Симметрия точек относительно окружностей

@MisterX · Регистрация: 22.04.2020

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Имеются 2 пересекающиеся окружности A и B, в области их пересечения имеется точка P. Строим 2 точки Pa и Pb, симметричные ей относительно окружностей A и B соответственно. Затем строим образы точки Pa теперь относительно окружности B, а точки Pb - относительно окружности A. При каких условиях эти 2 новые точки совпадут? Например, при каких-то условиях на радиусы, взаимном расположении, или никогда.

Буду признателен за соображения по решению задачи!

Байт · 22.04.2020, 19:40

MisterX, окружностей или кругов?

Добавлено через 49 секунд
Я говорю об области пересечения.

@MisterX · 22.04.2020, 19:46 **[ТС]**

Имею в виду внутренность области, ограниченной пересекающимися окружностями.
Речь идёт о симметрии-инверсии (x y = R^2, где x и y - расстояния от центра окружности радиуса R до симметричных точек)

Байт · 22.04.2020, 21:31

MisterX, Если я правильно понимаю смысл симметрии относительного окружности, тогда точки пересечения этих окружностей и только они удовлетворяют условиям.
Если я понял это дело неправильно, поправьте меня.
Неплохо было бы чертежик с примерами и пояснениями.

@MisterX · 22.04.2020, 21:45 **[ТС]**

Уважаемый Байт, пожалуйста.
Картинка сделана приблизительно, с использованием линейки.
Предполагается, что здесь симметричными парами точек являются P и P*, P и P-, P* и P*-, P- и P*-.
Исходная точка P. Образы её образов, точек P* и P-, вроде совпадают в точке P*-.
Но есть подозрение, что это из-за неточности рисунка и удачного исходного расположения
точки P. Кроме того, интересен случай разных радиусов окружностей.

@MisterX · 22.04.2020, 21:53 **[ТС]**

* Предполагается, что здесь парами симметричных точек....

Байт · 22.04.2020, 22:00

MisterX, к сожалению, мне не удалось получить никакой информации из вашего чертежа
Попробуйте словами объяснить, что такое точка, симметричная данной относительно окружности.
Или даже нарисовать, но попроще. Чтобы понять ваш вопрос, мне нужна окружность, точка, и ей симметричная.

@MisterX · 22.04.2020, 22:07 **[ТС]**

Вот здесь
http://uchit.net/catalog/Matematika/7068/
в разделе "Инверсия и её свойства" очень наглядно показано, что такое симметрия точек относительно окружности

@jogano · 23.04.2020, 00:41

MisterX, одно из условий совпадения - треугольник с точками в центрах двух данных окружностях и точкой их пересечения прямоугольный (при точке пересечения прямой угол), тогда положение точки Р не важно, оба двойных образа будут совпадать.
Есть ещё одно возможное условие (или первое, или это): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AP^2-BP^2=R_1^2-R_2^2$ , но оно почему-то не проходит проверку рисунком - при равных радиусах если треугольник АРВ равнобедренный, то двойные образы вообще говоря не совпадают. Так что это второе условие под вопросом.

@MisterX · 23.04.2020, 12:05 **[ТС]**

Уважаемый jogano, спасибо за соображения. 2-й вариант, к сожалению, не подходит, т.к. точка P - произвольная внутри области пересечения, и каждый раз подгонять расположение окружностей под неё не получится. Я построил решение по 1-му варианту (см. картинки, симметричный случай и асимметричный случай). В симметричном случае, возможно, неточность построения привела к различиям точек P*-, но в асимметричном случае точки P*-1 и P*-2, всё же, далековато одна от другой.

Могу ли попросить Вас набросать соотношения решения?

Или 1-й подход в асимметричном случае не работает? Этот-то случай, как раз, более актуален...

@jogano · 23.04.2020, 13:07

MisterX, вы не точно рисуете. В Geogebra, например, после вбивания нужных формул, а изменение положений точек А, В, радиусов и точки Р делается мышью, рисунок тут же перерисовывается, так что можно легко проверить сразу много случаев. Вот вам не симметричный вариант - точки Pab и Pba (зелёные точки вверху) совпадают. Pab - это точка, получаемая сначала инверсией Р относительно окружности А (точка Pa), а затем Pa относительно окружности В. Точка Pba - порядок инверсий меняется.

Сообщение от MisterX

Могу ли попросить Вас набросать соотношения решения?

