Площадь поверхности палатки

@evaf · Регистрация: 16.11.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток.
Есть у меня задачка
Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме

вроде все понятно, задаем формулу для объема, для площади поверхности, но в результате то получается три неизвестных.
радиус, высота конуса и цилиндра.
Из формулы объема мы можем выразить через радиус высоту цилиндра +1/3 высоты конуса.
Но подставляя это в формулу площади получается все равно 2 неизвестные

(
Как быть? Рассматривать как функцию двух переменных и искать экстремум функции 2 переменных? Но там получается очень сложная система в итоге

Буду признательна за помощь

@palva · 18.01.2018, 11:40

Решать надо так, как вас учили, а вы об этом не рассказываете.
Может, вы только что проходили поиск экстремумов функции двух переменных, может, у вас был метод множителей Лагранжа. В любом случае по той информации, что вы выложили, вам можно только посочувствовать, но не подсказать, в каком месте ваше решение пошло не так.

Сообщение от evaf

Но там получается очень сложная система в итоге

Вот вы даже эту систему не выложили. Для этого, правда, надо уметь формулы писать...

@evaf · 18.01.2018, 13:10 **[ТС]**

Получается вот так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\pi r^2({h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k})$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r{h}_{c}+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$
Из первой формулы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k}=\frac{V}{\pi r^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}=\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k}$
Подставляем в уравнение площади
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r(\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k})+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$

@palva · 18.01.2018, 14:59

Это хорошо. Это вы уже начали исключать переменные и получили "всё сложно".
А метод Лагранжа у вас был? Он бы мог упростить решение.

Добавлено через 40 минут
Не знаю, может и ошибся где, но у меня получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=2h_c,\quad r^2=\frac54h_k^2$

@jogano · 18.01.2018, 15:47

palva, у вас нет константы - заданного объёма палатки V.

@palva · 18.01.2018, 16:02

Сообщение от jogano

у вас нет константы - заданного объёма палатки V.

А должно быть? Там спрашивали про соотношение.
Тогда можно подставить в формулу объема и вычислить
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=\sqrt[3]{\frac{24V}{25\pi}},\quad h_c=\frac{h_k}{2},\quad r=\sqrt{\frac45}h_k.$

Добавлено через 2 минуты
Все размеры - линейные множители от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{V}$

@jogano · 18.01.2018, 16:11

evaf, данных мало для однозначного решения задачи. Для начала можно исследовать площади боковой поверхности конуса и цилиндра равного объёма с одинаковым радиусом основания.
Тогда параметры цилиндра r, h_c, конуса r, 3h_c, чтобы у них был одинаковый объём. Теперь находим площадь боковой поверхности того и другого:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c=2 \pi r h_c\\S_k=\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2}$
Сравниваем их:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c>S_k \: \Leftrightarrow \: 2 \pi r h_c>\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2} \: \Leftrightarrow \: 0>5h_c^2+r^2$
Неравенство никогда не выполняется. Это означает, что при равном радиусе основания и равном объёме цилиндр имеет меньшую площадь боковой поверхности. Для вашей задачи это означает, что между "вигвамом" и "бочкой" нужно выбирать бочку при равном объёме. Т.е. h_k=0.
Осталось определить оптимальные размеры цилиндрической палатки, чтобы площадь полной поверхности была минимальной (в палатке дно тоже учитывается).
Тут уже две переменные - r, h_c, связанные константой V.
Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}; \: h_c=\sqrt[3]{\frac{4V}{ \pi}} \: \left(=2r \right)$
Т.е. осевое сечение цилиндра - квадрат.

@palva · 18.01.2018, 16:18

ТС не реагирует. Может у нее и нет ответа. Я нашел эту задачу здесь enmf.ru/file/download/55 Ответ там такой (задача 8)

Типа, у меня сошлось.

@palva · 18.01.2018, 18:29

Сообщение от palva

Все размеры - линейные множители от

Это я очень неаккуратно написал. Надо так: все размеры это некоторые константы, умноженные на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]V$

@evaf · 24.01.2018, 21:07 **[ТС]**

Прошу прощения, не заходила в тему.
Я дорешала задачу своим способом.

@palva · 24.01.2018, 21:16

evaf, поздравляю. Если по Лагранжу, то там только производная по r получается сложная, но производные по другим переменным позволяют сильно ее упростить и без особых проблем решить систему. В пособии, ссылку на которое я давал, похоже, применяют какой-то другой метод, но мне не захотелось разбираться.

@Nacuott · 26.01.2018, 14:56

Давно я задался вопросом -какова должна быть оптимальная форма "силоса". Силос - это стальная емкость для хранения зерна.Сейчас на Черноморском побережье их настроили множество.Много их в Одесском порту.Кстати, форма строящихся силосов совершенно не такая как получилась у меня по расчету. Это может быть вызвано, тем, что при такой форме
требуется больше затрат на фундамент силоса, может вопросом оптимальности никто не задавался или специально
делают такие, чтобы по-больше металла и по-больше стоимость

Получил такие результаты: См.картинку.

