Площадь поверхности палатки

@evaf · Регистрация: 16.11.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток.
Есть у меня задачка
Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме

вроде все понятно, задаем формулу для объема, для площади поверхности, но в результате то получается три неизвестных.
радиус, высота конуса и цилиндра.
Из формулы объема мы можем выразить через радиус высоту цилиндра +1/3 высоты конуса.
Но подставляя это в формулу площади получается все равно 2 неизвестные

(
Как быть? Рассматривать как функцию двух переменных и искать экстремум функции 2 переменных? Но там получается очень сложная система в итоге

Буду признательна за помощь

@palva · 18.01.2018, 11:40

Решать надо так, как вас учили, а вы об этом не рассказываете.
Может, вы только что проходили поиск экстремумов функции двух переменных, может, у вас был метод множителей Лагранжа. В любом случае по той информации, что вы выложили, вам можно только посочувствовать, но не подсказать, в каком месте ваше решение пошло не так.

Сообщение от evaf

Но там получается очень сложная система в итоге

Вот вы даже эту систему не выложили. Для этого, правда, надо уметь формулы писать...

@evaf · 18.01.2018, 13:10 **[ТС]**

Получается вот так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\pi r^2({h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k})$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r{h}_{c}+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$
Из первой формулы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k}=\frac{V}{\pi r^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}=\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k}$
Подставляем в уравнение площади
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r(\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k})+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$

@palva · 18.01.2018, 14:59

Это хорошо. Это вы уже начали исключать переменные и получили "всё сложно".
А метод Лагранжа у вас был? Он бы мог упростить решение.

Добавлено через 40 минут
Не знаю, может и ошибся где, но у меня получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=2h_c,\quad r^2=\frac54h_k^2$

@jogano · 18.01.2018, 15:47

palva, у вас нет константы - заданного объёма палатки V.

@palva · 18.01.2018, 16:02

Сообщение от jogano

у вас нет константы - заданного объёма палатки V.

А должно быть? Там спрашивали про соотношение.
Тогда можно подставить в формулу объема и вычислить
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=\sqrt[3]{\frac{24V}{25\pi}},\quad h_c=\frac{h_k}{2},\quad r=\sqrt{\frac45}h_k.$

Добавлено через 2 минуты
Все размеры - линейные множители от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{V}$

@jogano · 18.01.2018, 16:11

evaf, данных мало для однозначного решения задачи. Для начала можно исследовать площади боковой поверхности конуса и цилиндра равного объёма с одинаковым радиусом основания.
Тогда параметры цилиндра r, h_c, конуса r, 3h_c, чтобы у них был одинаковый объём. Теперь находим площадь боковой поверхности того и другого:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c=2 \pi r h_c\\S_k=\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2}$
Сравниваем их:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c>S_k \: \Leftrightarrow \: 2 \pi r h_c>\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2} \: \Leftrightarrow \: 0>5h_c^2+r^2$
Неравенство никогда не выполняется. Это означает, что при равном радиусе основания и равном объёме цилиндр имеет меньшую площадь боковой поверхности. Для вашей задачи это означает, что между "вигвамом" и "бочкой" нужно выбирать бочку при равном объёме. Т.е. h_k=0.
Осталось определить оптимальные размеры цилиндрической палатки, чтобы площадь полной поверхности была минимальной (в палатке дно тоже учитывается).
Тут уже две переменные - r, h_c, связанные константой V.
Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}; \: h_c=\sqrt[3]{\frac{4V}{ \pi}} \: \left(=2r \right)$
Т.е. осевое сечение цилиндра - квадрат.

@palva · 18.01.2018, 16:18

ТС не реагирует. Может у нее и нет ответа. Я нашел эту задачу здесь enmf.ru/file/download/55 Ответ там такой (задача 8)

Типа, у меня сошлось.

@palva · 18.01.2018, 18:29

Сообщение от palva

Все размеры - линейные множители от

Это я очень неаккуратно написал. Надо так: все размеры это некоторые константы, умноженные на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]V$

@evaf · 24.01.2018, 21:07 **[ТС]**

Прошу прощения, не заходила в тему.
Я дорешала задачу своим способом.

@palva · 24.01.2018, 21:16

evaf, поздравляю. Если по Лагранжу, то там только производная по r получается сложная, но производные по другим переменным позволяют сильно ее упростить и без особых проблем решить систему. В пособии, ссылку на которое я давал, похоже, применяют какой-то другой метод, но мне не захотелось разбираться.

@Nacuott · 26.01.2018, 14:56

Давно я задался вопросом -какова должна быть оптимальная форма "силоса". Силос - это стальная емкость для хранения зерна.Сейчас на Черноморском побережье их настроили множество.Много их в Одесском порту.Кстати, форма строящихся силосов совершенно не такая как получилась у меня по расчету. Это может быть вызвано, тем, что при такой форме
требуется больше затрат на фундамент силоса, может вопросом оптимальности никто не задавался или специально
делают такие, чтобы по-больше металла и по-больше стоимость

Получил такие результаты: См.картинку.

@palva · 26.01.2018, 15:12

Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом.
Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения...

@Nacuott · 26.01.2018, 21:02

Сообщение от palva

Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом.
Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения...

