Формула Коши в теореме Лагранжа, конечные приращения, I сем

@Dmitry4cf · Регистрация: 07.12.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!
Для доказательства теоремы Лагранжа используется вспомогательная функция

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$

Дается она так: "Введем вспомогательную функцию...". Причем так абсолютно во всех учебниках, что я проверял (Краснов-Киселев, Ильин-Позняк).
Вопрос: откуда "берется" эта вспомогательная функция, откуда она тут всплывает? В Краснове-Киселеве она на следующей странице названа "Формулой Коши". Гугл ответов не дал.

Байт · 05.01.2016, 20:27

Сообщение от Dmitry4cf

откуда "берется" эта вспомогательная функция,

Буквально с потолка.

Просто придумывается, вот и все.

Сообщение от Dmitry4cf

названа "Формулой Коши".

Ну, если Коши ее придумал, глядя в потолок, почему бы ее и не назвать в его честь?

Если есть функция f(x), то можно придумать миллионы разных других функций на ее основе.
F(x) = f(x) - 25
F(x) = f(x)/F(a) + e^x - ln(sinx)
Дальше, сколь фантазии хватит...
Но. Функция, свалившаяся на уважаемого Коши с потолка, обладает некоторыми хорошими свойствами, сводя доказательство теоремы Лагранжа к следствию из других, уже доказанных, теорем.
Т.е. получилось, что Коши придумал ее в общем-то не зря...

@splen · 05.01.2016, 20:43

Ответ - в тексте доказательства. После этого ко вспомогательной функции применяется теорема Ролля.
Для этого нужно, чтобы она удовлетворяла условиям этой теоремы. В частности, её значения на концах
интервала должны быть равны друг другу. Исходная функция не обязана удовлетворять этому условию,
но если из неё вычесть какую-нибудь линейную функцию, то коэффициенты можно подобрать так,
чтобы оно оказалось выполнено. Т.е. можно положить F(x)=f(x)-Kx-L, где K и L - неопределённые
коэффициенты, затем потребовать, чтобы F(a)=F(b)=0, и из полученной системы уравнений найти K и L.
В доказательстве эти элементарные вычисления, как правило, опускают и сразу записывают результат
в виде вспомогательной функции.

@Dmitry4cf · 05.01.2016, 20:49 **[ТС]**

Спасибо за ответ

Навели на мысль! Вообще эта функция очень приятно соответствует критериям функции в теореме Ролля, через которую доказывается теорема Лагранжа.
Отлично! Еще раз спасибо.

Добавлено через 3 минуты
Спасибо, что так подробно объяснили, splen. Теперь все совершенно понятно

Фух.

@splen · 05.01.2016, 21:09

Пожалуйста.
Точно так же, выбирая вместо линейной функции Kx+L другие выражения,
содержащие два параметра, и подбирая их аналогичным образом, можно
получать обобщения формулы Лагранжа.

Байт · 05.01.2016, 21:11

Сообщение от Dmitry4cf

Навели на мысль!

Это приятно. Не зря работаем, значит. А эта мысль валялась, неприкаянная, а теперь вам вместе с ней стало веселей...

Сообщение от splen

Т.е. можно положить F(x)=f(x)-Kx-L, где K и L - неопределённые коэффициенты, затем потребовать, чтобы F(a)=F(b)=0, и из полученной системы уравнений найти K и L.

Так вот, оказывается, какие письмена были начертаны на потолке старого фамильного замка Огюстена Луи!
И вся математика, может быть, всего лишь умение правильно считывать потолочные письмена!

@Dmitry4cf 0 / 0 / 1 Регистрация: 07.12.2015 Сообщений: 14
		1
	Формула Коши в теореме Лагранжа, конечные приращения, I сем 05.01.2016, 19:03. Показов 1687. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Для доказательства теоремы Лагранжа используется вспомогательная функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ Дается она так: "Введем вспомогательную функцию...". Причем так абсолютно во всех учебниках, что я проверял (Краснов-Киселев, Ильин-Позняк). Вопрос: откуда "берется" эта вспомогательная функция, откуда она тут всплывает? В Краснове-Киселеве она на следующей странице названа "Формулой Коши". Гугл ответов не дал. 0

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	05.01.2016, 20:27	2
	Сообщение от Dmitry4cf откуда "берется" эта вспомогательная функция, Буквально с потолка. Просто придумывается, вот и все. Сообщение от Dmitry4cf названа "Формулой Коши". Ну, если Коши ее придумал, глядя в потолок, почему бы ее и не назвать в его честь? Если есть функция f(x), то можно придумать миллионы разных других функций на ее основе. F(x) = f(x) - 25 F(x) = f(x)/F(a) + e^x - ln(sinx) Дальше, сколь фантазии хватит... Но. Функция, свалившаяся на уважаемого Коши с потолка, обладает некоторыми хорошими свойствами, сводя доказательство теоремы Лагранжа к следствию из других, уже доказанных, теорем. Т.е. получилось, что Коши придумал ее в общем-то не зря... 2

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	05.01.2016, 20:43	3
	Ответ - в тексте доказательства. После этого ко вспомогательной функции применяется теорема Ролля. Для этого нужно, чтобы она удовлетворяла условиям этой теоремы. В частности, её значения на концах интервала должны быть равны друг другу. Исходная функция не обязана удовлетворять этому условию, но если из неё вычесть какую-нибудь линейную функцию, то коэффициенты можно подобрать так, чтобы оно оказалось выполнено. Т.е. можно положить F(x)=f(x)-Kx-L, где K и L - неопределённые коэффициенты, затем потребовать, чтобы F(a)=F(b)=0, и из полученной системы уравнений найти K и L. В доказательстве эти элементарные вычисления, как правило, опускают и сразу записывают результат в виде вспомогательной функции. 2

@Dmitry4cf 0 / 0 / 1 Регистрация: 07.12.2015 Сообщений: 14
	05.01.2016, 20:49 [ТС]	4
	Спасибо за ответ Навели на мысль! Вообще эта функция очень приятно соответствует критериям функции в теореме Ролля, через которую доказывается теорема Лагранжа. Отлично! Еще раз спасибо. Добавлено через 3 минуты Спасибо, что так подробно объяснили, splen. Теперь все совершенно понятно Фух. 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	05.01.2016, 21:09	5
	Пожалуйста. Точно так же, выбирая вместо линейной функции Kx+L другие выражения, содержащие два параметра, и подбирая их аналогичным образом, можно получать обобщения формулы Лагранжа. 0

Байт Диссидент 27707 / 17325 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	05.01.2016, 21:11	6
	Сообщение от Dmitry4cf Навели на мысль! Это приятно. Не зря работаем, значит. А эта мысль валялась, неприкаянная, а теперь вам вместе с ней стало веселей... Сообщение от splen Т.е. можно положить F(x)=f(x)-Kx-L, где K и L - неопределённые коэффициенты, затем потребовать, чтобы F(a)=F(b)=0, и из полученной системы уравнений найти K и L. Так вот, оказывается, какие письмена были начертаны на потолке старого фамильного замка Огюстена Луи! И вся математика, может быть, всего лишь умение правильно считывать потолочные письмена! 0