Раскрытие неопределенности inf/inf

@b10s · Регистрация: 04.03.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравтсвуйте, уважаемые!

Имею необходимость отыскать следующий предел:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{1}^{4}+{3}^{4}+ ... {(2n-1)}^{4} }{{n}^{5}}$

1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{1}^{4}+{(2n-1)}^{4}}{2} \times n$

2) Использую правило Лопиталя и продифференцирую числитель и знаментаель: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{384n}{60{n}^{2}}$

что в итоге даёт повод применить правило - если степень знаменателя выше степени числителя при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \rightarrow \infty$ , то предел равен 0.

Но как-то я не уверен в правильности этого решения. Подставив в исходное выражение сналача 2, а потом 3, я понимаю что предел растет а не уменьшается(вообще, наверное, так делать нельзя) или таки можно ? ).

Где неправ?

@Ellipsoid · 11.05.2014, 05:45

Выражение в числителе есть сумма четвёртых степеней, а не сумма геометрической прогрессии. Гляньте "Математический анализ в вопросах и задачах" Бутузова и др. (двадцатые страницы).

@residentkms · 11.05.2014, 06:08

Вы можете подставлять числа, только вам это ничего не даст. Вы ведь не знаете точно как ведёт себя функция на всём отрезке х. А так, действительно, получившееся выражение имеет предел равный нулю, поскольку квадратичная функция знаменателя имеет бОльший порядок роста, чем линейная знаменателя.
Но, как определено n? Если n не R, то вы не можете использовать правило Лоппиталя.

@Ellipsoid · 11.05.2014, 12:44

Сумма в числителе представима в виде многочлена пятой степени.

@b10s · 11.05.2014, 12:56 **[ТС]**

Ellipsoid, не могли бы вы представить её?

@palva · 11.05.2014, 13:57

Вам же дали книгу Бутузова. Задача 6 на с. 27 с решением. Ваша задача решается также.
Вы не хотите решать сами и просите ответа?

@Alex5 · 11.05.2014, 14:29

Обозначим S(k) сумму 4-х степеней от 1 до k.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S(2n) \; = \;1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + ... (2n)^4 \; = \; \\ <br /> \; = \; \left( 2^4 + 4^4 + 6^4 + ... (2n)^4 \right) \;+\; \left( 1^4 + 3^4 + 5^4 + ... (2n-1)^4 \right) \; = \; \\ <br /> \; = \; 2^4\cdot S(n) \;+\; \left( 1^4 + 3^4 + 5^4 + ... (2n-1)^4 \right) \\ <br />$

Используя формулу для S(k), можно получить формулу для суммы "нечётных" слагаемых.

@Igor · 11.05.2014, 15:58

Вот, аналогичное: Найти предел с бесконечным рядом в числителе.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{{1}^{4}+{3}^{4}+...+{(2n-1)}^{4}}{{n}^{5}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot {(\frac{2k-1}{n})}^{4}\sim \frac{1}{2}\int_{0}^{2}{x}^{4}dx.$

@b10s · 12.05.2014, 22:41 **[ТС]**

Alex5, там у вас не совсем всё правильно расписано, да и я не вижу смысл разложения ряда на два, если в итоге мы получаем многочлен той же степени что и прежде... что мне потом с ним делать?

Igor, тут я ничего не могу понять

Если бы Вы раписали... хотя бы комментариями откуда и что. По ссылке ходил, всё равно не понятно.

palva, Ellipsoid, да, задачник скачал - вижу. Спасибо большое! Но не могу понять один шаг, цитирую:

Обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Sn = {1}^{4}+{2}^{4}+{3}^{4}+ ... + {n}^{4}$ . Будем искать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Sn$ в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A{n}^{5}+B{n}^{4}+C{n}^{3}+D{n}^{2}+En+F$

Как это он так лихо перешел к пятой степени? Не могли бы Вы рассказать мне, чтобы на пальцах.

Всем спасибо за участие.