Весе силосы делают из тонкого металла, укрепляют ребрами жесткости, которые также выполнены из тонкого металла (оцинкованная листовая сталь), но многослойные.Вся конструкция скрепляется болтами.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .
Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .	Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 97

	Площадь поверхности палатки 18.01.2018, 08:42. Показов 5746. Ответов 13 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток. Есть у меня задачка Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме вроде все понятно, задаем формулу для объема, для площади поверхности, но в результате то получается три неизвестных. радиус, высота конуса и цилиндра. Из формулы объема мы можем выразить через радиус высоту цилиндра +1/3 высоты конуса. Но подставляя это в формулу площади получается все равно 2 неизвестные ( Как быть? Рассматривать как функцию двух переменных и искать экстремум функции 2 переменных? Но там получается очень сложная система в итоге Буду признательна за помощь 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 11:40
	Решать надо так, как вас учили, а вы об этом не рассказываете. Может, вы только что проходили поиск экстремумов функции двух переменных, может, у вас был метод множителей Лагранжа. В любом случае по той информации, что вы выложили, вам можно только посочувствовать, но не подсказать, в каком месте ваше решение пошло не так. Сообщение от evaf Но там получается очень сложная система в итоге Вот вы даже эту систему не выложили. Для этого, правда, надо уметь формулы писать... 0

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 97
	18.01.2018, 13:10 [ТС]
	Получается вот так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\pi r^2({h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k})$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r{h}_{c}+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$ Из первой формулы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}+\frac{1}{3}{h}_{k}=\frac{V}{\pi r^2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{h}_{c}=\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k}$ Подставляем в уравнение площади $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2\pi r(\frac{V}{\pi r^2}-\frac{1}{3}{h}_{k})+\pi r sqrt{({h}_{k})^2+(r^2)}$ 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 14:59
	Это хорошо. Это вы уже начали исключать переменные и получили "всё сложно". А метод Лагранжа у вас был? Он бы мог упростить решение. Добавлено через 40 минут Не знаю, может и ошибся где, но у меня получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=2h_c,\quad r^2=\frac54h_k^2$ 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 15:47
	palva, у вас нет константы - заданного объёма палатки V. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 16:02
	Сообщение от jogano у вас нет константы - заданного объёма палатки V. А должно быть? Там спрашивали про соотношение. Тогда можно подставить в формулу объема и вычислить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h_k=\sqrt[3]{\frac{24V}{25\pi}},\quad h_c=\frac{h_k}{2},\quad r=\sqrt{\frac45}h_k.$ Добавлено через 2 минуты Все размеры - линейные множители от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{V}$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 16:11
	evaf, данных мало для однозначного решения задачи. Для начала можно исследовать площади боковой поверхности конуса и цилиндра равного объёма с одинаковым радиусом основания. Тогда параметры цилиндра r, h_c, конуса r, 3h_c, чтобы у них был одинаковый объём. Теперь находим площадь боковой поверхности того и другого: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c=2 \pi r h_c\\S_k=\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2}$ Сравниваем их: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_c>S_k \: \Leftrightarrow \: 2 \pi r h_c>\pi r \sqrt{9h_c^2+r^2} \: \Leftrightarrow \: 0>5h_c^2+r^2$ Неравенство никогда не выполняется. Это означает, что при равном радиусе основания и равном объёме цилиндр имеет меньшую площадь боковой поверхности. Для вашей задачи это означает, что между "вигвамом" и "бочкой" нужно выбирать бочку при равном объёме. Т.е. h_k=0. Осталось определить оптимальные размеры цилиндрической палатки, чтобы площадь полной поверхности была минимальной (в палатке дно тоже учитывается). Тут уже две переменные - r, h_c, связанные константой V. Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}; \: h_c=\sqrt[3]{\frac{4V}{ \pi}} \: \left(=2r \right)$ Т.е. осевое сечение цилиндра - квадрат. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 16:18
	ТС не реагирует. Может у нее и нет ответа. Я нашел эту задачу здесь enmf.ru/file/download/55 Ответ там такой (задача 8) Типа, у меня сошлось. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	18.01.2018, 18:29
	Сообщение от palva Все размеры - линейные множители от Это я очень неаккуратно написал. Надо так: все размеры это некоторые константы, умноженные на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]V$ 0

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 97
	24.01.2018, 21:07 [ТС]
	Прошу прощения, не заходила в тему. Я дорешала задачу своим способом. 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	24.01.2018, 21:16
	evaf, поздравляю. Если по Лагранжу, то там только производная по r получается сложная, но производные по другим переменным позволяют сильно ее упростить и без особых проблем решить систему. В пособии, ссылку на которое я давал, похоже, применяют какой-то другой метод, но мне не захотелось разбираться. 0

@Nacuott 1820 / 1013 / 188 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,014 Записей в блоге: 12
	26.01.2018, 14:56
	Давно я задался вопросом -какова должна быть оптимальная форма "силоса". Силос - это стальная емкость для хранения зерна.Сейчас на Черноморском побережье их настроили множество.Много их в Одесском порту.Кстати, форма строящихся силосов совершенно не такая как получилась у меня по расчету. Это может быть вызвано, тем, что при такой форме требуется больше затрат на фундамент силоса, может вопросом оптимальности никто не задавался или специально делают такие, чтобы по-больше металла и по-больше стоимость Получил такие результаты: См.картинку. Миниатюры 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	26.01.2018, 15:12
	Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом. Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения... 0

@Nacuott 1820 / 1013 / 188 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,014 Записей в блоге: 12
	26.01.2018, 21:02
	Сообщение от palva Nacuott, Высота конической части, если упростить, совпадает с моим ответом. Возможно, в реальности цилиндрическую часть делают из более толстого материала, поскольку она несет большую нагрузку. Или еще какие-то строительные соображения... Весе силосы делают из тонкого металла, укрепляют ребрами жесткости, которые также выполнены из тонкого металла (оцинкованная листовая сталь), но многослойные.Вся конструкция скрепляется болтами. 0