@palva · 26.01.2018, 15:12

Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом.
Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения...

@Nacuott · 26.01.2018, 21:02

Сообщение от palva

Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом.
Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения...

Весе силосы делают из тонкого металла, укрепляют ребрами жесткости, которые также выполнены из тонкого металла (оцинкованная листовая сталь), но многослойные.Вся конструкция скрепляется болтами.

Новые блоги и статьи
Как написать микросервис на C# с Kafka, MediatR, Redis и GitLab CI/CD InfoMaster 15.01.2025 В современной разработке программного обеспечения микросервисная архитектура стала стандартом де-факто для создания масштабируемых и гибких приложений. Этот подход позволяет разделить сложную систему. . .	Что такое CQRS и как это реализовать на C# с MediatR InfoMaster 15.01.2025 Концепция CQRS и её роль в современной разработке В современном мире разработки программного обеспечения архитектурные паттерны играют ключевую роль в создании масштабируемых и поддерживаемых. . .	Как настроить CI/CD с Azure DevOps InfoMaster 15.01.2025 CI/ CD, или непрерывная интеграция и непрерывное развертывание, представляет собой современный подход к разработке программного обеспечения, который позволяет автоматизировать и оптимизировать процесс. . .	Как настроить CI/CD с помощью Jenkins InfoMaster 15.01.2025 Введение в CI/ CD и Jenkins В современной разработке программного обеспечения непрерывная интеграция (CI) и непрерывная доставка (CD) стали неотъемлемыми элементами процесса создания качественных. . .	Как написать микросервис на Go/Golang с Kafka, REST и GitHub CI/CD InfoMaster 14.01.2025 Определение микросервиса, преимущества использования Go/ Golang Микросервис – это архитектурный подход к разработке программного обеспечения, при котором приложение состоит из небольших, независимо. . .	Как написать микросервис с нуля на C# с RabbitMQ, CQRS, Swagger и CI/CD InfoMaster 14.01.2025 В современном мире разработки программного обеспечения микросервисная архитектура стала стандартом де-факто для создания масштабируемых и гибких приложений. Этот архитектурный подход предполагает. . .
Как создать интернет-магазин на PHP и JavaScript InfoMaster 14.01.2025 В современном мире электронная коммерция стала неотъемлемой частью бизнеса. Создание собственного интернет-магазина открывает широкие возможности для предпринимателей, позволяя достичь большей. . .	Как написать Тетрис на Ассемблере InfoMaster 14.01.2025 Тетрис – одна из самых узнаваемых и популярных компьютерных игр, созданная в 1984 году советским программистом Алексеем Пажитновым. За прошедшие десятилетия она завоевала симпатии миллионы людей по. . .	Как создать игру "Танчики" на Unity3d и C# InfoMaster 14.01.2025 Разработка игр – это увлекательный процесс, сочетающий в себе творчество и технические навыки. В этой статье мы рассмотрим создание классической игры "Танчики" с использованием Unity3D и языка. . .	Организую платный онлайн микро-курс по доработке Android-клиента Telegram _Ivana 14.01.2025 Официальная версия и распространенные форки не полностью устраивают? Сделай свою кастомную версию клиента! 4 занятия по 2 часа (2 недели пн, ср 19:00-21:00 по Москве). Первое вводное занятие. . .	Как создать приложение для фитнеса для iOS/iPhone на Kotlin InfoMaster 14.01.2025 Создание собственного фитнес-приложения — это не только захватывающий, но и полезный процесс, ведь оно может стать вашим верным помощником на пути к здоровому и активному образу жизни. В современных. . .	Как создать приложение магазина для iOS/iPhone на Swift InfoMaster 14.01.2025 Введение в разработку iOS-приложений Разработка приложений для iPhone и других устройств на базе iOS открывает огромные возможности для создания инновационных мобильных решений. В данной статье мы. . .

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 97
		1
	Площадь поверхности палатки 18.01.2018, 08:42. Показов 5645. Ответов 13 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток. Есть у меня задачка Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме вроде все понятно, задаем формулу для объема, для площади поверхности, но в результате то получается три неизвестных. радиус, высота конуса и цилиндра. Из формулы объема мы можем выразить через радиус высоту цилиндра +1/3 высоты конуса. Но подставляя это в формулу площади получается все равно 2 неизвестные ( Как быть? Рассматривать как функцию двух переменных и искать экстремум функции 2 переменных? Но там получается очень сложная система в итоге Буду признательна за помощь 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,860 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 11:40	2
	Решать надо так, как вас учили, а вы об этом не рассказываете. Может, вы только что проходили поиск экстремумов функции двух переменных, может, у вас был метод множителей Лагранжа. В любом случае по той информации, что вы выложили, вам можно только посочувствовать, но не подсказать, в каком месте ваше решение пошло не так. Сообщение от evaf Но там получается очень сложная система в итоге Вот вы даже эту систему не выложили. Для этого, правда, надо уметь формулы писать... 0

