Площадь произвольного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом R

@cabyrc · Регистрация: 02.09.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В одном споре о трактовке условия школьной задачи родилась вот такая задача:
Найти минимальную и максимальную возможные площади произвольного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом R.

Есть идеи по решению задачи?

@cmath · 02.09.2013, 13:05

Сообщение от cabyrc

Есть идеи по решению задачи?

Есть вопрос: шестиугольник может быть невыпуклым?

Добавлено через 26 минут

Мои соображения

Выпуклый шестиугольник:
Пусть его стороны имеют длины x1, x2, x3, x4, x5, x6. Разобьём шестиугольник на треугольники лучами, выходящими из центра окружности и проходящие через вершины шестиугольника. Получившиеся треугольники будут иметь стороны (x1, r, r), (x2, r, r), (x3, r, r), (x4, r, r), (x5, r, r), (x6, r, r). По формуле Герона получим их площадь i-ого треугольника:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> S_i=\frac{x_i}{2}\sqrt{r^2-\frac{x_i^2}{4}}$
И площадь шестиугольника тогда будет равна
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> S=\sum_{i=1}^{6}\frac{x_i}{2}\sqrt{r^2-\frac{x_i^2}{4}}$
и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x_i=2r\sin\frac{\alpha _i}{2}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _i$ - центральный угол при i-ом треугольнике.
Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\sum_{i=1}^{6}r^2\sin\frac{\alpha _i}{2}\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha _i}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{6}r^2\sin \alpha _i$
и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \sum_{i=1}^{6} \alpha _i = 2\pi, \;\alpha _i\in(0;\pi)$
Осталось только найти максимум (и минимум) функции площади в этой области.

@cabyrc · 02.09.2013, 13:05 **[ТС]**

Нет, шестиугольник только выпуклый.

@cmath · 02.09.2013, 13:06

Чертеж надо?

@cabyrc · 02.09.2013, 13:08 **[ТС]**

У вас интересное решение. Спасибо. От чертежа бы тоже не отказался

@sco43 · 02.09.2013, 13:09

Площадь вписанного шестиугольника будет складываться из сумм площадей шести равносторонних треуглоников с бедрами равными радиусу описанной окружности.
Площадь треугольника равно произведению строн на синус угла между ними и делить на 2.
Сумма углов при вершине треугольников будет равна 360.
Так вот полагаю без доказательства, что это будет равносторонний шестиугольник с углами при вершнах 120 градусов.
Это для максимальной площади.

@cmath · 02.09.2013, 13:12

Не по теме:

Сообщение от sco43

Площадь треугольника равно произведению строн на синус угла между ними и делить на 2.

Это, кстати, попроще будет:), а то что-то меня понесло)))
P.S. "равнобедренный", а не "равносторонний"

@cmath · 02.09.2013, 13:19

Чертеж (приношу извинения за криворукость

):

@cabyrc · 02.09.2013, 13:31 **[ТС]**

Не ожидал таких быстрых ответов. Спасибо! Надо еще попробовать аналитически доказать, что максимальная площадь - это площадь правильного шестиугольника. Чуть позже попробую, если никто не опередит

@sco43 · 02.09.2013, 13:46

А минимальная площадь шестиугольника будет к нолю стремится

@cmath · 02.09.2013, 13:53

Сообщение от sco43

А минимальная площадь шестиугольника будет к нолю стремится

Это было бы так, если б можно было б и невыпуклые использовать. Но ТС говорит, что шестиугольники только выпуклые.
***
Хотя хз. Может в гиперплоскости (уравнение её в посте №2) в указанных пределах изменения альфа i и есть нуль функции.
Думаю, что нет.

@cabyrc · 02.09.2013, 14:56 **[ТС]**

Сообщение от sco43

А минимальная площадь шестиугольника будет к нолю стремится

Если принять за данное, что работаем в рамках евклидовой геометрии с выпуклыми шестиугольниками, то сомневаюсь. По крайней мере графически я себе это не представляю...

@splen · 02.09.2013, 15:53

Нулевую площадь имеет (выпуклый вписанный) шестиугольник, все вершины которого, кроме одной, совпадают (а сам шестиугольник вырождается в хорду).

Надо еще попробовать аналитически доказать, что максимальная площадь - это площадь правильного шестиугольника

Для этого достаточно воспользоваться тем, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin \alpha_1 + sin \alpha_2 = 2 sin {\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}} cos {\frac{\alpha_1-\alpha_2}{2}}.$

Тогда если в шестиугольнике не все центральные углы равны, то можно найти смежную пару, удовлетворяющую условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha_1 \lt \frac{\pi}{3} \lt \alpha_2$ и заменить её на пару $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta_1 = \frac{\pi}{3}, \; \beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2 - \beta_1.$ При этом

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta_1+\beta_2=\alpha_1+\alpha_2, \; |\beta_1-\beta_2| \lt |\alpha_1 - \alpha_2|$ .

Значит, площадь шестиугольника увеличится, а количество центральных углов, отличных от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{3}$ , уменьшится. Следовательно, не более, чем после шести таких замен получится правильный шестиугольник.

@sco43 · 02.09.2013, 16:00

Сообщение от splen

Нулевую площадь имеет (выпуклый вписанный) шестиугольник, все вершины которого, кроме одной, совпадают (а сам шестиугольник вырождается в хорду).

