Интеграл по замкнутому контуру (окружность)

@mvveselov · Регистрация: 04.02.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте. Решаю интеграл из сборника задач Демидовича (задача №4254). Вроде все делаю правильно, но не могу понять, почему в сборнике ответ -2Пи. Объясните, пожалуйста.
Задача: решить интеграл
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\oint_{C}^{}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2}$
Где С - окружность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2=x^2+y^2$

После применения формулы Остроградского-Грина получаю:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int \frac{2}{x^2+y^2}dxdy$

Для того, чтобы взять этот интеграл, перехожу в полярную систему координат (Якобиан r):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0 }^{2\pi }d\phi \int_{0}^{a}\frac{2dr}{r}$

И все. Дальше я в тупике. Решая внутренний интеграл я получаю логарифм, причем нижняя граница 0. Как дальше работать с этим, чтобы получился правильный ответ, пожалуйста, распишите.

PS. Как я решал, Вы можете посмотреть во вложенном файле

@rurenko · 24.04.2016, 07:28

По моему Вы неправильно взяли частные производные

Добавлено через 8 минут
Разберемся

@mvveselov · 24.04.2016, 07:34 **[ТС]**

По моему Вы неправильно взяли частные производные

Ой, да я уже перерешиваю несколько дней, частные производные вроде верно нашел. Не знаю даже.

@rurenko · 24.04.2016, 07:48

Что-то туплю, у меня вообще ноль получается

@mvveselov · 24.04.2016, 07:54 **[ТС]**

Не должно быть. Ибо Производные не равны друг другу.

@rurenko · 24.04.2016, 07:55

У Вас ошибка в производной Q, там (y-x)'= -1 если брать ее по х

@mvveselov · 24.04.2016, 08:03 **[ТС]**

У Вас ошибка в производной Q, там (y-x)'= -1 если брать ее по х

Согласен, сейчас перерешаю

Добавлено через 2 минуты

У Вас ошибка в производной Q, там (y-x)'= -1 если брать ее по х

Стоп, но в ответе же не нуль?!

Добавлено через 48 секунд
Просто получается, что частные производные равны

@rurenko · 24.04.2016, 08:06

Сообщение от mvveselov

Стоп, но в ответе же не нуль?!

У себя ошибки пока не могу найти

@Том Ардер · 24.04.2016, 13:03

Сообщение от mvveselov

После применения формулы Остроградского-Грина получаю

частные производные вычислены неверно. На самом деле

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$

и двойной интеграл обращается в нуль. Причина - формула Грина неприменима, т.к. нарушены условия непрерывности функций и их производных во всей области, начало координат - особая точка. Подробности - Фихтенгольц, т.3, гл.16

Исходный интеграл проще всего вычислить прямо, интегрируя по контуру в полярных координатах.

@mvveselov · 24.04.2016, 14:51 **[ТС]**

Том Ардер, спасибо. Ценная информация.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.
Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .	Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .

@mvveselov 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.02.2016 Сообщений: 20

	Интеграл по замкнутому контуру (окружность) 24.04.2016, 07:12. Показов 3371. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Здравствуйте. Решаю интеграл из сборника задач Демидовича (задача №4254). Вроде все делаю правильно, но не могу понять, почему в сборнике ответ -2Пи. Объясните, пожалуйста. Задача: решить интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\oint_{C}^{}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2}$ Где С - окружность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2=x^2+y^2$ После применения формулы Остроградского-Грина получаю: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int \frac{2}{x^2+y^2}dxdy$ Для того, чтобы взять этот интеграл, перехожу в полярную систему координат (Якобиан r): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0 }^{2\pi }d\phi \int_{0}^{a}\frac{2dr}{r}$ И все. Дальше я в тупике. Решая внутренний интеграл я получаю логарифм, причем нижняя граница 0. Как дальше работать с этим, чтобы получился правильный ответ, пожалуйста, распишите. PS. Как я решал, Вы можете посмотреть во вложенном файле 0

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
	24.04.2016, 07:28
	По моему Вы неправильно взяли частные производные Добавлено через 8 минут Разберемся 0

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
	24.04.2016, 07:48
	Что-то туплю, у меня вообще ноль получается 0

@mvveselov 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.02.2016 Сообщений: 20
	24.04.2016, 07:54 [ТС]
	Не должно быть. Ибо Производные не равны друг другу. 0

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
	24.04.2016, 07:55
	У Вас ошибка в производной Q, там (y-x)'= -1 если брать ее по х 0

@mvveselov 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.02.2016 Сообщений: 20
	24.04.2016, 14:51 [ТС]
	Том Ардер, спасибо. Ценная информация. 0

Интеграл по замкнутому контуру (окружность)

Решение