@palva · 12.05.2014, 23:48

Сообщение от b10s

Как это он так лихо перешел к пятой степени?

Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n+1}-S_n=$ многочлен k-й степени от n, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n$ многочлен k+1 степени. Не знаю, как это доказать, наверно как-нибудь через теорию разностных уравнений. Но в любом случае, применяя это правило для конкретного уравнения мы получаем строгое доказательство, что полученный многочлен является решением. Можно полученную формулу еще раз доказать методом математической индукции.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от b10s

Igor, тут я ничего не могу понять

А что тут понимать? Первое равенство - это мы просто по другому записали сумму. Второе равенство (там именно равенство, а не эквивалентность) следует из определения интеграла как предела интегральных сумм.

@b10s · 13.05.2014, 00:15 **[ТС]**

palva, спасибо, но это всё очень непонятно и сложно для меня - не могу выудить алгоритм, которым бы я смог привести свой числитель из топика к виду многочлена 5-ой степени. Сможете привести этот алгоритм?

@palva · 13.05.2014, 01:02

Сообщение от b10s

Сможете привести этот алгоритм?

Нет, привести алгоритм я не смогу, это очень трудоемко, да и не под силу мне, наверное. А на каком языке писать? А какой класс задач? А как представлены входные данные? И все эти вопросы вы предлагаете мне решить, только для того, чтобы прогнать этот алгоритм для вашей конкретной задачи.
Да и зачем вам алгоритм? Вы же не машина Тьюринга, вы понимаете, что делаете. Человеку легче действовать не по алгоритму, а рассуждениями. Тем более у вас есть решение аналогичной задачи. Ваша задача решается точно так же. Если вам это трудно и непонятно, то напишите, в каком месте у вас затруднения. Alex5 и Igor предложили другие методы, которыми тоже можно решить вашу задачу.

@b10s · 13.05.2014, 01:15 **[ТС]**

palva, под алгоритмом я имел ввиду последовательность шагов, приводящих меня к решению

т.е. самое классическое понятие алгоритма. Рассуждения помогают выстроить алгоритм. Вещи разных порядков.

Да, мне трудно. Затруднения у меня в этом месте:

переход от

к

Как, почему и чем станет мой числитель, руководствуясь подобными рассуждениями автора?

@palva · 13.05.2014, 01:35

Тогда я не понимаю чем решение Бутузова отличается от алгоритма.

Сообщение от b10s

Как, почему и чем станет мой числитель, руководствуясь подобными рассуждениями автора?

У автора здесь нет рассуждений. Ищем формулу в виде многочлена 5-й степени. Просто берем и ищем. В результате, как оказывается далее, найденный многочлен является решением. То есть нам удается найти такой многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n),$ который для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1$ дает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_1,$ а для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n+1)-f(n)$ дает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(n+1)^4.$ То есть он является решением. Здесь у вас, как у поборника алгоритмов вопросов вообще не должно возникать.

Добавлено через 3 минуты
Если бы вы стали искать решение в виде многочлена четвертой степени, вы не смогли бы составить систему уравнений, поскольку справа у вас будет присутствовать 4-я степень n. Если бы вы взяли 6-ю степень, то получили бы, что коэффициент при 6-й степени равен нулю.

@b10s · 13.05.2014, 01:55 **[ТС]**

У автора здесь нет рассуждений. Ищем формулу в виде многочлена 5-й степени. Просто берем и ищем. В результате, как оказывается далее, найденный многочлен является решением.

чтооо ?

я не понимаю смысла ваших речей, извините. скажите, во что превратиться сумма моего ряда, если задаться целью представить её в виде многочлена 5ой степени, как это сделал автор ?

@palva · 13.05.2014, 09:29

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n=1^4+3^4+5^4+\ldots+(2n-1)^4$ ищем в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?An^5+Bn^4+Cn^3+Dn^2+En+F$
Систему уравнения для нахождения коэффициентов этого многочлена составляем по соотношению
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n+1}-S_n=(2n+1)^4$

@palva · 13.05.2014, 09:56

Вот нашел в одном учебнике. Используя отсюда четвертое соотношение и метод Alex5 из #7 вы сразу можете получить ваш ответ.

