Исследовать сходимость интеграла

@sunjan · Регистрация: 02.04.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

есть такой интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\frac{lnx}{\sqrt{x{\left(1-x \right)}^{3}}}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(1)+\int_{\frac{1}{2}}^{1}(2)$
далее
(1)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{lnx}{\sqrt{x{\left(1-x \right)}^{3}}}\leq \frac{1}{x}$ сходится (ну интеграл еще надо посчитать)
(2)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{lnx}{\sqrt{x{\left(1-x \right)}^{3}}}\leq \frac{1}{x\sqrt{x}}$ сходится

Следовательно,схдится исходный интеграл.Я прав или нет?

@helter · 22.04.2014, 19:52

Во-первых, модуль надо оценивать.

В окрестности особой точки можно подынтегральную функцию f заменять на любую функцию g такую, что предел f/g конечен и отличен от 0. (К сожалению, нет более-менее общепринятого обозначения; в Демидовиче это O*.)

В окрестности 1 логарифм и x можно смело выкинуть, потому что они ограничены и отделены от 0, и функция ведёт себя как (1-x)^(-3/2). Насколько помню, это значит, что расходится, потому что -3/2 < -1. Тогда окрестность нуля уже не интересует.

Однако всё-таки в окрестности нуля $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln x = O(x^{-\alpha})$ с любым положительным альфа, поэтому подынтегральная функция есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O(x^{-1/2 - \alpha})$ , что сходимости вроде как не портит.

@Том Ардер · 22.04.2014, 21:29

Сообщение от helter

В окрестности 1 логарифм и x можно смело выкинуть

Не могу согласиться:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln x\sim x-1,\; x\rightarrow 1$

@helter · 22.04.2014, 21:34

Сообщение от Том Ардер

Не могу согласиться:

Тогда, похоже, сходится.

@Alex5 · 22.04.2014, 23:22

Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a \neq 1,$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{dx}{x^a} \;=\;\int x^{-a}dx \;=\;\frac{x^{-a+1}}{-a+1},$

Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-a+1 \; < \;0,\;$ то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \;\lim_{x\rightarrow 0} \;\frac{x^{-a+1}}{-a+1} \;=\; \infty,$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{0.5}\frac{dx}{x^a}\;$ расходится.

При a=1 тоже расходится (первообразная равна логарифму).

Добавлено через 5 минут
Если же $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a < 1,$ то

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{0}^{0,5}\frac{dx}{x^a}$

сходится.

@sunjan · 23.04.2014, 06:15 **[ТС]**

В ответах этот интеграл сходится.Я не понимаю зачем оценивать модуль,если мне просто сходимость нужна,а не абсолютная и не относительная.

@Alex5 · 23.04.2014, 11:40

Сообщение от sunjan

Я не понимаю зачем оценивать модуль,если мне просто сходимость нужна

Потому что, если оценивать с помощью неравенств, необходима оценка и сверху, и снизу:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)\leq ..., \; \;f(x)\geq .... \;$

Сообщение от sunjan

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{lnx}{\sqrt{x{\left(1-x \right)}^{3}}}\leq \frac{1}{x}$ сходится

Вот такой пример рассмотрим:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(*) \; \int_{0}^{1}\frac{ln x }{x^2}dx$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{ln x }{x^2} \leq 0$

Следует ли из сходимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}0 \cdot dx$ сходимость интеграла (*)?

@sunjan · 23.04.2014, 16:33 **[ТС]**

Её можно оценить как 1/х.

@helter · 23.04.2014, 17:45

Сообщение от sunjan

Её можно оценить как 1/х.

Интеграл от неё расходится и в окрестности нуля, и в окрестности бесконечности.

@sunjan · 24.04.2014, 16:09 **[ТС]**

Ну,тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{{x}^{2}}$

@helter · 24.04.2014, 17:04

У нуля? Тем более расходится. Вы представьте, если x мало, то квадрат от него - вообще очень мало, поэтому дробь уходит к бесконечности гораздо быстрее, чем критическая 1/x.

@sunjan · 24.04.2014, 18:06 **[ТС]**

А,да,вы правы.И что тогда делать?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

@sunjan 12 / 7 / 7 Регистрация: 02.04.2014 Сообщений: 342

	Исследовать сходимость интеграла 22.04.2014, 19:39. Показов 1601. Ответов 11 Метки нет (Все метки) есть такой интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\frac{lnx}{\sqrt{x{\left(1-x \right)}^{3}}}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(1)+\int_{\frac{1}{2}}^{1}(2)$ далее (1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{lnx}{\sqrt{x{\left(1-x \right)}^{3}}}\leq \frac{1}{x}$ сходится (ну интеграл еще надо посчитать) (2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{lnx}{\sqrt{x{\left(1-x \right)}^{3}}}\leq \frac{1}{x\sqrt{x}}$ сходится Следовательно,схдится исходный интеграл.Я прав или нет? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	22.04.2014, 19:52
	Во-первых, модуль надо оценивать. В окрестности особой точки можно подынтегральную функцию f заменять на любую функцию g такую, что предел f/g конечен и отличен от 0. (К сожалению, нет более-менее общепринятого обозначения; в Демидовиче это O*.) В окрестности 1 логарифм и x можно смело выкинуть, потому что они ограничены и отделены от 0, и функция ведёт себя как (1-x)^(-3/2). Насколько помню, это значит, что расходится, потому что -3/2 < -1. Тогда окрестность нуля уже не интересует. Однако всё-таки в окрестности нуля $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln x = O(x^{-\alpha})$ с любым положительным альфа, поэтому подынтегральная функция есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O(x^{-1/2 - \alpha})$ , что сходимости вроде как не портит. 1

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	22.04.2014, 23:22
	Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a \neq 1,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{dx}{x^a} \;=\;\int x^{-a}dx \;=\;\frac{x^{-a+1}}{-a+1},$ Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-a+1 \; < \;0,\;$ то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \;\lim_{x\rightarrow 0} \;\frac{x^{-a+1}}{-a+1} \;=\; \infty,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{0.5}\frac{dx}{x^a}\;$ расходится. При a=1 тоже расходится (первообразная равна логарифму). Добавлено через 5 минут Если же $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a < 1,$ то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{0}^{0,5}\frac{dx}{x^a}$ сходится. 0

@sunjan 12 / 7 / 7 Регистрация: 02.04.2014 Сообщений: 342
	23.04.2014, 06:15 [ТС]
	В ответах этот интеграл сходится.Я не понимаю зачем оценивать модуль,если мне просто сходимость нужна,а не абсолютная и не относительная. 0

@sunjan 12 / 7 / 7 Регистрация: 02.04.2014 Сообщений: 342
	23.04.2014, 16:33 [ТС]
	Её можно оценить как 1/х. 0

@sunjan 12 / 7 / 7 Регистрация: 02.04.2014 Сообщений: 342
	24.04.2014, 16:09 [ТС]
	Ну,тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{{x}^{2}}$ 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	24.04.2014, 17:04
	У нуля? Тем более расходится. Вы представьте, если x мало, то квадрат от него - вообще очень мало, поэтому дробь уходит к бесконечности гораздо быстрее, чем критическая 1/x. 0

@sunjan 12 / 7 / 7 Регистрация: 02.04.2014 Сообщений: 342
	24.04.2014, 18:06 [ТС]
	А,да,вы правы.И что тогда делать? 0