Производная модуля

@MyNameO1eg · Регистрация: 21.05.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

значит дана функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)={x}^{2}|x|$ и нужно найти 3-ю производную в точке x=0
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{(1)}=2x|x|+\frac{{x}^{3}}{|x|}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{(2)}=2|x|+\frac{2{x}^{2}}{|x|}+\frac{3{x}^{2}|x|-{x}^{3}\frac{x}{|x|}}{{|x|}{2}}=5|x|-\frac{{x}{2}}{|x|}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{(3)}=5|x|-\frac{2x|x|-{x}^{2}\frac{x}{|x|}}{{|x|}^{2}}=\frac{5x}{|x|}-\frac{2|x|}{x}-\frac{x}{|x|} ;{f}^{3}(0)=$ не существует
вопрос я верно решил?

Добавлено через 7 минут
ВОПРОС то вот в чём в ответах первые две производные в точке х=0 равны нулю а третей не существует так вот вопрос то почему она не сущестует вроде когда модуль раскроем то там должно всё получиться т.е. я производную то так нахожу или делаю что то не так?

Добавлено через 7 минут
там в третей производной забыл написать 5x/|x|, но после равно написано верно

@kabenyuk · 01.01.2019, 20:05

Сообщение от MyNameO1eg

вопрос я верно решил?

Что-то никогда не видел таких вычислений производной. Я бы вычислил сначала производную слева от нуля, затем справа:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'(x)=\begin{cases}-3x^2, & \text{ if } x<0, \\ 3x^2, & \text{ if } x>0. \end{cases}$
И убедился в в том, что производная в нуля существует и равна 0. Потом бы перешел ко второй производной.

Добавлено через 18 минут
Только исправить надо на -3x^2 и на 3x^2.

@jogano · 01.01.2019, 20:32

MyNameO1eg, сложно делаете.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2 \left|x \right|=\left[-x^3, \: x<0\\x^3, \: x\geq 0 \right. = x^3 \cdot sgnx$
Есть такая функция сигнум: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sgnx=\left[-1, \: x<0\\0, \: x=0\\1, \: x>0 \right.$
Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( x^3 \cdot sgn x\right)'=3x^2 \cdot sgnx\\\left( x^3 \cdot sgn x\right)''=6x \cdot sgnx\\\left( x^3 \cdot sgn x\right)'''=6 \cdot sgnx\\$
Если теперь подставить х=0 в эти три производные, то первые две равны по 0, а третья не существует, так как левая производная равна -6, а правая равна 6 за счёт сингума.
По поводу взятия производной произведения - сигнум это функция-константа, только с разными значениями по разные стороны от х=0, поэтому производная от неё равна 0 во всех точках, кроме х=0, и эту функцию можно выносить за знак производной, как и всякую константу.

@wer1 · 02.01.2019, 08:29

Уважаемый jogano,
я внимательно просмотрел все предложенные варианты решения задачи и у меня возник вопрос.
1. Вот как ТС нашёл первую производную $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f^{(1)}=2x|x|+\frac{x^3}{|x|}$
2. Нечто подобное с использованием функции sgn(x) написали и Вы.
3. Вопрос
В обоих случаях первая производная - разрывная функция в точке x = 0.
Имеем ли мы право искать следующие производные В ТОЧКЕ РАЗРЫВА?

@jogano · 02.01.2019, 09:31

Сообщение от нтч

первая производная - разрывная функция в точке x = 0.

Нет, непрерывная.
Производная в точке существует, если левая производная равна правой, т.е.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'\left(x_0- \right)=\lim_{\Delta x \to 0-}\frac{f\left(x_0+\Delta x \right)-f\left(x_0 \right)}{\Delta x}\\f'\left(x_0+ \right)=\lim_{\Delta x \to 0+}\frac{f\left(x_0+\Delta x \right)-f\left(x_0 \right)}{\Delta x}\\\text{if }f'\left(x_0- \right)=f'\left(x_0+ \right) \: \Rightarrow \: \exist f'\left(x_0 \right)$ . В нашем случае они обе равны по 0 в точке 0.

Добавлено через 13 минут
А непрерывность производной это другое. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{\Delta x \to 0-}f'\left(x_0+\Delta x \right)=\lim_{\Delta x \to 0+}f'\left(x_0+\Delta x \right)$ . Если это выполнено, то производная в точке x₀ непрерывна, как и для обычной функции в точке.

Байт · 02.01.2019, 11:45

jogano, я бы поостерегся записывать исходную функцию в виде
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = {x}^{2}|x| = {x}^{3} sign(x)$
Ибо так и подмывает взять производную от произведения... И брать производную от sign в нуле...
Да и зачем хорошую дважды гладкую функцию представлять с использованием такого уродца? Ибо значение сигнума в нуле не так, чтобы очень уж, определено. Иногда надо, чтоб sign(0) = 0, а иногда и вовсе не определено.

@jogano · 02.01.2019, 13:27

Сообщение от Байт

Ибо так и подмывает взять производную от произведения...

И на здоровье. берём. Об этом - последние 2 строчки поста #3.