@Alex5 · 13.05.2014, 14:11

Сообщение от b10s

привести свой числитель из топика к виду многочлена 5-ой степени

b10s, обратите внимание, не нужен весь многочлен. Достаточно знать его степень и старший коэффициент.

Посмотрите в задачнике пример, как найти предел отношения многочленов ( без правила Лопиталя ).

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от b10s

я не вижу смысл разложения ряда на два

b10s, посмотрите на формулу в сообщении #7. Если известна формула для S(n), мы получим формулу для Вашей суммы.

@palva · 13.05.2014, 14:17

Alex5, это по существу сказано. То есть Бутузов зря решает всю систему и даже находит F. Достаточно решать систему так, чтобы первой находилась неизвестное A и на этом остановиться. Хотя с другой стороны находя весь многочлен мы доказываем, что решение в виде многочлена 5-й степени существует. Если этот факт не доказан, то надо находить многочлен.

@Alex5 · 13.05.2014, 14:24

Сообщение от b10s

Как это он так лихо перешел к пятой степени?

S(n) многочлен степени k+1, это эквивалентно (S(n+1) - S(n)) является многочленом степени k.

Пример. n², степень равна 2.
(n+1)² - n² = ( n² + 2 n + 1 ) - n² = 2 n + 1, теперь степень 1.

b10s, попробуйте сами найти (n+1)³ - n³ = ...

@palva 4255 / 2951 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,858 Записей в блоге: 4
	13.05.2014, 09:29	16
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n=1^4+3^4+5^4+\ldots+(2n-1)^4$ ищем в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?An^5+Bn^4+Cn^3+Dn^2+En+F$ Систему уравнения для нахождения коэффициентов этого многочлена составляем по соотношению $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n+1}-S_n=(2n+1)^4$ 0

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	13.05.2014, 14:11	18
	Сообщение от b10s привести свой числитель из топика к виду многочлена 5-ой степени b10s, обратите внимание, не нужен весь многочлен. Достаточно знать его степень и старший коэффициент. Посмотрите в задачнике пример, как найти предел отношения многочленов ( без правила Лопиталя ). Добавлено через 3 минуты Сообщение от b10s я не вижу смысл разложения ряда на два b10s, посмотрите на формулу в сообщении #7. Если известна формула для S(n), мы получим формулу для Вашей суммы. 1

@palva 4255 / 2951 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,858 Записей в блоге: 4
	13.05.2014, 14:17	19
	Alex5, это по существу сказано. То есть Бутузов зря решает всю систему и даже находит F. Достаточно решать систему так, чтобы первой находилась неизвестное A и на этом остановиться. Хотя с другой стороны находя весь многочлен мы доказываем, что решение в виде многочлена 5-й степени существует. Если этот факт не доказан, то надо находить многочлен. 0

@b10s 1 / 1 / 0 Регистрация: 04.03.2013 Сообщений: 28
		1
	Раскрытие неопределенности inf/inf 11.05.2014, 01:19. Показов 2217. Ответов 19 Метки нет (Все метки) Здравтсвуйте, уважаемые! Имею необходимость отыскать следующий предел: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{{1}^{4}+{3}^{4}+ ... {(2n-1)}^{4} }{{n}^{5}}$ 1) Представлю сумму членов геометрической прогрессии из числителя в виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{1}^{4}+{(2n-1)}^{4}}{2} \times n$ 2) Использую правило Лопиталя и продифференцирую числитель и знаментаель: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{384n}{60{n}^{2}}$ что в итоге даёт повод применить правило - если степень знаменателя выше степени числителя при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \rightarrow \infty$ , то предел равен 0. Но как-то я не уверен в правильности этого решения. Подставив в исходное выражение сналача 2, а потом 3, я понимаю что предел растет а не уменьшается(вообще, наверное, так делать нельзя) или таки можно ? ). Где неправ? 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	11.05.2014, 05:45	2
	Выражение в числителе есть сумма четвёртых степеней, а не сумма геометрической прогрессии. Гляньте "Математический анализ в вопросах и задачах" Бутузова и др. (двадцатые страницы). 0

