Полное исследование функций и построение ее графика.

1. Область определения
2. Непрерывность.
В особых точках, найденных в п.1 (точек, в которых значение функции не определено), ищем односторонние пределы:
- особая точка;

- правосторонний (правый) предел;

- левосторонний (левый) предел.
3. Чётность/Нечётность.
Для проверки функции на чётность/нечётность, подставляем в функцию вместо аргумента .

а) если можно преобразовать функцию так, что , то функция чётная (её график симметричен относительно оси Oy);

б) если можно преобразовать функцию так, что , то функция нечётная (её график симметричен относительно начала координат);

в) если после подстановки получаем , то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего положения).


4. Периодичность.
Функция будет являться периодической, если существует такое число , что . Если после преобразований получается, что равенство возможно только при , то функция не является периодической (чаще всего периодическими являются тригонометрические функции).


5. Точки пересечения с осями.
Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно найти корни уравнения .
Точки пересечения будут иметь вид:
, где - корни уравнения .

Чтобы найти точки пересечения с осью Oy, нужно найти значение функции при .
Точка пересечения будет иметь вид:
.


6. Промежутки знакопостоянства.
Найденные в п.5 точки пересечения с осью Ox и особые точки функции (если они есть) наносятся на числовую ось. Из каждого из получившихся промежутков выбирается точка и подставляется в уравнение функции. Если в результате получается отрицательное значение функции, то на данном промежутке функция находится ниже оси Ox; если получается положительное значение - то функция находится выше оси Ox.


7. Возрастание/убывание функции, точки экстремума.
По правилам дифференцирования находим первую производную функции и приравниваем её нулю. Найденные стационарные точки (нули производной) и особые точки производной (если есть) наносим на числовую ось и аналогично п.6 находим знак производной в получившихся промежутках:

- промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции;

- промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции;

- если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с плюса на минус, то стационарная точка является точкой максимума(при условии, что в ней определено значение функции);

- если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с минуса на плюс, то стационарная точка является точкой минимума(при условии, что в ней определено значение функции).

Если производная имеет постоянный знак на всей области определения, то функция монотонна.


8. Выпуклость/вогнутость, точки перегиба.
По правилам дифференцирования находим вторую производную функции и приравниваем её нулю. Найденные точки (нули второй производной) и особые точки второй производной (если есть) наносим на числовую ось и аналогично п.6 находим знак второй производной в получившихся промежутках:

- на промежутках, на которых вторая производная положительна, функция вогнута (выпукла вниз);

- на промежутках, на которых вторая производная отрицательна, функция выпукла (выпукла вверх);

- если при переходе через полученную точку вторая производная меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс, то точка является точкой перегиба(при условии, что в ней определено значение функции).

Если вторая производная имеет постоянный знак на всей области определения, то точек перегиба нет.


9. Асимптоты.
Если в п. 2 получен хотя бы один бесконечный предел, то прямая является вертикальной асимптотой.

Если существуют и конечны два предела:



то прямая является наклонной асимптотой.

В случае (наклонная асимптота совпадает с горизонтальной) прямая является горизонтальной асимптотой.


10. График функции.
На координатной плоскости отмечаются найденные особые точки, точки пересечения с осями, точки экстремума и точки перегиба. Для уточнения можно найти несколько точек функции и отметить на координатной плоскости. Проводятся асимптоты (обычно пунктиром).
Согласно полученным свойствам функции схематично рисуется график.