Замена в интеграле

@lna · Регистрация: 01.10.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

В общем имею неопределенный интеграл, нужно заменить на какую-то тригонометрическую функцию

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{\sqrt{{x}^{2}+1}}{{x}^{2}} dx$

Добавлено через 1 час 34 минуты
сделал замену:
x=sint
dx=cos t dt
t=arcsin x

получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{\sqrt{1+{sin}^{2}}}{{sin}^{2}t}costdt$

наверное должны быть тригонометрические подстановки. но не одна не подходит

@Igor · 02.01.2014, 11:30

lna, попробуйте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=tg(t).$

@Catstail · 02.01.2014, 12:04

А мне кажется, что здесь лучше подошла бы гиперболическая подстановка: x=sht -> dx=chtdt

@lna · 02.01.2014, 14:38 **[ТС]**

попробовал...можно конечно там с sec что-то сделать.. но его нельзя

Комментарий модератора

Правила, 5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом.

Задания набирать ручками. Для формул есть редактор.

@lna · 02.01.2014, 14:41 **[ТС]**

как дальше быть..кто подскажет ?

@Igor · 02.01.2014, 14:48

lna, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> 1+{tg}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

@lna · 02.01.2014, 15:04 **[ТС]**

получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dt}{{tg}^{2}t*cost}$

вторую замену сделать?

@Hoottie_McGOOB · 02.01.2014, 15:34

должно было получиться вот это... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dt}{cos(t)*{sin(t)}^{2}}$

@lna · 02.01.2014, 16:02 **[ТС]**

Hoottie_McGOOB,

после замены получили $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{\sqrt{{tg}^{2}t+1}}{{tg}^{2}t}*\frac{1}{{cos}^{2}t}dt$

представили $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{{tg}^{2}t+1}$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\frac{1}{{cos}^{2}t}}$

так же?

Добавлено через 17 минут
Hoottie_McGOOB, как у вас получилось такое?

@Igor · 02.01.2014, 16:20

Сообщение от lna

как у вас получилось такое?

lna, сокращать не пробовали?

@Hoottie_McGOOB · 02.01.2014, 16:23

да, всё так... только последнее действие делаете неправильно... нельзя там косинусы сокращать... они оба в знаменателе находятся... а вы считаете, что первый косинус в числителе, а второй - в знаменателе... и сокращаете...

@lna · 02.01.2014, 16:29 **[ТС]**

у меня такое получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{{tg}^{2}t*{cos}^{2}t}{cost}dt$

после того как мы заменили корень на 1/cost

@Hoottie_McGOOB · 02.01.2014, 16:45

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{cost*\frac{ {sin(t)}^{2} }{{cos(t)}^{2}}*{cos(t)}^{2}$

@lna · 02.01.2014, 17:08 **[ТС]**

Hoottie_McGOOB, это понял

как дальше решать..или хоть каким способом - нет

@Hoottie_McGOOB · 02.01.2014, 18:34

вижу только длинный путь.... все выразить через cos(t) и сделать замену tt=cos(t)...
из получившейся далее иррациональной дроби делать следующую замену: 1-tt^2=ttt^2.
Решать и разворачивать...
Может как-то проще можно, но не вижу...

iifat · 02.01.2014, 18:37

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{\sqrt{{x}^{2}+1}}{{x}^{2}} dx=\left(-\frac1x\right)\sqrt{x^2+1}-\int\left(-\frac1x\right)d\sqrt{x^2+1}=-\frac{sqrt{x^2+1}}x+\int\frac{dx}{sqrt{x^2+1}}$
Потом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sinh t$
Да, с появлением Вольфрама интегралы брать стало проще

@Hoottie_McGOOB · 02.01.2014, 18:47

Да... изначальный путь был длиннее) тут всё по частям замечательно раскладывается)

@lna · 02.01.2014, 19:40 **[ТС]**

iifat, а точно через sh???
тот же вольфрам его через tg.. потом приходит к sec и не понятно как его расписывает

все очень сложно

iifat · 02.01.2014, 20:09

Дык этаааа... Возьми да попробуй. Напиши сюда. А мы поглядим.

@lna · 02.01.2014, 20:59 **[ТС]**

iifat, эм..
x=sht
dx=cht dt

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{chtdt}{\sqrt{{sh}^{2}+1}}$

потом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sh}^{2}t+1={ch}^{2}t$

правильно делаю?