@residentkms 21 / 21 / 8 Регистрация: 20.10.2013 Сообщений: 138
	11.05.2014, 06:08	3
	Вы можете подставлять числа, только вам это ничего не даст. Вы ведь не знаете точно как ведёт себя функция на всём отрезке х. А так, действительно, получившееся выражение имеет предел равный нулю, поскольку квадратичная функция знаменателя имеет бОльший порядок роста, чем линейная знаменателя. Но, как определено n? Если n не R, то вы не можете использовать правило Лоппиталя. 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	11.05.2014, 12:44	4
	Сумма в числителе представима в виде многочлена пятой степени. 0

@b10s 1 / 1 / 0 Регистрация: 04.03.2013 Сообщений: 28
	11.05.2014, 12:56 [ТС]	5
	Ellipsoid, не могли бы вы представить её? 0

@palva 4255 / 2951 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,858 Записей в блоге: 4
	11.05.2014, 13:57	6
	Вам же дали книгу Бутузова. Задача 6 на с. 27 с решением. Ваша задача решается также. Вы не хотите решать сами и просите ответа? 1

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	11.05.2014, 14:29	7
	Обозначим S(k) сумму 4-х степеней от 1 до k. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S(2n) \; = \;1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + ... (2n)^4 \; = \; \\ <br /> \; = \; \left( 2^4 + 4^4 + 6^4 + ... (2n)^4 \right) \;+\; \left( 1^4 + 3^4 + 5^4 + ... (2n-1)^4 \right) \; = \; \\ <br /> \; = \; 2^4\cdot S(n) \;+\; \left( 1^4 + 3^4 + 5^4 + ... (2n-1)^4 \right) \\ <br />$ Используя формулу для S(k), можно получить формулу для суммы "нечётных" слагаемых. 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	11.05.2014, 15:58	8
	Вот, аналогичное: Найти предел с бесконечным рядом в числителе. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{{1}^{4}+{3}^{4}+...+{(2n-1)}^{4}}{{n}^{5}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot {(\frac{2k-1}{n})}^{4}\sim \frac{1}{2}\int_{0}^{2}{x}^{4}dx.$ 0

@b10s 1 / 1 / 0 Регистрация: 04.03.2013 Сообщений: 28
	12.05.2014, 22:41 [ТС]	9
	Alex5, там у вас не совсем всё правильно расписано, да и я не вижу смысл разложения ряда на два, если в итоге мы получаем многочлен той же степени что и прежде... что мне потом с ним делать? Igor, тут я ничего не могу понять Если бы Вы раписали... хотя бы комментариями откуда и что. По ссылке ходил, всё равно не понятно. palva, Ellipsoid, да, задачник скачал - вижу. Спасибо большое! Но не могу понять один шаг, цитирую: Обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Sn = {1}^{4}+{2}^{4}+{3}^{4}+ ... + {n}^{4}$ . Будем искать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Sn$ в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A{n}^{5}+B{n}^{4}+C{n}^{3}+D{n}^{2}+En+F$ Как это он так лихо перешел к пятой степени? Не могли бы Вы рассказать мне, чтобы на пальцах. Всем спасибо за участие. 0

@palva 4255 / 2951 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,858 Записей в блоге: 4
	12.05.2014, 23:48	10
	Сообщение от b10s Как это он так лихо перешел к пятой степени? Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n+1}-S_n=$ многочлен k-й степени от n, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n$ многочлен k+1 степени. Не знаю, как это доказать, наверно как-нибудь через теорию разностных уравнений. Но в любом случае, применяя это правило для конкретного уравнения мы получаем строгое доказательство, что полученный многочлен является решением. Можно полученную формулу еще раз доказать методом математической индукции. Добавлено через 2 минуты Сообщение от b10s Igor, тут я ничего не могу понять А что тут понимать? Первое равенство - это мы просто по другому записали сумму. Второе равенство (там именно равенство, а не эквивалентность) следует из определения интеграла как предела интегральных сумм. 0