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 97
	18.01.2018, 13:10 [ТС]	3
	Получается вот так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\pi r^2({h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k})$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r{h}_{c}+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$ Из первой формулы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k}=\frac{V}{\pi r^2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}=\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k}$ Подставляем в уравнение площади $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r(\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k})+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$ 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,860 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 14:59	4
	Это хорошо. Это вы уже начали исключать переменные и получили "всё сложно". А метод Лагранжа у вас был? Он бы мог упростить решение. Добавлено через 40 минут Не знаю, может и ошибся где, но у меня получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=2h_c,\quad r^2=\frac54h_k^2$ 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 15:47	5
	palva, у вас нет константы - заданного объёма палатки V. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,860 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 16:02	6
	Сообщение от jogano у вас нет константы - заданного объёма палатки V. А должно быть? Там спрашивали про соотношение. Тогда можно подставить в формулу объема и вычислить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=\sqrt[3]{\frac{24V}{25\pi}},\quad h_c=\frac{h_k}{2},\quad r=\sqrt{\frac45}h_k.$ Добавлено через 2 минуты Все размеры - линейные множители от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{V}$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 16:11	7
	evaf, данных мало для однозначного решения задачи. Для начала можно исследовать площади боковой поверхности конуса и цилиндра равного объёма с одинаковым радиусом основания. Тогда параметры цилиндра r, h_c, конуса r, 3h_c, чтобы у них был одинаковый объём. Теперь находим площадь боковой поверхности того и другого: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c=2 \pi r h_c\\S_k=\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2}$ Сравниваем их: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c>S_k \: \Leftrightarrow \: 2 \pi r h_c>\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2} \: \Leftrightarrow \: 0>5h_c^2+r^2$ Неравенство никогда не выполняется. Это означает, что при равном радиусе основания и равном объёме цилиндр имеет меньшую площадь боковой поверхности. Для вашей задачи это означает, что между "вигвамом" и "бочкой" нужно выбирать бочку при равном объёме. Т.е. h_k=0. Осталось определить оптимальные размеры цилиндрической палатки, чтобы площадь полной поверхности была минимальной (в палатке дно тоже учитывается). Тут уже две переменные - r, h_c, связанные константой V. Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}; \: h_c=\sqrt[3]{\frac{4V}{ \pi}} \: \left(=2r \right)$ Т.е. осевое сечение цилиндра - квадрат. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,860 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 16:18	8
	ТС не реагирует. Может у нее и нет ответа. Я нашел эту задачу здесь enmf.ru/file/download/55 Ответ там такой (задача 8) Типа, у меня сошлось. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,860 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 18:29	9
	Сообщение от palva Все размеры - линейные множители от Это я очень неаккуратно написал. Надо так: все размеры это некоторые константы, умноженные на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]V$ 0

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 97
	24.01.2018, 21:07 [ТС]	10
	Прошу прощения, не заходила в тему. Я дорешала задачу своим способом. 0

	26.01.2018, 21:02

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,860 Записей в блоге: 4
	24.01.2018, 21:16	11
	evaf, поздравляю. Если по Лагранжу, то там только производная по r получается сложная, но производные по другим переменным позволяют сильно ее упростить и без особых проблем решить систему. В пособии, ссылку на которое я давал, похоже, применяют какой-то другой метод, но мне не захотелось разбираться. 0

@Nacuott 1817 / 1010 / 188 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,997 Записей в блоге: 12
	26.01.2018, 14:56	12
	Давно я задался вопросом -какова должна быть оптимальная форма "силоса". Силос - это стальная емкость для хранения зерна.Сейчас на Черноморском побережье их настроили множество.Много их в Одесском порту.Кстати, форма строящихся силосов совершенно не такая как получилась у меня по расчету. Это может быть вызвано, тем, что при такой форме требуется больше затрат на фундамент силоса, может вопросом оптимальности никто не задавался или специально делают такие, чтобы по-больше металла и по-больше стоимость Получил такие результаты: См.картинку. Миниатюры 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,860 Записей в блоге: 4
	26.01.2018, 15:12	13
	Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом. Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения... 0

@Nacuott 1817 / 1010 / 188 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,997 Записей в блоге: 12
	26.01.2018, 21:02	14
	Сообщение от palva Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом. Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения... Весе силосы делают из тонкого металла, укрепляют ребрами жесткости, которые также выполнены из тонкого металла (оцинкованная листовая сталь), но многослойные.Вся конструкция скрепляется болтами. 0