Площадь поверхности палатки

@evaf · Регистрация: 16.11.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток.
Есть у меня задачка
Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме

вроде все понятно, задаем формулу для объема, для площади поверхности, но в результате то получается три неизвестных.
радиус, высота конуса и цилиндра.
Из формулы объема мы можем выразить через радиус высоту цилиндра +1/3 высоты конуса.
Но подставляя это в формулу площади получается все равно 2 неизвестные

(
Как быть? Рассматривать как функцию двух переменных и искать экстремум функции 2 переменных? Но там получается очень сложная система в итоге

Буду признательна за помощь

@palva · 18.01.2018, 11:40

Решать надо так, как вас учили, а вы об этом не рассказываете.
Может, вы только что проходили поиск экстремумов функции двух переменных, может, у вас был метод множителей Лагранжа. В любом случае по той информации, что вы выложили, вам можно только посочувствовать, но не подсказать, в каком месте ваше решение пошло не так.

Сообщение от evaf

Но там получается очень сложная система в итоге

Вот вы даже эту систему не выложили. Для этого, правда, надо уметь формулы писать...

@evaf · 18.01.2018, 13:10 **[ТС]**

Получается вот так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\pi r^2({h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k})$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r{h}_{c}+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$
Из первой формулы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k}=\frac{V}{\pi r^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}=\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k}$
Подставляем в уравнение площади
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r(\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k})+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$

@palva · 18.01.2018, 14:59

Это хорошо. Это вы уже начали исключать переменные и получили "всё сложно".
А метод Лагранжа у вас был? Он бы мог упростить решение.

Добавлено через 40 минут
Не знаю, может и ошибся где, но у меня получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=2h_c,\quad r^2=\frac54h_k^2$

@jogano · 18.01.2018, 15:47

palva, у вас нет константы - заданного объёма палатки V.

@palva · 18.01.2018, 16:02

Сообщение от jogano

у вас нет константы - заданного объёма палатки V.

А должно быть? Там спрашивали про соотношение.
Тогда можно подставить в формулу объема и вычислить
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=\sqrt[3]{\frac{24V}{25\pi}},\quad h_c=\frac{h_k}{2},\quad r=\sqrt{\frac45}h_k.$

Добавлено через 2 минуты
Все размеры - линейные множители от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{V}$

@jogano · 18.01.2018, 16:11

evaf, данных мало для однозначного решения задачи. Для начала можно исследовать площади боковой поверхности конуса и цилиндра равного объёма с одинаковым радиусом основания.
Тогда параметры цилиндра r, h_c, конуса r, 3h_c, чтобы у них был одинаковый объём. Теперь находим площадь боковой поверхности того и другого:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c=2 \pi r h_c\\S_k=\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2}$
Сравниваем их:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c>S_k \: \Leftrightarrow \: 2 \pi r h_c>\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2} \: \Leftrightarrow \: 0>5h_c^2+r^2$
Неравенство никогда не выполняется. Это означает, что при равном радиусе основания и равном объёме цилиндр имеет меньшую площадь боковой поверхности. Для вашей задачи это означает, что между "вигвамом" и "бочкой" нужно выбирать бочку при равном объёме. Т.е. h_k=0.
Осталось определить оптимальные размеры цилиндрической палатки, чтобы площадь полной поверхности была минимальной (в палатке дно тоже учитывается).
Тут уже две переменные - r, h_c, связанные константой V.
Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}; \: h_c=\sqrt[3]{\frac{4V}{ \pi}} \: \left(=2r \right)$
Т.е. осевое сечение цилиндра - квадрат.

@palva · 18.01.2018, 16:18

ТС не реагирует. Может у нее и нет ответа. Я нашел эту задачу здесь enmf.ru/file/download/55 Ответ там такой (задача 8)

Типа, у меня сошлось.

