Поверхностный интеграл 1-ого рода

@Kaligulaa · Регистрация: 18.05.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Опыт решений поверхностных интегралов у меня небогатый, по сравнению с интегралами от одной, двух и трех переменных.
Задача следующая:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int_{\Sigma }^{}(xy+yz+xz)d\sigma ,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Sigma$ - часть поверхности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}$ , лежащая внутри цилиндра
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{y}^{2}+{z}^{2}}=2y$

В итоге имеем две фигуры: конус, "лежащий" на оси $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ и так же "лежащий" на оси $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ цилиндр, "простреливающий" конус, тем самым получается поверхность половинного конуса (если я правильно себе это представляю. Поверхность ведь образована уравнением конуса все-таки, я посчитал удобным спроецировать его на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ZOY$ , проекцией будет окружность - основание цилиндра.
Соответствующие преобразования интеграла приводят его к виду
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}\int \int_{ZOY}^{}(y\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}+yz+z\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}) dxdy$
Думаю знающие люди сразу поймут откуда корень из двух.

Ну а дальше что? Пробовал вот через полярные координаты, но с ответом-то не сходится...
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\phi \int_{0}^{2}({\rho }^{2}cos\phi +{\rho }^{2}cos\phi sin\phi+{\rho }^{2}sin\phi)\rho d \rho$

Очень вероятно , что я что-то упустил, или что-то неправильно вывел, преобразовал.
Пожалуйста, доведите до мысли или укажите верное решение, заранее благодарен!

@jogano · 06.03.2016, 01:57

В полярных координатах будет почти то же, что и у вас:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d \varphi \int_{0}^{2 \cos \varphi}\rho ^3 \left(\cos \varphi +\sin \varphi \cos \varphi +\sin \varphi \right)d \rho$

Сообщение от Kaligulaa

Думаю знающие люди сразу поймут откуда корень из двух.

Не считая себя совсем уж "от сохи" в плане математики, но я не понял, откуда взялся корень, по крайней в полярной форме. В декартовой не рассматривал.
Если оставить верхний предел по "ро" 2, то это будет означать, что вы рассматриваете кусок поверхности конуса внутри правого полуцилиндра с осью на ОХ радиусом 2. Так что это

Сообщение от Kaligulaa

и так же "лежащий" на оси Х цилиндр

не совсем, не совсем... Ось цилиндра - прямая (х;1;0), а не (х;0;0). Он только касается оси ОХ.
Ответ у меня вышел 64/15. Единственная техническая проблема - взятие интеграла $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \cos ^5 \varphi d \varphi$ . Остальные два интеграла по фи равны 0 в силу нечётности подинтегральной функции и симметрии пределов интегрирования относительно 0. Этот интеграл взял Маткад (лень-матушка....)

@Kaligulaa · 06.03.2016, 03:08 **[ТС]**

Спасибо вам огромное!
Так сказать поправили незаметный, но важный "кропалик".
Поясню про $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$
Не хотелось бы сейчас вдаваться в подробности теорем и определений, но вообще элемент поверхности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d\sigma=\sqrt{1+{({x}_{y}')}^{2}+{({x}_{z}')}^{2}}dydz$

@Kaligulaa 6 / 7 / 2 Регистрация: 18.05.2015 Сообщений: 124
		1
	Поверхностный интеграл 1-ого рода 06.03.2016, 00:35. Показов 1752. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Опыт решений поверхностных интегралов у меня небогатый, по сравнению с интегралами от одной, двух и трех переменных. Задача следующая: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \int_{\Sigma }^{}(xy+yz+xz)d\sigma ,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Sigma$ - часть поверхности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}$ , лежащая внутри цилиндра $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{y}^{2}+{z}^{2}}=2y$ В итоге имеем две фигуры: конус, "лежащий" на оси $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ и так же "лежащий" на оси $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ цилиндр, "простреливающий" конус, тем самым получается поверхность половинного конуса (если я правильно себе это представляю. Поверхность ведь образована уравнением конуса все-таки, я посчитал удобным спроецировать его на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ZOY$ , проекцией будет окружность - основание цилиндра. Соответствующие преобразования интеграла приводят его к виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}\int \int_{ZOY}^{}(y\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}+yz+z\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}) dxdy$ Думаю знающие люди сразу поймут откуда корень из двух. Ну а дальше что? Пробовал вот через полярные координаты, но с ответом-то не сходится... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\phi \int_{0}^{2}({\rho }^{2}cos\phi +{\rho }^{2}cos\phi sin\phi+{\rho }^{2}sin\phi)\rho d \rho$ Очень вероятно , что я что-то упустил, или что-то неправильно вывел, преобразовал. Пожалуйста, доведите до мысли или укажите верное решение, заранее благодарен! 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	06.03.2016, 01:57	2
	Сообщение было отмечено Kaligulaa как решение Решение В полярных координатах будет почти то же, что и у вас: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d \varphi \int_{0}^{2 \cos \varphi}\rho ^3 \left(\cos \varphi +\sin \varphi \cos \varphi +\sin \varphi \right)d \rho$ Сообщение от Kaligulaa Думаю знающие люди сразу поймут откуда корень из двух. Не считая себя совсем уж "от сохи" в плане математики, но я не понял, откуда взялся корень, по крайней в полярной форме. В декартовой не рассматривал. Если оставить верхний предел по "ро" 2, то это будет означать, что вы рассматриваете кусок поверхности конуса внутри правого полуцилиндра с осью на ОХ радиусом 2. Так что это Сообщение от Kaligulaa и так же "лежащий" на оси Х цилиндр не совсем, не совсем... Ось цилиндра - прямая (х;1;0), а не (х;0;0). Он только касается оси ОХ. Ответ у меня вышел 64/15. Единственная техническая проблема - взятие интеграла $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \cos ^5 \varphi d \varphi$ . Остальные два интеграла по фи равны 0 в силу нечётности подинтегральной функции и симметрии пределов интегрирования относительно 0. Этот интеграл взял Маткад (лень-матушка....) Миниатюры 1

@Kaligulaa 6 / 7 / 2 Регистрация: 18.05.2015 Сообщений: 124
	06.03.2016, 03:08 [ТС]	3
	Спасибо вам огромное! Так сказать поправили незаметный, но важный "кропалик". Поясню про $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ Не хотелось бы сейчас вдаваться в подробности теорем и определений, но вообще элемент поверхности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d\sigma=\sqrt{1+{({x}_{y}')}^{2}+{({x}_{z}')}^{2}}dydz$ 0

Поверхностный интеграл 1-ого рода

Решение