Найти объем тела, ограниченного поверхностями

@Mazytta56 · Регистрация: 12.05.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Тело ограничено поверхностями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=0,x=4,y=0,y=4,z=0,z={x}^{2}+{y}^{2}+1$

Я составил тройной интеграл, но есть ощущение, что неправильно расставил пределы во внутреннем и среднем интегралах.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{4} rdr \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} d\varphi \int_{0}^{\frac{{r}^{2}+1}{4}} dz$

И ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?9\pi$

Поправьте, если ошибся.

@jogano · 10.08.2018, 21:35

Ошиблись. Не нужно было переходить к полярно-цилиндрической системе координат - у вас же область в плоскости XOY не четверть окружности, а квадрат размером 4*4. Ответ, соответственно, не правильный.
А даже если бы была четверть окружности, всё равно не правильно - вот зачем во внутреннем интеграле в верхнем пределе делить на 4?

@Mazytta56 · 10.08.2018, 21:40 **[ТС]**

Там же все происходит в одной четверти, вот и разделил, но это я сидел рассуждал, вот к сожалению неверно рассуждал.

@jogano · 10.08.2018, 21:45

Была бы часть окружности, объём был бы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?36\pi$ , т.е. вычислили вы интеграл правильно (если убрать лишнюю 4 в знаменателе), а для квадратной области ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?186\frac{2}{3}$ .

То, что всё происходит в 1-й четверти, показывается в среднем интеграле - предел по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{2}$

@Mazytta56 · 11.08.2018, 00:21 **[ТС]**

jogano, не в цилиндрических координатах такой получается интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{4} dx \int_{0}^{4-x} dy \int_{0}^{{x}^{2}+{y}^{2}+1}dz$ ?

@jogano · 11.08.2018, 00:40

Так вы ищете объём над такой треугольной областью (рис.). Разве это есть область, описываемая системой
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}0\leq x\leq 4 \\ 0\leq y\leq 4 \end{cases}$ ?

@Mazytta56 · 11.08.2018, 01:01 **[ТС]**

jogano, кажется понял. На счет пределов по dy, я слишком далеко ушел. Сейчас пересчитаю.

Добавлено через 13 минут
jogano, получилось,спасибо.

@Nacuott · 11.08.2018, 02:10

Нужно найти объем такого тела.
https://cdn1.radikalno.ru/uplo... e-prev.png radikal

@Mazytta56 · 11.08.2018, 02:14 **[ТС]**

Nacuott, да, вот интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{4}dx\int_{0}^{4}dy\int_{0}^{x^2+y^2+1}dz=...=\frac{560}{3}$

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
		1
	Найти объем тела, ограниченного поверхностями 10.08.2018, 20:23. Показов 1099. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Тело ограничено поверхностями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=0,x=4,y=0,y=4,z=0,z={x}^{2}+{y}^{2}+1$ Я составил тройной интеграл, но есть ощущение, что неправильно расставил пределы во внутреннем и среднем интегралах. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{4} rdr \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} d\varphi \int_{0}^{\frac{{r}^{2}+1}{4}} dz$ И ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?9\pi$ Поправьте, если ошибся. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.08.2018, 21:35	2
	Ошиблись. Не нужно было переходить к полярно-цилиндрической системе координат - у вас же область в плоскости XOY не четверть окружности, а квадрат размером 4*4. Ответ, соответственно, не правильный. А даже если бы была четверть окружности, всё равно не правильно - вот зачем во внутреннем интеграле в верхнем пределе делить на 4? 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	10.08.2018, 21:40 [ТС]	3
	Там же все происходит в одной четверти, вот и разделил, но это я сидел рассуждал, вот к сожалению неверно рассуждал. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.08.2018, 21:45	4
	Была бы часть окружности, объём был бы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?36\pi$ , т.е. вычислили вы интеграл правильно (если убрать лишнюю 4 в знаменателе), а для квадратной области ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?186\frac{2}{3}$ . То, что всё происходит в 1-й четверти, показывается в среднем интеграле - предел по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{2}$ 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	11.08.2018, 00:21 [ТС]	5
	jogano, не в цилиндрических координатах такой получается интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{4} dx \int_{0}^{4-x} dy \int_{0}^{{x}^{2}+{y}^{2}+1}dz$ ? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	11.08.2018, 00:40	6
	Сообщение было отмечено Mazytta56 как решение Решение Так вы ищете объём над такой треугольной областью (рис.). Разве это есть область, описываемая системой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}0\leq x\leq 4 \\ 0\leq y\leq 4 \end{cases}$ ? Миниатюры 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	11.08.2018, 01:01 [ТС]	7
	jogano, кажется понял. На счет пределов по dy, я слишком далеко ушел. Сейчас пересчитаю. Добавлено через 13 минут jogano, получилось,спасибо. 0

@Nacuott 1817 / 1010 / 188 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,997 Записей в блоге: 12
	11.08.2018, 02:10	8
	Нужно найти объем такого тела. https://cdn1.radikalno.ru/uplo... e-prev.png radikal Изображения 0

@Mazytta56 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 238
	11.08.2018, 02:14 [ТС]	9
	Nacuott, да, вот интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{4}dx\int_{0}^{4}dy\int_{0}^{x^2+y^2+1}dz=...=\frac{560}{3}$ 0

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Решение