Верхняя и нижняя суммы Дарбу

@NikitaNet · Регистрация: 03.01.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Нужно составить верхнюю и нижнюю сумму Дарбу для ф-ии $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x,y) = x - y$
на прямоугольнике $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Pi = \left{ {(x,y): 2\leq x\geq 4, 1\leq y\geq 3} \right}$ , разбивая его на прямоугольники прямыми $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = 2 + \frac{i}{n}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = 1 + \frac{j}{n}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i,j = 0,1...2n$
Нахожу сначала площадь ячейки разбиения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{{n}^{2}}$
затем нахожу максимум и минимум функции и расписываю верхнюю и нижнюю сумму, но в итоге выходит, что они равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{n}$ . Это скорее всего неправильно.

подскажите, пожалуйста, что взять за максимум и минимум функции?

@jogano · 09.01.2014, 19:35

На каждом элементарном прямоугольнике $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[2+\frac{i}{n};2+\frac{i+1}{n} \right]\cdot \left[1+\frac{j}{n};1+\frac{j+1}{n} \right]\in R^2$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i,j=0;2n-1$ нужно взять минимальную или максимальную (для нижней и верхней сумма Дарбу соответственно) разницу между переменными х и у.
Для L(f) разница минимальна, если х минимальное, а у максимальное, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\min f_i_j(x,y)=2+\frac{i}{n}-(1+\frac{j+1}{n})=1+\frac{i-j-1}{n}$ . Тогда нижняя сумма Дарбу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L(f)=\sum_{i=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-1}\frac{1+\frac{i-j-1}{n}}{n^2}$ .
Для верхней суммы Дарбу разница х-у максимальна на каждом элементарном прямоугольнике, если х максимальное, а у минимальное, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\max f_i_j(x,y)=2+\frac{i+1}{n}-(1+\frac{j}{n})=1+\frac{i-j+1}{n}$ и эта сумма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U(f)=\sum_{i=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-1}\frac{1+\frac{i-j+1}{n}}{n^2}$ . Осталось посчитать суммы рядов.
Ряд для нижней суммы Дарбу равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L(f)=\sum_{i=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-1}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}+\frac{i-j}{n^3} \right)=4-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}\frac{2n-1}{2}2n-\frac{2}{n^2}\frac{2n-1}{2}2n=4-\frac{4}{n}$ .
Аналогично верхняя сумма Дарбу равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U(f)=\sum_{i=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-1}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+\frac{i-j}{n^3} \right)=4+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}\frac{2n-1}{2}2n-\frac{2}{n^2}\frac{2n-1}{2}2n=4+\frac{4}{n}$ .
Можно убедиться, взяв интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{2}^{4}dx\int_{1}^{3}\left(x-y \right)dy$ , что он равен 4, т.е. нижняя сумма меньше истинного значения и стремится к нему, а верхняя больше и тоже стремится к 4.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

@NikitaNet 2 / 2 / 0 Регистрация: 03.01.2014 Сообщений: 43

	Верхняя и нижняя суммы Дарбу 09.01.2014, 15:37. Показов 4182. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Нужно составить верхнюю и нижнюю сумму Дарбу для ф-ии $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x,y) = x - y$ на прямоугольнике $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Pi = \left{ {(x,y): 2\leq x\geq 4, 1\leq y\geq 3} \right}$ , разбивая его на прямоугольники прямыми $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = 2 + \frac{i}{n}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = 1 + \frac{j}{n}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i,j = 0,1...2n$ Нахожу сначала площадь ячейки разбиения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{{n}^{2}}$ затем нахожу максимум и минимум функции и расписываю верхнюю и нижнюю сумму, но в итоге выходит, что они равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{n}$ . Это скорее всего неправильно. подскажите, пожалуйста, что взять за максимум и минимум функции? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	09.01.2014, 19:35
	Сообщение было отмечено как решение Решение На каждом элементарном прямоугольнике $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[2+\frac{i}{n};2+\frac{i+1}{n} \right]\cdot \left[1+\frac{j}{n};1+\frac{j+1}{n} \right]\in R^2$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i,j=0;2n-1$ нужно взять минимальную или максимальную (для нижней и верхней сумма Дарбу соответственно) разницу между переменными х и у. Для L(f) разница минимальна, если х минимальное, а у максимальное, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\min f_i_j(x,y)=2+\frac{i}{n}-(1+\frac{j+1}{n})=1+\frac{i-j-1}{n}$ . Тогда нижняя сумма Дарбу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L(f)=\sum_{i=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-1}\frac{1+\frac{i-j-1}{n}}{n^2}$ . Для верхней суммы Дарбу разница х-у максимальна на каждом элементарном прямоугольнике, если х максимальное, а у минимальное, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\max f_i_j(x,y)=2+\frac{i+1}{n}-(1+\frac{j}{n})=1+\frac{i-j+1}{n}$ и эта сумма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U(f)=\sum_{i=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-1}\frac{1+\frac{i-j+1}{n}}{n^2}$ . Осталось посчитать суммы рядов. Ряд для нижней суммы Дарбу равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L(f)=\sum_{i=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-1}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}+\frac{i-j}{n^3} \right)=4-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}\frac{2n-1}{2}2n-\frac{2}{n^2}\frac{2n-1}{2}2n=4-\frac{4}{n}$ . Аналогично верхняя сумма Дарбу равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U(f)=\sum_{i=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-1}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+\frac{i-j}{n^3} \right)=4+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}\frac{2n-1}{2}2n-\frac{2}{n^2}\frac{2n-1}{2}2n=4+\frac{4}{n}$ . Можно убедиться, взяв интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{2}^{4}dx\int_{1}^{3}\left(x-y \right)dy$ , что он равен 4, т.е. нижняя сумма меньше истинного значения и стремится к нему, а верхняя больше и тоже стремится к 4. 3

Верхняя и нижняя суммы Дарбу

Решение