Я это и имел в виду

@cabyrc · 02.09.2013, 16:07 **[ТС]**

Сообщение от splen

Нулевую площадь имеет (выпуклый вписанный) шестиугольник, все вершины которого, кроме одной, совпадают (а сам шестиугольник вырождается в хорду).

Я не готов спорить на тему, можно ли такую хорду считать многоугольником, но все же в задаче предполагалось, что ни одна из точек не совпадает, т.е. это "полноценный" выпуклый шестиугольник, ни один угол которого не равен нулю.

@splen · 02.09.2013, 16:14

Сообщение от cabyrc

Я не готов спорить на тему, можно ли такую хорду считать многоугольником

Можно по определению многоугольника.

Сообщение от cabyrc

в задаче предполагалось, что ... это "полноценный" выпуклый шестиугольник, ни один угол которого не равен нулю.

В таком случае существует шестиугольник, удовлетворяющий условию задачи, со сколь угодно малой площадью. Следовательно, минимума не существует.

@cabyrc · 02.09.2013, 16:20 **[ТС]**

Не по теме:

К слову о совпадении вершин. Возьмем не шестиугольник, а треугольник. Известно, что сумма углов треугольника в евклидовой геометрии равна 180. Если поместить две вершины такого треугольника в одну точку, то сумма станет либо равна нулю, либо два угла в треугольнике будут равны 90°. Подобные рассуждения можно экстраполировать и на трактовку хорды как шестиугольник. Так что предполагаю не жульничать подобным образом :)

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от splen

В таком случае существует шестиугольник, удовлетворяющий условию задачи, со сколь угодно малой площадью. Следовательно, минимума не существует.

Подумал чуток. Да вы правы, минимума не существует, а пределом является та самая хорда. Вопрос снят

И решен

@splen · 02.09.2013, 16:23

Сообщение от cabyrc

Не по теме:

... Если поместить две вершины такого треугольника в одну точку, то ...

... углы не будут определены.

Сообщение от cabyrc

Не по теме:

Так что предполагаю не жульничать подобным образом :)

@sco43 · 02.09.2013, 16:50

Сообщение от splen

В таком случае существует шестиугольник, удовлетворяющий условию задачи, со сколь угодно малой площадью. Следовательно, минимума не существует.

В точку

@palva · 05.09.2013, 14:12

Максимум достигается при шестиугольнике, у которого все стороны равны. Пусть, например, в шестиугольнике ABCDEA сторона AB не равна стороне BC, тогда площадь треугольника ABC, а тем самым и шестиугольника, можно увеличить смещая точку B по дуге так, чтобы она была максимально удалена от основания AC треугольника. В таком треугольнике высота будет максимальной. А это бывает, когда AB=AC.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

@cabyrc 1 / 0 / 0 Регистрация: 02.09.2013 Сообщений: 7

	Площадь произвольного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом R 02.09.2013, 12:06. Показов 6999. Ответов 21 Метки нет (Все метки) В одном споре о трактовке условия школьной задачи родилась вот такая задача: Найти минимальную и максимальную возможные площади произвольного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом R. Есть идеи по решению задачи? 0

@cabyrc 1 / 0 / 0 Регистрация: 02.09.2013 Сообщений: 7
	02.09.2013, 13:05 [ТС]
	Нет, шестиугольник только выпуклый. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	02.09.2013, 13:06
	Чертеж надо? 0

@cabyrc 1 / 0 / 0 Регистрация: 02.09.2013 Сообщений: 7
	02.09.2013, 13:08 [ТС]
	У вас интересное решение. Спасибо. От чертежа бы тоже не отказался 0

@sco43 670 / 163 / 22 Регистрация: 27.01.2012 Сообщений: 372
	02.09.2013, 13:09
	Площадь вписанного шестиугольника будет складываться из сумм площадей шести равносторонних треуглоников с бедрами равными радиусу описанной окружности. Площадь треугольника равно произведению строн на синус угла между ними и делить на 2. Сумма углов при вершине треугольников будет равна 360. Так вот полагаю без доказательства, что это будет равносторонний шестиугольник с углами при вершнах 120 градусов. Это для максимальной площади. 2

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	02.09.2013, 13:19
	Чертеж (приношу извинения за криворукость): Миниатюры 1

@cabyrc 1 / 0 / 0 Регистрация: 02.09.2013 Сообщений: 7
	02.09.2013, 13:31 [ТС]
	Не ожидал таких быстрых ответов. Спасибо! Надо еще попробовать аналитически доказать, что максимальная площадь - это площадь правильного шестиугольника. Чуть позже попробую, если никто не опередит 0

@sco43 670 / 163 / 22 Регистрация: 27.01.2012 Сообщений: 372
	02.09.2013, 13:46
	А минимальная площадь шестиугольника будет к нолю стремится 0

@palva 4277 / 2969 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,925 Записей в блоге: 5
	05.09.2013, 14:12
	Максимум достигается при шестиугольнике, у которого все стороны равны. Пусть, например, в шестиугольнике ABCDEA сторона AB не равна стороне BC, тогда площадь треугольника ABC, а тем самым и шестиугольника, можно увеличить смещая точку B по дуге так, чтобы она была максимально удалена от основания AC треугольника. В таком треугольнике высота будет максимальной. А это бывает, когда AB=AC. 0

Площадь произвольного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом R

Решение