Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю

@Анечкаученица · Регистрация: 12.04.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю.
Помогите, пожалуйста.

@Igor · 17.09.2013, 20:29

Анечкаученица, кстати, это верно и для общего случая - правильного многоугольника.

@Анечкаученица · 17.09.2013, 20:39 **[ТС]**

Сообщение от Igor

Анечкаученица, кстати, это верно и для общего случая - правильного многоугольника.

Согласна, верно, а вот как доказать...

@Cute · 17.09.2013, 21:00

Рисунок к задаче:

240Volt · 17.09.2013, 21:04

Очевидно, что
(1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 0$
Точка пересечения медиан (центр) делит медианы в отношении 1:2, поэтому
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AO} = \frac{2}{3}\overrightarrow {Aa} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {Ba} ) = \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} )$
Аналогично,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {BO} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} )$
и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {CO} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} )$
Складывая эти равенства, в силу (1) получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} = 0$
Эх, опоздал. И у Cute - лучше!

@Анечкаученица · 17.09.2013, 21:07 **[ТС]**

СПАСИБО вам большое!

@OxomHuK · 19.09.2013, 23:35

Через поворот.

Предположим, что результирующий вектор не равен нулю, тогда он будет иметь длину и направление.
Повернем каждый из трех векторов на 120 градусов, получим 3 "новые" вектора. Но по факту они перейдут в те же самые 3 вектора что и были.
Так вот, после этого поворота результирующий вектор от 3-х "новых" векторов тоже должен был повернуться, но он не изменился! Это может быть только в случае, если он равен 0.

Не совсем идеальное обьяснение, математику забросил 7 лет назад. Тут важна суть поворот/симметрия

@sco43 · 20.09.2013, 16:09

Можно еще доказать, что переносе этих векторов получается равносторонний треугольник.
Причем сразу будет видно, что сумма этих векторов равна нолю.

@cmath · 21.09.2013, 01:47

sco43, достаточно того, что получится просто треугольник. Какой именно значения не имеет.

@sco43 · 21.09.2013, 11:28

Сообщение от cmath

sco43, достаточно того, что получится просто треугольник. Какой именно значения не имеет.

Важно учесть направления векторов.
Без направления, сумма векторов не обязательно будет равна нолю.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .	Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .
Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .	Мультитенантная архитектура со SpringBoot и PostgreSQL ArchitectMsa 29.03.2025 SaaS-приложения редко обслуживают одного клиента и обычно они должны поддерживать множество организаций, каждая из которых работает в своём изолированном пространстве. Мультитенантная архитектура. . .	std::span в C++: Производительность и лучшие практики NullReferenced 28.03.2025 std::span — одно из самых недооценённых нововведений стандарта C++20, которое радикально меняет подход к работе с непрерывными последовательностями данных. По сути, это невладеющее представление. . .

Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю

Решение

Решение

Решение

@Анечкаученица 36 / 7 / 2 Регистрация: 12.04.2013 Сообщений: 56

	Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю 17.09.2013, 18:13. Показов 37015. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю. Помогите, пожалуйста. Миниатюры 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.09.2013, 20:29
	Анечкаученица, кстати, это верно и для общего случая - правильного многоугольника. 2

@Анечкаученица 36 / 7 / 2 Регистрация: 12.04.2013 Сообщений: 56
	17.09.2013, 20:39 [ТС]
	Сообщение от Igor Анечкаученица, кстати, это верно и для общего случая - правильного многоугольника. Согласна, верно, а вот как доказать... 0

@Cute 1077 / 658 / 68 Регистрация: 10.02.2011 Сообщений: 518
	17.09.2013, 21:00
	Сообщение было отмечено как решение Решение Рисунок к задаче: Миниатюры 7

240Volt 4445 / 2449 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108
	17.09.2013, 21:04
	Сообщение было отмечено как решение Решение Очевидно, что (1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 0$ Точка пересечения медиан (центр) делит медианы в отношении 1:2, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AO} = \frac{2}{3}\overrightarrow {Aa} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {Ba} ) = \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} )$ Аналогично, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {BO} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} )$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {CO} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} )$ Складывая эти равенства, в силу (1) получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} = 0$ Эх, опоздал. И у Cute - лучше! Миниатюры 4

@Анечкаученица 36 / 7 / 2 Регистрация: 12.04.2013 Сообщений: 56
	17.09.2013, 21:07 [ТС]
	СПАСИБО вам большое! 2

@OxomHuK 31 / 31 / 6 Регистрация: 11.07.2013 Сообщений: 241
	19.09.2013, 23:35
	Сообщение было отмечено как решение Решение Через поворот. Предположим, что результирующий вектор не равен нулю, тогда он будет иметь длину и направление. Повернем каждый из трех векторов на 120 градусов, получим 3 "новые" вектора. Но по факту они перейдут в те же самые 3 вектора что и были. Так вот, после этого поворота результирующий вектор от 3-х "новых" векторов тоже должен был повернуться, но он не изменился! Это может быть только в случае, если он равен 0. Не совсем идеальное обьяснение, математику забросил 7 лет назад. Тут важна суть поворот/симметрия 6

@sco43 670 / 163 / 22 Регистрация: 27.01.2012 Сообщений: 372
	20.09.2013, 16:09
	Можно еще доказать, что переносе этих векторов получается равносторонний треугольник. Причем сразу будет видно, что сумма этих векторов равна нолю. 2

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	21.09.2013, 01:47
	sco43, достаточно того, что получится просто треугольник. Какой именно значения не имеет. 2

@sco43 670 / 163 / 22 Регистрация: 27.01.2012 Сообщений: 372
	21.09.2013, 11:28
	Сообщение от cmath sco43, достаточно того, что получится просто треугольник. Какой именно значения не имеет. Важно учесть направления векторов. Без направления, сумма векторов не обязательно будет равна нолю. 2