@Hoottie_McGOOB 109 / 107 / 44 Регистрация: 04.10.2013 Сообщений: 231
	02.01.2014, 16:45	13
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{cost\frac{ {sin(t)}^{2} }{{cos(t)}^{2}}{cos(t)}^{2}$ 1

@lna 7 / 1 / 1 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 115
		1
	Замена в интеграле 02.01.2014, 11:00. Показов 2441. Ответов 33 Метки нет (Все метки) В общем имею неопределенный интеграл, нужно заменить на какую-то тригонометрическую функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{\sqrt{{x}^{2}+1}}{{x}^{2}} dx$ Добавлено через 1 час 34 минуты сделал замену: x=sint dx=cos t dt t=arcsin x получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{\sqrt{1+{sin}^{2}}}{{sin}^{2}t}costdt$ наверное должны быть тригонометрические подстановки. но не одна не подходит 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	02.01.2014, 11:30	2
	lna, попробуйте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=tg(t).$ 0

@Catstail Модератор 37346 / 20778 / 4276 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,187 Записей в блоге: 14
	02.01.2014, 12:04	3
	А мне кажется, что здесь лучше подошла бы гиперболическая подстановка: x=sht -> dx=chtdt 0

@lna 7 / 1 / 1 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 115
	02.01.2014, 14:41 [ТС]	5
	как дальше быть..кто подскажет ? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	02.01.2014, 14:48	6
	lna, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> 1+{tg}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$ 1

@lna 7 / 1 / 1 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 115
	02.01.2014, 15:04 [ТС]	7
	получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dt}{{tg}^{2}t*cost}$ вторую замену сделать? 0

@Hoottie_McGOOB 109 / 107 / 44 Регистрация: 04.10.2013 Сообщений: 231
	02.01.2014, 15:34	8
	должно было получиться вот это... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dt}{cos(t)*{sin(t)}^{2}}$ 0

@lna 7 / 1 / 1 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 115
	02.01.2014, 16:02 [ТС]	9
	Hoottie_McGOOB, после замены получили $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{\sqrt{{tg}^{2}t+1}}{{tg}^{2}t}\frac{1}{{cos}^{2}t}dt$ представили $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{{tg}^{2}t+1}$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\frac{1}{{cos}^{2}t}}$ так же? Добавлено через 17 минут* Hoottie_McGOOB, как у вас получилось такое? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	02.01.2014, 16:20	10
	Сообщение от lna как у вас получилось такое? lna, сокращать не пробовали? 0

@Hoottie_McGOOB 109 / 107 / 44 Регистрация: 04.10.2013 Сообщений: 231
	02.01.2014, 16:23	11
	да, всё так... только последнее действие делаете неправильно... нельзя там косинусы сокращать... они оба в знаменателе находятся... а вы считаете, что первый косинус в числителе, а второй - в знаменателе... и сокращаете... 0

	02.01.2014, 20:59

@lna 7 / 1 / 1 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 115
	02.01.2014, 16:29 [ТС]	12
	у меня такое получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{{tg}^{2}t*{cos}^{2}t}{cost}dt$ после того как мы заменили корень на 1/cost 0

@lna 7 / 1 / 1 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 115
	02.01.2014, 17:08 [ТС]	14
	Hoottie_McGOOB, это понял как дальше решать..или хоть каким способом - нет 0

@Hoottie_McGOOB 109 / 107 / 44 Регистрация: 04.10.2013 Сообщений: 231
	02.01.2014, 18:34	15
	вижу только длинный путь.... все выразить через cos(t) и сделать замену tt=cos(t)... из получившейся далее иррациональной дроби делать следующую замену: 1-tt^2=ttt^2. Решать и разворачивать... Может как-то проще можно, но не вижу... 0

iifat 2735 / 1815 / 200 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,253
	02.01.2014, 18:37	16
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{\sqrt{{x}^{2}+1}}{{x}^{2}} dx=\left(-\frac1x\right)\sqrt{x^2+1}-\int\left(-\frac1x\right)d\sqrt{x^2+1}=-\frac{sqrt{x^2+1}}x+\int\frac{dx}{sqrt{x^2+1}}$ Потом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sinh t$ Да, с появлением Вольфрама интегралы брать стало проще 2

@Hoottie_McGOOB 109 / 107 / 44 Регистрация: 04.10.2013 Сообщений: 231
	02.01.2014, 18:47	17
	Да... изначальный путь был длиннее) тут всё по частям замечательно раскладывается) 0

@lna 7 / 1 / 1 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 115
	02.01.2014, 19:40 [ТС]	18
	iifat, а точно через sh??? тот же вольфрам его через tg.. потом приходит к sec и не понятно как его расписывает все очень сложно 0

iifat 2735 / 1815 / 200 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,253
	02.01.2014, 20:09	19
	Дык этаааа... Возьми да попробуй. Напиши сюда. А мы поглядим. 0

@lna 7 / 1 / 1 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 115
	02.01.2014, 20:59 [ТС]	20
	iifat, эм.. x=sht dx=cht dt $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{chtdt}{\sqrt{{sh}^{2}+1}}$ потом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sh}^{2}t+1={ch}^{2}t$ правильно делаю? 0