Исследовать на дифференцируемость

@rabbbit · Регистрация: 21.11.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Исследовать на дифференцируемость функцию

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x;\,y)=2sqrt{|xy|}$ в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0;\,0)$

Рассуждения.

Функция, для того чтобы быть дифференцируемой в точке, должна,
во-первых, иметь частные производные в этой точке, а во-вторых, частные производные
должны быть непрерывными функциями. Здесь частные производные по x и y существуют и равны нулю.

Решение.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_{\small x}=f'_{\small y}=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim\limits_{\small \Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}\frac {sqrt{|\small{\Delta} \normalsize{x} \small{\Delta} \normalsize{y}|}}{sqrt{\small{\Delta} \normalsize{x^2}+\small{\Delta} \normalsize{y^2}}}=\lim\limits_{\small \Delta x\to 0}\frac {sqrt{|\normalsize{k}\small{\Delta} \normalsize{x^2}|}}{sqrt{\small{\Delta} \normalsize {x^2}+\normalsize {k^2} \small{\Delta} \normalsize{x^2}}}=\lim\limits_{\small \Delta x\to 0}\frac {|\small{\Delta} \normalsize{x}|sqrt{k}}{|\small{\Delta} \normalsize{x}|sqrt{1+k^2}}=\begin{equation*}\begin{cases} 0,\;k=0,\\ \frac{sqrt k}{sqrt{1+k^2}},\;\neq0.\end{cases}\end{equation*}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\small{\Delta} \normalsize{y}=\normalsize{k} \small{\Delta} \normalsize{x})$

т.е. функция не дифференцируема.

Какие ещё существуют варианты решения задачи и прав ли я в одном из?

@jogano · 08.06.2019, 15:29

По-вашему тогда и функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=x^2+y^2$ (график - параболоид) в (1;1) не дифференцируема, так как производная по направлению не одинакова для разных направлений, а именно при dy=kdx равна 2k+2. Именно это вы и делаете в последней строке - находите производную по направлению. Она зависит от направления, да. И что?
А то, что нужно, вы не доказали и не опровергли - непрерывность производной в данной точке.

@rabbbit · 08.06.2019, 19:07 **[ТС]**

Нужно рассмотреть пределы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial f}{\partial x}(x;\,y)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial f}{\partial y}(x;\,y)$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x;\,y)\rightarrow (0;\,0)$
И если хотя бы одного не существует, то соответствующая частная производная не является непрерывной функцией.

Добавлено через 1 час 35 минут
jogano, тут всё проще. Необходимое условие дифференцируемости выполнено - частные производные существуют, но это и неважно, потому что функция не является непрерывной, т.е. не дифференцируема. Об этом говорит последняя строка.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .	Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .
Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .	Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Рецензия / Мнение/ Перевод Нашел на реддите интересную статью под названием The Thinkpad X220 Tablet is the best budget school laptop period . Ниже её машинный перевод. Thinkpad X220 Tablet —. . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.

@rabbbit 3 / 3 / 1 Регистрация: 21.11.2018 Сообщений: 251

	Исследовать на дифференцируемость 08.06.2019, 14:22. Показов 20486. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Исследовать на дифференцируемость функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x;\,y)=2sqrt{\|xy\|}$ в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0;\,0)$ Рассуждения. Функция, для того чтобы быть дифференцируемой в точке, должна, во-первых, иметь частные производные в этой точке, а во-вторых, частные производные должны быть непрерывными функциями. Здесь частные производные по x и y существуют и равны нулю. Решение. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_{\small x}=f'_{\small y}=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim\limits_{\small \Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}\frac {sqrt{\|\small{\Delta} \normalsize{x} \small{\Delta} \normalsize{y}\|}}{sqrt{\small{\Delta} \normalsize{x^2}+\small{\Delta} \normalsize{y^2}}}=\lim\limits_{\small \Delta x\to 0}\frac {sqrt{\|\normalsize{k}\small{\Delta} \normalsize{x^2}\|}}{sqrt{\small{\Delta} \normalsize {x^2}+\normalsize {k^2} \small{\Delta} \normalsize{x^2}}}=\lim\limits_{\small \Delta x\to 0}\frac {\|\small{\Delta} \normalsize{x}\|sqrt{k}}{\|\small{\Delta} \normalsize{x}\|sqrt{1+k^2}}=\begin{equation}\begin{cases} 0,\;k=0,\\ \frac{sqrt k}{sqrt{1+k^2}},\;\neq0.\end{cases}\end{equation}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\small{\Delta} \normalsize{y}=\normalsize{k} \small{\Delta} \normalsize{x})$ т.е. функция не дифференцируема. Какие ещё существуют варианты решения задачи и прав ли я в одном из? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.06.2019, 15:29
	По-вашему тогда и функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=x^2+y^2$ (график - параболоид) в (1;1) не дифференцируема, так как производная по направлению не одинакова для разных направлений, а именно при dy=kdx равна 2k+2. Именно это вы и делаете в последней строке - находите производную по направлению. Она зависит от направления, да. И что? А то, что нужно, вы не доказали и не опровергли - непрерывность производной в данной точке. 0

@rabbbit 3 / 3 / 1 Регистрация: 21.11.2018 Сообщений: 251
	08.06.2019, 19:07 [ТС]
	Нужно рассмотреть пределы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial f}{\partial x}(x;\,y)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial f}{\partial y}(x;\,y)$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x;\,y)\rightarrow (0;\,0)$ И если хотя бы одного не существует, то соответствующая частная производная не является непрерывной функцией. Добавлено через 1 час 35 минут jogano, тут всё проще. Необходимое условие дифференцируемости выполнено - частные производные существуют, но это и неважно, потому что функция не является непрерывной, т.е. не дифференцируема. Об этом говорит последняя строка. 0