@palva · 18.01.2018, 18:29

Сообщение от palva

Все размеры - линейные множители от

Это я очень неаккуратно написал. Надо так: все размеры это некоторые константы, умноженные на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]V$

@evaf · 24.01.2018, 21:07 **[ТС]**

Прошу прощения, не заходила в тему.
Я дорешала задачу своим способом.

@palva · 24.01.2018, 21:16

evaf, поздравляю. Если по Лагранжу, то там только производная по r получается сложная, но производные по другим переменным позволяют сильно ее упростить и без особых проблем решить систему. В пособии, ссылку на которое я давал, похоже, применяют какой-то другой метод, но мне не захотелось разбираться.

@Nacuott · 26.01.2018, 14:56

Давно я задался вопросом -какова должна быть оптимальная форма "силоса". Силос - это стальная емкость для хранения зерна.Сейчас на Черноморском побережье их настроили множество.Много их в Одесском порту.Кстати, форма строящихся силосов совершенно не такая как получилась у меня по расчету. Это может быть вызвано, тем, что при такой форме
требуется больше затрат на фундамент силоса, может вопросом оптимальности никто не задавался или специально
делают такие, чтобы по-больше металла и по-больше стоимость

Получил такие результаты: См.картинку.

@palva · 26.01.2018, 15:12

Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом.
Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения...

@Nacuott · 26.01.2018, 21:02

Сообщение от palva

Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом.
Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения...

Весе силосы делают из тонкого металла, укрепляют ребрами жесткости, которые также выполнены из тонкого металла (оцинкованная листовая сталь), но многослойные.Вся конструкция скрепляется болтами.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Реляционная модель и правила Кодда: фундамент современных баз данных Codd 05.04.2025 Конец 1960-х — начало 1970-х годов был периодом глубоких трансформаций в области хранения и обработки данных. На фоне растущих потребностей бизнеса и правительственных структур существовавшие на тот. . .	Асинхронные операции в Django с Celery py-thonny 05.04.2025 Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .	Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go golander 05.04.2025 Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .	Создаем Telegram бот на TypeScript с grammY run.dev 05.04.2025 Одна из его самых сильных сторон Telegram — это интеграция ботов прямо в экосистему приложения. В отличие от многих других платформ, он предоставляет разработчикам мощный API, позволяющий создавать. . .	Паттерны распределённых транзакций в Event-Driven микросервисах ArchitectMsa 05.04.2025 Современные программные системы всё чаще проектируются как совокупность взаимодействующих микросервисов. И хотя такой подход даёт множество преимуществ — масштабируемость, гибкость, устойчивость к. . .
Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 97

	Площадь поверхности палатки 18.01.2018, 08:42. Показов 5756. Ответов 13 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток. Есть у меня задачка Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме вроде все понятно, задаем формулу для объема, для площади поверхности, но в результате то получается три неизвестных. радиус, высота конуса и цилиндра. Из формулы объема мы можем выразить через радиус высоту цилиндра +1/3 высоты конуса. Но подставляя это в формулу площади получается все равно 2 неизвестные ( Как быть? Рассматривать как функцию двух переменных и искать экстремум функции 2 переменных? Но там получается очень сложная система в итоге Буду признательна за помощь 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 11:40
	Решать надо так, как вас учили, а вы об этом не рассказываете. Может, вы только что проходили поиск экстремумов функции двух переменных, может, у вас был метод множителей Лагранжа. В любом случае по той информации, что вы выложили, вам можно только посочувствовать, но не подсказать, в каком месте ваше решение пошло не так. Сообщение от evaf Но там получается очень сложная система в итоге Вот вы даже эту систему не выложили. Для этого, правда, надо уметь формулы писать... 0