	13.05.2014, 14:24

@b10s 1 / 1 / 0 Регистрация: 04.03.2013 Сообщений: 28
	13.05.2014, 00:15 [ТС]	11
	palva, спасибо, но это всё очень непонятно и сложно для меня - не могу выудить алгоритм, которым бы я смог привести свой числитель из топика к виду многочлена 5-ой степени. Сможете привести этот алгоритм? 0

@palva 4255 / 2951 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,858 Записей в блоге: 4
	13.05.2014, 01:02	12
	Сообщение от b10s Сможете привести этот алгоритм? Нет, привести алгоритм я не смогу, это очень трудоемко, да и не под силу мне, наверное. А на каком языке писать? А какой класс задач? А как представлены входные данные? И все эти вопросы вы предлагаете мне решить, только для того, чтобы прогнать этот алгоритм для вашей конкретной задачи. Да и зачем вам алгоритм? Вы же не машина Тьюринга, вы понимаете, что делаете. Человеку легче действовать не по алгоритму, а рассуждениями. Тем более у вас есть решение аналогичной задачи. Ваша задача решается точно так же. Если вам это трудно и непонятно, то напишите, в каком месте у вас затруднения. Alex5 и Igor предложили другие методы, которыми тоже можно решить вашу задачу. 0

@b10s 1 / 1 / 0 Регистрация: 04.03.2013 Сообщений: 28
	13.05.2014, 01:15 [ТС]	13
	palva, под алгоритмом я имел ввиду последовательность шагов, приводящих меня к решению т.е. самое классическое понятие алгоритма. Рассуждения помогают выстроить алгоритм. Вещи разных порядков. Да, мне трудно. Затруднения у меня в этом месте: переход от к Как, почему и чем станет мой числитель, руководствуясь подобными рассуждениями автора? 0

@palva 4255 / 2951 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,858 Записей в блоге: 4
	13.05.2014, 01:35	14
	Тогда я не понимаю чем решение Бутузова отличается от алгоритма. Сообщение от b10s Как, почему и чем станет мой числитель, руководствуясь подобными рассуждениями автора? У автора здесь нет рассуждений. Ищем формулу в виде многочлена 5-й степени. Просто берем и ищем. В результате, как оказывается далее, найденный многочлен является решением. То есть нам удается найти такой многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n),$ который для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1$ дает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_1,$ а для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n+1)-f(n)$ дает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(n+1)^4.$ То есть он является решением. Здесь у вас, как у поборника алгоритмов вопросов вообще не должно возникать. Добавлено через 3 минуты Если бы вы стали искать решение в виде многочлена четвертой степени, вы не смогли бы составить систему уравнений, поскольку справа у вас будет присутствовать 4-я степень n. Если бы вы взяли 6-ю степень, то получили бы, что коэффициент при 6-й степени равен нулю. 0

@b10s 1 / 1 / 0 Регистрация: 04.03.2013 Сообщений: 28
	13.05.2014, 01:55 [ТС]	15
	У автора здесь нет рассуждений. Ищем формулу в виде многочлена 5-й степени. Просто берем и ищем. В результате, как оказывается далее, найденный многочлен является решением. чтооо ? я не понимаю смысла ваших речей, извините. скажите, во что превратиться сумма моего ряда, если задаться целью представить её в виде многочлена 5ой степени, как это сделал автор ? 0

@palva 4255 / 2951 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,858 Записей в блоге: 4
	13.05.2014, 09:56	17
	Вот нашел в одном учебнике. Используя отсюда четвертое соотношение и метод Alex5 из #7 вы сразу можете получить ваш ответ. Миниатюры 0