Доказать, что из сходимости одного ряда следует сходимость другого ряда

@Sever35 · Регистрация: 17.02.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Пусть дана положительная последовательность { $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c}_{n}$ }. Необходимо доказать, что из сходимости ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{c}_{n}}{\ln(1+\frac{1}{{c}_{n}})}$ следует сходимость ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{c}_{n}}{\ln(n+1)}$ .
Более того, если { $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c}_{n}$ } - убывающая последовательность, то эти 2 ряда сходятся и расходятся одновременно.
Если честно, я в тупике. Прошу хотя бы небольшой подсказки как именно это можно доказать.
Благодарю!

@InDevRus · 07.05.2018, 10:44

Предположим, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{c_n}{ln(1+\frac 1 {c_n})}> \frac {c_n} {ln(n+1)}.$ Это возможно, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_n>\frac 1 n$ . Итак, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_n>\frac 1 n$ , то из сходимости первого ряда следует сходимость второго по признаку сравнения.

Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_n \le \frac 1 n$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac {c_n} {ln(n+1)} \le \frac 1 {n ln(n+1)} < \frac 1 {n \cdot n^{\frac 1 8}}$ . Это обобщенный гармонический ряд и он сходится, значит обязательно сходится второй.

@palva · 07.05.2018, 17:15

InDevRus, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{n\ln(n+1)}>\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)},$ а ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}$ расходится по интегральному признаку.

@InDevRus · 07.05.2018, 20:59

Да, вы абсолютно правы. Я понял, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_n \le 1/n$ , то в первом ряде можно сделать эквивалентный переход и получить ряд с членом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c_n}^2$ , а такой член меньше члена ряда обратных квадратов, то есть первый ряд будет сходиться всегда. А второй ряд, как мы поняли, может расходиться. Таким образом, то, что нужно доказать, вообще говоря, неверно.

@Sever35 · 09.05.2018, 23:43 **[ТС]**

InDevRus, прошу прощения, можете, пожалуйста, подробнее этот момент описать. Сама задача неверна или...?
Благодарю!

Новые блоги и статьи
Книги и учебные ресурсы по C# InfoMaster 08.01.2025 Базовые учебники и руководства Одной из лучших книг для начинающих является "C# 10 и . NET 6 для начинающих" Эндрю Троелсена и Филиппа Джепикса . Книга последовательно раскрывает основные концепции. . .	Что такое NullReferenceException и как исправить? InfoMaster 08.01.2025 NullReferenceException - одно из самых распространенных исключений, с которым сталкиваются разработчики на C#. Это исключение возникает при попытке обратиться к членам объекта (методам, свойствам или. . .	Что такое Null Pointer Exception (NPE) и как это исправить? InfoMaster 08.01.2025 Null Pointer Exception (NPE) - это одно из самых распространенных исключений в Java, которое возникает при попытке использовать ссылку на объект, значение которой равно null. Это исключение относится. . .	Русский язык в консоли C++ InfoMaster 08.01.2025 При разработке программ на C++ одной из частых проблем, с которой сталкиваются русскоязычные программисты, является корректное отображение кириллицы в консольных приложениях. Эта проблема особенно. . .	Telegram бот на C# InfoMaster 08.01.2025 Разработка ботов для Telegram стала неотъемлемой частью современной экосистемы мессенджеров. C# предоставляет мощный и удобный инструментарий для создания разнообразных ботов, от простых. . .	Использование GraphQL в Go (Golang) InfoMaster 08.01.2025 Go (Golang) является одним из наиболее популярных языков программирования, используемых для создания высокопроизводительных серверных приложений. Его архитектурные особенности и встроенные. . .
Что лучше использовать при создании класса в Java: сеттеры или конструктор? Alexander-7 08.01.2025 Вопрос подробнее: На вопрос: «Когда одновременно создаются конструктор и сеттеры в классе – это нормально?» куратор уточнил: «Ваш класс может вообще не иметь сеттеров, а только конструктор и геттеры. . .	Как работать с GraphQL на TypeScript InfoMaster 08.01.2025 Введение в GraphQL и TypeScript В современной разработке веб-приложений GraphQL стал мощным инструментом для создания гибких и эффективных API. В сочетании с TypeScript, эта технология. . .	Счётчик на базе сумматоров + регистров и генератора сигналов согласования. Hrethgir 07.01.2025 Создан с целью проверки скорости асинхронной логики: ранее описанного сумматора и предополагаемых fast регистров. Регистры созданы на базе ранее описанного, предполагаемого fast триггера. То-есть. . .	Как перейти с Options API на Composition API в Vue.js BasicMan 06.01.2025 Почему переход на Composition API актуален В мире современной веб-разработки фреймворк Vue. js продолжает эволюционировать, предлагая разработчикам все более совершенные инструменты для создания. . .	Архитектура современных процессоров inter-admin 06.01.2025 Процессор (центральный процессор, ЦП) является основным вычислительным устройством компьютера, которое выполняет обработку данных и управляет работой всех остальных компонентов системы. Архитектура. . .	История создания реляционной модели баз данных, правила Кодда Programming 06.01.2025 Предпосылки создания реляционной модели В конце 1960-х годов компьютерная индустрия столкнулась с серьезными проблемами в области управления данными. Существовавшие на тот момент модели данных -. . .

@Sever35 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.02.2018 Сообщений: 15
		1
	Доказать, что из сходимости одного ряда следует сходимость другого ряда 06.05.2018, 22:38. Показов 1498. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Пусть дана положительная последовательность { $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c}_{n}$ }. Необходимо доказать, что из сходимости ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{c}_{n}}{\ln(1+\frac{1}{{c}_{n}})}$ следует сходимость ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{c}_{n}}{\ln(n+1)}$ . Более того, если { $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c}_{n}$ } - убывающая последовательность, то эти 2 ряда сходятся и расходятся одновременно. Если честно, я в тупике. Прошу хотя бы небольшой подсказки как именно это можно доказать. Благодарю! 0

@InDevRus 69 / 59 / 18 Регистрация: 23.01.2017 Сообщений: 170
	07.05.2018, 10:44	2
	Предположим, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{c_n}{ln(1+\frac 1 {c_n})}> \frac {c_n} {ln(n+1)}.$ Это возможно, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_n>\frac 1 n$ . Итак, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_n>\frac 1 n$ , то из сходимости первого ряда следует сходимость второго по признаку сравнения. Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_n \le \frac 1 n$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac {c_n} {ln(n+1)} \le \frac 1 {n ln(n+1)} < \frac 1 {n \cdot n^{\frac 1 8}}$ . Это обобщенный гармонический ряд и он сходится, значит обязательно сходится второй. 1

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,859 Записей в блоге: 4
	07.05.2018, 17:15	3
	InDevRus, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{n\ln(n+1)}>\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)},$ а ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}$ расходится по интегральному признаку. 1

@InDevRus 69 / 59 / 18 Регистрация: 23.01.2017 Сообщений: 170
	07.05.2018, 20:59	4
	Да, вы абсолютно правы. Я понял, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_n \le 1/n$ , то в первом ряде можно сделать эквивалентный переход и получить ряд с членом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c_n}^2$ , а такой член меньше члена ряда обратных квадратов, то есть первый ряд будет сходиться всегда. А второй ряд, как мы поняли, может расходиться. Таким образом, то, что нужно доказать, вообще говоря, неверно. 0

@Sever35 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.02.2018 Сообщений: 15
	09.05.2018, 23:43 [ТС]	5
	InDevRus, прошу прощения, можете, пожалуйста, подробнее этот момент описать. Сама задача неверна или...? Благодарю! 0