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 97
	18.01.2018, 13:10 [ТС]
	Получается вот так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\pi r^2({h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k})$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r{h}_{c}+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$ Из первой формулы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k}=\frac{V}{\pi r^2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}=\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k}$ Подставляем в уравнение площади $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r(\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k})+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$ 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 14:59
	Это хорошо. Это вы уже начали исключать переменные и получили "всё сложно". А метод Лагранжа у вас был? Он бы мог упростить решение. Добавлено через 40 минут Не знаю, может и ошибся где, но у меня получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=2h_c,\quad r^2=\frac54h_k^2$ 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 15:47
	palva, у вас нет константы - заданного объёма палатки V. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 16:02
	Сообщение от jogano у вас нет константы - заданного объёма палатки V. А должно быть? Там спрашивали про соотношение. Тогда можно подставить в формулу объема и вычислить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=\sqrt[3]{\frac{24V}{25\pi}},\quad h_c=\frac{h_k}{2},\quad r=\sqrt{\frac45}h_k.$ Добавлено через 2 минуты Все размеры - линейные множители от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{V}$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 16:11
	evaf, данных мало для однозначного решения задачи. Для начала можно исследовать площади боковой поверхности конуса и цилиндра равного объёма с одинаковым радиусом основания. Тогда параметры цилиндра r, h_c, конуса r, 3h_c, чтобы у них был одинаковый объём. Теперь находим площадь боковой поверхности того и другого: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c=2 \pi r h_c\\S_k=\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2}$ Сравниваем их: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c>S_k \: \Leftrightarrow \: 2 \pi r h_c>\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2} \: \Leftrightarrow \: 0>5h_c^2+r^2$ Неравенство никогда не выполняется. Это означает, что при равном радиусе основания и равном объёме цилиндр имеет меньшую площадь боковой поверхности. Для вашей задачи это означает, что между "вигвамом" и "бочкой" нужно выбирать бочку при равном объёме. Т.е. h_k=0. Осталось определить оптимальные размеры цилиндрической палатки, чтобы площадь полной поверхности была минимальной (в палатке дно тоже учитывается). Тут уже две переменные - r, h_c, связанные константой V. Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}; \: h_c=\sqrt[3]{\frac{4V}{ \pi}} \: \left(=2r \right)$ Т.е. осевое сечение цилиндра - квадрат. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 16:18
	ТС не реагирует. Может у нее и нет ответа. Я нашел эту задачу здесь enmf.ru/file/download/55 Ответ там такой (задача 8) Типа, у меня сошлось. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 18:29
	Сообщение от palva Все размеры - линейные множители от Это я очень неаккуратно написал. Надо так: все размеры это некоторые константы, умноженные на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]V$ 0

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 97
	24.01.2018, 21:07 [ТС]
	Прошу прощения, не заходила в тему. Я дорешала задачу своим способом. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	24.01.2018, 21:16
	evaf, поздравляю. Если по Лагранжу, то там только производная по r получается сложная, но производные по другим переменным позволяют сильно ее упростить и без особых проблем решить систему. В пособии, ссылку на которое я давал, похоже, применяют какой-то другой метод, но мне не захотелось разбираться. 0

@Nacuott 1820 / 1013 / 188 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,014 Записей в блоге: 12
	26.01.2018, 14:56
	Давно я задался вопросом -какова должна быть оптимальная форма "силоса". Силос - это стальная емкость для хранения зерна.Сейчас на Черноморском побережье их настроили множество.Много их в Одесском порту.Кстати, форма строящихся силосов совершенно не такая как получилась у меня по расчету. Это может быть вызвано, тем, что при такой форме требуется больше затрат на фундамент силоса, может вопросом оптимальности никто не задавался или специально делают такие, чтобы по-больше металла и по-больше стоимость Получил такие результаты: См.картинку. Миниатюры 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	26.01.2018, 15:12
	Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом. Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения... 0

@Nacuott 1820 / 1013 / 188 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,014 Записей в блоге: 12
	26.01.2018, 21:02
	Сообщение от palva Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом. Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения... Весе силосы делают из тонкого металла, укрепляют ребрами жесткости, которые также выполнены из тонкого металла (оцинкованная листовая сталь), но многослойные.Вся конструкция скрепляется болтами. 0