Сообщение от Байт

И брать производную от sign в нуле...

Кроме как в нуле.

Сообщение от Байт

Да и зачем хорошую дважды гладкую функцию представлять с использованием такого уродца? Ибо значение сигнума в нуле не так, чтобы очень уж, определено. Иногда надо, чтоб sign(0) = 0, а иногда и вовсе не определено.

Функция применяется для компактности записи, чтобы два случая не рассматривать. На сколько она красивая или уродливая - это не математические категории. Дело вкуса.

Байт · 02.01.2019, 13:52

Сообщение от jogano

На сколько она красивая или уродливая - это не математические категории.

Ну, это вольность речи... Я вот о чем. Пусть f(x) = x*|x| = x²
f'(x) = 2x*sign(x) (*) - тут нам удобнее считать, что sign(0) = 0 (во всяком случае - определена)
f''(x) = sign(x) (**) - а вот тут нам лучше считать, что функция sign в нуле не определена.
Т.е. под sign(x) в (*) и (**) мы понимаем 2 различные функции , если, конечно, я правильно понимаю, что есть функция.
И по-честному , нам бы и надо для этих двух функция использовать разные обозначения.
Именно это я имел в виду под "уродством". Так как, когда я вижу запись sign(x), я не всегда понимаю, о какой из этих двух функций едет речь.
Вы мне, конечно, посоветуете понимать это из контекста. Но, имхо, это не самый лучший совет

Добавлено через 2 минуты
ЗЫ. Чисто эстетически мне функция sign(x) очень даже нравится. А вот с точки зрения математики... Скользкая она... Друликая.. как Янус.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Old Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .	Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114
Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .	Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .

@MyNameO1eg 4 / 3 / 2 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 97

	Производная модуля 01.01.2019, 19:28. Показов 9304. Ответов 7 Метки нет (Все метки) значит дана функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)={x}^{2}\|x\|$ и нужно найти 3-ю производную в точке x=0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{(1)}=2x\|x\|+\frac{{x}^{3}}{\|x\|}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{(2)}=2\|x\|+\frac{2{x}^{2}}{\|x\|}+\frac{3{x}^{2}\|x\|-{x}^{3}\frac{x}{\|x\|}}{{\|x\|}{2}}=5\|x\|-\frac{{x}{2}}{\|x\|}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{(3)}=5\|x\|-\frac{2x\|x\|-{x}^{2}\frac{x}{\|x\|}}{{\|x\|}^{2}}=\frac{5x}{\|x\|}-\frac{2\|x\|}{x}-\frac{x}{\|x\|} ;{f}^{3}(0)=$ не существует вопрос я верно решил? Добавлено через 7 минут ВОПРОС то вот в чём в ответах первые две производные в точке х=0 равны нулю а третей не существует так вот вопрос то почему она не сущестует вроде когда модуль раскроем то там должно всё получиться т.е. я производную то так нахожу или делаю что то не так? Добавлено через 7 минут там в третей производной забыл написать 5x/\|x\|, но после равно написано верно 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.01.2019, 20:32
	Сообщение было отмечено MyNameO1eg как решение Решение MyNameO1eg, сложно делаете. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2 \left\|x \right\|=\left[-x^3, \: x<0\\x^3, \: x\geq 0 \right. = x^3 \cdot sgnx$ Есть такая функция сигнум: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sgnx=\left[-1, \: x<0\\0, \: x=0\\1, \: x>0 \right.$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( x^3 \cdot sgn x\right)'=3x^2 \cdot sgnx\\\left( x^3 \cdot sgn x\right)''=6x \cdot sgnx\\\left( x^3 \cdot sgn x\right)'''=6 \cdot sgnx\\$ Если теперь подставить х=0 в эти три производные, то первые две равны по 0, а третья не существует, так как левая производная равна -6, а правая равна 6 за счёт сингума. По поводу взятия производной произведения - сигнум это функция-константа, только с разными значениями по разные стороны от х=0, поэтому производная от неё равна 0 во всех точках, кроме х=0, и эту функцию можно выносить за знак производной, как и всякую константу. 1

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	02.01.2019, 08:29
	Уважаемый jogano, я внимательно просмотрел все предложенные варианты решения задачи и у меня возник вопрос. 1. Вот как ТС нашёл первую производную $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f^{(1)}=2x\|x\|+\frac{x^3}{\|x\|}$ 2. Нечто подобное с использованием функции sgn(x) написали и Вы. 3. Вопрос В обоих случаях первая производная - разрывная функция в точке x = 0. Имеем ли мы право искать следующие производные В ТОЧКЕ РАЗРЫВА? 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	02.01.2019, 11:45
	jogano, я бы поостерегся записывать исходную функцию в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = {x}^{2}\|x\| = {x}^{3} sign(x)$ Ибо так и подмывает взять производную от произведения... И брать производную от sign в нуле... Да и зачем хорошую дважды гладкую функцию представлять с использованием такого уродца? Ибо значение сигнума в нуле не так, чтобы очень уж, определено. Иногда надо, чтоб sign(0) = 0, а иногда и вовсе не определено. 0

Производная модуля

Решение