Нет, не могу, это несколько страниц писать на бумаге, не говоря уже о редакторе формул. Мартышкин труд.

@MisterX · 23.04.2020, 13:18 **[ТС]**

Спасибо, уважаемый jogano!

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	23.04.2020, 12:05 [ТС]	10
	Уважаемый jogano, спасибо за соображения. 2-й вариант, к сожалению, не подходит, т.к. точка P - произвольная внутри области пересечения, и каждый раз подгонять расположение окружностей под неё не получится. Я построил решение по 1-му варианту (см. картинки, симметричный случай и асимметричный случай). В симметричном случае, возможно, неточность построения привела к различиям точек P-, но в асимметричном случае точки P-1 и P*-2, всё же, далековато одна от другой. Могу ли попросить Вас набросать соотношения решения? Или 1-й подход в асимметричном случае не работает? Этот-то случай, как раз, более актуален... Миниатюры 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.04.2020, 13:07	11
	Сообщение было отмечено MisterX как решение Решение MisterX, вы не точно рисуете. В Geogebra, например, после вбивания нужных формул, а изменение положений точек А, В, радиусов и точки Р делается мышью, рисунок тут же перерисовывается, так что можно легко проверить сразу много случаев. Вот вам не симметричный вариант - точки Pab и Pba (зелёные точки вверху) совпадают. Pab - это точка, получаемая сначала инверсией Р относительно окружности А (точка Pa), а затем Pa относительно окружности В. Точка Pba - порядок инверсий меняется. Сообщение от MisterX Могу ли попросить Вас набросать соотношения решения? Нет, не могу, это несколько страниц писать на бумаге, не говоря уже о редакторе формул. Мартышкин труд. Миниатюры 1

Байт Диссидент 27709 / 17325 / 3811 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	22.04.2020, 19:40	2
	MisterX, окружностей или кругов? Добавлено через 49 секунд Я говорю об области пересечения. 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	22.04.2020, 19:46 [ТС]	3
	Имею в виду внутренность области, ограниченной пересекающимися окружностями. Речь идёт о симметрии-инверсии (x y = R^2, где x и y - расстояния от центра окружности радиуса R до симметричных точек) 0

Байт Диссидент 27709 / 17325 / 3811 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	22.04.2020, 21:31	4
	MisterX, Если я правильно понимаю смысл симметрии относительного окружности, тогда точки пересечения этих окружностей и только они удовлетворяют условиям. Если я понял это дело неправильно, поправьте меня. Неплохо было бы чертежик с примерами и пояснениями. 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	22.04.2020, 21:45 [ТС]	5
	Уважаемый Байт, пожалуйста. Картинка сделана приблизительно, с использованием линейки. Предполагается, что здесь симметричными парами точек являются P и P, P и P-, P и P-, P- и P-. Исходная точка P. Образы её образов, точек P* и P-, вроде совпадают в точке P*-. Но есть подозрение, что это из-за неточности рисунка и удачного исходного расположения точки P. Кроме того, интересен случай разных радиусов окружностей. Миниатюры 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	22.04.2020, 21:53 [ТС]	6
	* Предполагается, что здесь парами симметричных точек.... 0

Байт Диссидент 27709 / 17325 / 3811 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	22.04.2020, 22:00	7
	MisterX, к сожалению, мне не удалось получить никакой информации из вашего чертежа Попробуйте словами объяснить, что такое точка, симметричная данной относительно окружности. Или даже нарисовать, но попроще. Чтобы понять ваш вопрос, мне нужна окружность, точка, и ей симметричная. 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	22.04.2020, 22:07 [ТС]	8
	Вот здесь http://uchit.net/catalog/Matematika/7068/ в разделе "Инверсия и её свойства" очень наглядно показано, что такое симметрия точек относительно окружности 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.04.2020, 00:41	9
	MisterX, одно из условий совпадения - треугольник с точками в центрах двух данных окружностях и точкой их пересечения прямоугольный (при точке пересечения прямой угол), тогда положение точки Р не важно, оба двойных образа будут совпадать. Есть ещё одно возможное условие (или первое, или это): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AP^2-BP^2=R_1^2-R_2^2$ , но оно почему-то не проходит проверку рисунком - при равных радиусах если треугольник АРВ равнобедренный, то двойные образы вообще говоря не совпадают. Так что это второе условие под вопросом. 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	23.04.2020, 13:18 [ТС]	12
	Спасибо, уважаемый jogano! 0

Симметрия точек относительно окружностей

Решение