения или передачи по сети с последующим восстановлением звучит просто, но реализация этого. . .	Битва Java-кешей: Сравниваем Ehcache, Caffeine и Hazelcast Jamaican 06.03.2025 Производительность — вечный Святой Грааль для Java-разработчиков. Мы оптимизируем алгоритмы, настраиваем JVM, распараллеливаем процессы, но неизменно приходим к одному и тому же средству ускорения —. . .	Параметры подтверждения сообщения Kafka Jamaican 06.03.2025 Среди распределённых систем и высоконагруженных приложений Apache Kafka занимает особое место. Эта платформа потоковой обработки данных давно стала стандартом де-факто для организаций, которым. . .	Оптимизация времени запуска Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Вы когда-нибудь сидели, барабаня пальцами по столу, пока ваше Spring Boot приложение медленно поднимается? Этот момент, когда вы успеваете сходить за кофе, пообщаться с коллегами и вернуться, а. . .
Деплой Kubernetes в Java: масштабирование Spring Boot приложений Jamaican 06.03.2025 Когда ваше Spring Boot приложение внезапно получает всплеск трафика или требует плавного обновления без простоя — традиционные методы деплоя часто пасуют. Именно здесь на сцену выходит Kubernetes —. . .	Бессерверные приложения Java: сравнение AWS Lambda и Azure Functions Jamaican 06.03.2025 Что такое "бессерверные приложения" и почему они так привлекательны? Вопреки названию, серверы никуда не исчезли — просто теперь управление инфраструктурой перекладывается на плечи облачного. . .	Безопасность микросервисов с OAuth2 и OpenID Connect Jamaican 06.03.2025 С ростом популярности микросервисов растут и проблемы, связанные с их безопасностью. В отличие от монолитных приложений, где безопасность можно было обеспечить централизованно, микросервисная. . .	Структурное логирование в Spring Boot Jamaican 06.03.2025 Представьте, что вы управляете сотней микросервисов в продакшн-среде. Внезапно один из сервисов начинает давать сбои, и вам нужно срочно выяснить причину. Вы открываете логи и видите бесконечные. . .	Предотвращение XSS, CSRF и SQL-инъекций в JavaScript bytestream 05.03.2025 В эпоху цифровизации безопасность веб-приложений становится не просто рекомендацией, а жизненной необходимостью. Если вы разрабатываете приложения на JavaScript, вам наверняка знакома эта. . .

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
		1
	Л.Д.Кудрявцев и кампания, том 1, 2.35 16.01.2012, 21:54. Показов 849. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1},\ {x}_{2},\ ...\ ,\ {x}_{n} -$ произвольные неотрицательные числа, причем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+\ {x}_{2}+\ ...\ +\ {x}_{n}\ \leq \ 1/2.$ Доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\ ...\ (1-{x}_{n})\ \geq \ 1/2.$ Хотелось бы посмотреть возможные решения. 0

@Sakralbar 352 / 162 / 20 Регистрация: 22.12.2011 Сообщений: 352
	17.01.2012, 16:49	2
	Мне вот тоже интересно, может кто решил уже? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.01.2012, 16:51 [ТС]	3
	Я дошел до одного момента и дальше тупик, могу выложить кому интересно. 0

@Sakralbar 352 / 162 / 20 Регистрация: 22.12.2011 Сообщений: 352
	17.01.2012, 16:52	4
	Конечно интересно! 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.01.2012, 17:06 [ТС]	5
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-[(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})]\ \leq \ \frac{1}{2}<br /> (1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})\ \geq\ n-\frac{1}{2}<br /> \frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq\ 1-\frac{1}{2n}<br /> \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$ Т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n}\ \leq\ \frac{1}{2}$ , то можем законно воспользоваться неравенством Коши: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(1-{x}_{1})+(1-{x}_{2})+...+(1-{x}_{n})}{n}\ \geq \ \sqrt[n]{(1-{x}_{1})(1-{x}_{2})\cdot ...\cdot (1-{x}_{n})}\ \Rightarrow\ 1-\frac{1}{2n}\ \geq \ \frac{1}{\sqrt[n]{2}},$ При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1:$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}$ Осталось показать монотонность, в этом и проблема. 0

@Sakralbar 352 / 162 / 20 Регистрация: 22.12.2011 Сообщений: 352
	17.01.2012, 17:14	6
	В третьей строке вторую чать не поделили на n. А дальше написали правильно. Хм, может индукцией? (если, конечно, не пробовали) 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	18.01.2012, 12:59 [ТС]	7
	Да, конечно, в третьей строке сделал опечатку. Приводил к виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq\ \frac{1}{2}$ Вроде понятно теперь, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\geq\ \frac{1}{2}$ из неравенства Бернулли "вытекает". $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1+x)}^{n}\ \geq\ 1+nx<br /> x=-\frac{1}{2n}\ \geq\ -1,\ n\in N<br /> {(1+(-\frac{1}{2n}))}^{n}\ \geq \ 1+n(-\frac{1}{2n})$ В итоге, получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(1-\frac{1}{2n})}^{n}\ \geq \ \frac{1}{2}$ 0