Точка пересечения бисектрис треугольника

@gund · Регистрация: 05.05.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Нужно найти точку пересечения бисектрис в произвольном треугольнике.
Мы знаем лишь вершины треугольника.
На картинке визуальная интерпретация задачи.
Зарание спасибо!

@tarasso · 09.06.2013, 15:47

чтобы найти точку пересечения биссектрис треугольника, нужно знать уравнения этих биссектрис(достаточно иметь два уравнения биссектрис).
Для этого нужно:
1) составить уравнения сторон треугольника( составлять уравнение прямой, которая проходит через две точки мы умеем).
2)Привести уравнения прямых, которые задают стороны треугольника к нормальному виду(нормальное уравнение прямой).
3)Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая есть центром вписанной в этот треугольник окружности, то если принять точку О(x0,y0) за искомую, то расстояние от этой точки до любой прямой будет равно радиусу вписанной в этот треугольник окружности.
Поэтому нужно найти отклонения(невязки) от точки О(x0,y0) до каждой стороны треугольника с учетом знака, попарно их приравнять и таким образом мы найдем уравнения биссектрис(достаточно двух).
4)решив систему уравнений, найдем точку пересечения биссектрис.
...

@Nacuott · 09.06.2013, 17:14

Можно проще:
Пусть заданы координаты вершин треугольника АВС.
1.Образуем единичные векторы АВ и АС
2.Возьмем сумму векторов АВ+ВС - получим направляющий вектор биссектрисы, исходящей из вершины А.
3.Запишем уравнение биссектрисы, исходящей из вершины А.
4.То же проделаем еще для одной вершины треугольника.
5.Решив систему, найдем точку пересечения биссектрис.

@tarasso · 09.06.2013, 17:33

Проще... Смотря на каком этапе знаний мы находимся. Если студент, например, не изучал аналитическую геометрию в пространстве- вряд ли он знает, что такое направляющий вектор прямой. Ведь термин "направляющий вектор" встречается в аналитической геометрии в пространстве.
Nacuott, я уверен, что Ваше решение - это еще не предел простоты. Уверен, с помощью матриц это будет выглядеть еще элегантнее.

@gund · 09.06.2013, 18:29 **[ТС]**

Да, с направляющим вектором я действительно не знаком.
А так спасибо за алгоритм, буду решать))

@Nacuott · 09.06.2013, 19:40

(x-x0)/X=(y-y0)/Y
В этом уравнении используется вектор направления, это уравнение прямой на плоскости.

@helter · 10.06.2013, 13:27

Есть замечательно красивая формула: если I - центр окружности, вписанной в треугольник ABC, и a, b, c - длины сторон, то
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \overrightarrow{OI}= \frac{a \overrightarrow{OA}+ b \overrightarrow{OB}+ c \overrightarrow{OC}}{a + b + c}<br />$
для любой точки O.

@Fedorys · 11.06.2013, 07:52

helter, формула, действительно, красивая. Но ее использование требует доказательства.

@helter · 11.06.2013, 09:43

Сообщение от Fedorys

ее использование требует доказательства.

Какой вы суровый.

Пожалуй, тут достаточно пару раз применить свойство биссектрисы (делит сторону в отношении, равным отношению прилежащих сторон). А можно от ответа: найти, в каком отношении прямая AI делит отрезок BC (причём в силу симметричности другие стороны можно не рассматривать).

@gund · 11.06.2013, 15:03 **[ТС]**

Хмм.....
Что то я окончательно запутался как решать мою задачу.

Может быть кто то напишет ход решения для получения этой точки пересечения? =))

@Cute · 11.06.2013, 17:05

Посмотрите рисунок:

@Klavdia · 11.06.2013, 17:23

Так Вы воспользуйтесь той теоремой, что предложил Helter, вот она http://fxdx.ru/page/centr-vpis... kruzhnosti

И в начало координат точку О засуньте.

А-а, ну да, всё уже...

@gund · 11.06.2013, 17:30 **[ТС]**

Cute, спасибо.
Картинка реально расставила все по местам. Выходит очень просто))
Еще раз спасибо.

P.S. тему можно закрывать.

