Доказать разрывность функции Дирихле

@NEvOl · Регистрация: 13.08.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доказать что функция Дирихле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)= \left\{\begin{matrix}1 :& x \in \mathbb{Q} \\ 0 :& x \in \mathbb{I}\end{matrix}\right.$ разрывна в каждой точке.
Функция имеет разрыв в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ если: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\exists \varepsilon >0 \forall \delta >0: \exists x \in D(f(x)) |x-x_0|< \delta \wedge |f(x)-f(x_0)| \geq \varepsilon$
возьмем произвольную точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0 \in \mathbb{Q}$ и возьмем произвольную окрестность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta >0$ тогда найдется такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in (x_0-\delta ; x_0+\delta )$ что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|f(x)-f(x_0)| \geq \varepsilon =1$ действительно, возьмем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\left\{\begin{matrix}x_0+\frac{\delta }{2} :& \delta \in \mathbb{I} \\ x_0+\frac{\delta }{\sqrt{2}} :& \delta \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$ тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \mathbb{I}$ .
Теперь возьмем произвольную точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0 \in \mathbb{I}$ и произвольную окрестность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta >0$
а в качестве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ возьмем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x_0<x<x_0+\delta$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \mathbb{Q}$ таким образом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|f(x)-f(x_0)| \geq \varepsilon =1$ .
Значит функция Дирихле, разрывна в каждой точке.

скажите пожалуйста, верно ли доказательство ?

@Symon · 06.01.2017, 18:44

Проще так: Для любого действительного числа х0 найдутся последовательности рациональных чисел xn, сходящихся к х0 и последовательности иррациональных чисел yn, сходящиеся к х0. Тогда f(xn) -> 1, f(yn) -> 0. => f(x) разрывна в т. х0.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .
Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .	Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779

	Доказать разрывность функции Дирихле 06.01.2017, 15:54. Показов 12898. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Доказать что функция Дирихле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)= \left\{\begin{matrix}1 :& x \in \mathbb{Q} \\ 0 :& x \in \mathbb{I}\end{matrix}\right.$ разрывна в каждой точке. Функция имеет разрыв в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ если: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\exists \varepsilon >0 \forall \delta >0: \exists x \in D(f(x)) \|x-x_0\|< \delta \wedge \|f(x)-f(x_0)\| \geq \varepsilon$ возьмем произвольную точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0 \in \mathbb{Q}$ и возьмем произвольную окрестность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta >0$ тогда найдется такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in (x_0-\delta ; x_0+\delta )$ что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|f(x)-f(x_0)\| \geq \varepsilon =1$ действительно, возьмем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\left\{\begin{matrix}x_0+\frac{\delta }{2} :& \delta \in \mathbb{I} \\ x_0+\frac{\delta }{\sqrt{2}} :& \delta \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$ тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \mathbb{I}$ . Теперь возьмем произвольную точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0 \in \mathbb{I}$ и произвольную окрестность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta >0$ а в качестве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ возьмем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x_0<x<x_0+\delta$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \mathbb{Q}$ таким образом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|f(x)-f(x_0)\| \geq \varepsilon =1$ . Значит функция Дирихле, разрывна в каждой точке. скажите пожалуйста, верно ли доказательство ? 0

@Symon $Эксперт по математике/физике$ 2616 / 2230 / 684 Регистрация: 29.09.2012 Сообщений: 4,577 Записей в блоге: 13
	06.01.2017, 18:44
	Сообщение было отмечено NEvOl как решение Решение Проще так: Для любого действительного числа х0 найдутся последовательности рациональных чисел xn, сходящихся к х0 и последовательности иррациональных чисел yn, сходящиеся к х0. Тогда f(xn) -> 1, f(yn) -> 0. => f(x) разрывна в т. х0. 1

Доказать разрывность функции Дирихле

Решение