@Klavdia 135 / 112 / 13 Регистрация: 03.06.2013 Сообщений: 270
	11.06.2013, 17:23	12
	Так Вы воспользуйтесь той теоремой, что предложил Helter, вот она http://fxdx.ru/page/centr-vpis... kruzhnosti И в начало координат точку О засуньте. А-а, ну да, всё уже... 1

@gund 18 / 18 / 4 Регистрация: 05.05.2013 Сообщений: 88
		1
	Точка пересечения бисектрис треугольника 09.06.2013, 00:24. Показов 20179. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Нужно найти точку пересечения бисектрис в произвольном треугольнике. Мы знаем лишь вершины треугольника. На картинке визуальная интерпретация задачи. Зарание спасибо! Миниатюры 0

@tarasso 749 / 460 / 50 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 962
	09.06.2013, 15:47	2
	чтобы найти точку пересечения биссектрис треугольника, нужно знать уравнения этих биссектрис(достаточно иметь два уравнения биссектрис). Для этого нужно: 1) составить уравнения сторон треугольника( составлять уравнение прямой, которая проходит через две точки мы умеем). 2)Привести уравнения прямых, которые задают стороны треугольника к нормальному виду(нормальное уравнение прямой). 3)Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая есть центром вписанной в этот треугольник окружности, то если принять точку О(x0,y0) за искомую, то расстояние от этой точки до любой прямой будет равно радиусу вписанной в этот треугольник окружности. Поэтому нужно найти отклонения(невязки) от точки О(x0,y0) до каждой стороны треугольника с учетом знака, попарно их приравнять и таким образом мы найдем уравнения биссектрис(достаточно двух). 4)решив систему уравнений, найдем точку пересечения биссектрис. ... 1

@Nacuott 1811 / 1006 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,979 Записей в блоге: 12
	09.06.2013, 17:14	3
	Сообщение было отмечено как решение Решение Можно проще: Пусть заданы координаты вершин треугольника АВС. 1.Образуем единичные векторы АВ и АС 2.Возьмем сумму векторов АВ+ВС - получим направляющий вектор биссектрисы, исходящей из вершины А. 3.Запишем уравнение биссектрисы, исходящей из вершины А. 4.То же проделаем еще для одной вершины треугольника. 5.Решив систему, найдем точку пересечения биссектрис. 3

@tarasso 749 / 460 / 50 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 962
	09.06.2013, 17:33	4
	Проще... Смотря на каком этапе знаний мы находимся. Если студент, например, не изучал аналитическую геометрию в пространстве- вряд ли он знает, что такое направляющий вектор прямой. Ведь термин "направляющий вектор" встречается в аналитической геометрии в пространстве. Nacuott, я уверен, что Ваше решение - это еще не предел простоты. Уверен, с помощью матриц это будет выглядеть еще элегантнее. 0

@gund 18 / 18 / 4 Регистрация: 05.05.2013 Сообщений: 88
	09.06.2013, 18:29 [ТС]	5
	Да, с направляющим вектором я действительно не знаком. А так спасибо за алгоритм, буду решать)) 0

@Nacuott 1811 / 1006 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,979 Записей в блоге: 12
	09.06.2013, 19:40	6
	(x-x0)/X=(y-y0)/Y В этом уравнении используется вектор направления, это уравнение прямой на плоскости. 1

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	10.06.2013, 13:27	7
	Есть замечательно красивая формула: если I - центр окружности, вписанной в треугольник ABC, и a, b, c - длины сторон, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \overrightarrow{OI}= \frac{a \overrightarrow{OA}+ b \overrightarrow{OB}+ c \overrightarrow{OC}}{a + b + c}<br />$ для любой точки O. 2

@Fedorys 496 / 204 / 18 Регистрация: 19.03.2013 Сообщений: 463
	11.06.2013, 07:52	8
	helter, формула, действительно, красивая. Но ее использование требует доказательства. 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	11.06.2013, 09:43	9
	Сообщение от Fedorys ее использование требует доказательства. Какой вы суровый. Пожалуй, тут достаточно пару раз применить свойство биссектрисы (делит сторону в отношении, равным отношению прилежащих сторон). А можно от ответа: найти, в каком отношении прямая AI делит отрезок BC (причём в силу симметричности другие стороны можно не рассматривать). 0

@gund 18 / 18 / 4 Регистрация: 05.05.2013 Сообщений: 88
	11.06.2013, 15:03 [ТС]	10
	Хмм..... Что то я окончательно запутался как решать мою задачу. Может быть кто то напишет ход решения для получения этой точки пересечения? =)) 0

@Cute 1076 / 657 / 68 Регистрация: 10.02.2011 Сообщений: 518
	11.06.2013, 17:05	11
	Посмотрите рисунок: Миниатюры 1

	11.06.2013, 17:30

@gund 18 / 18 / 4 Регистрация: 05.05.2013 Сообщений: 88
	11.06.2013, 17:30 [ТС]	13
	Cute, спасибо. Картинка реально расставила все по местам. Выходит очень просто)) Еще раз спасибо. P.S. тему можно закрывать. 0

Точка пересечения бисектрис треугольника

Решение