Симметрия точек относительно окружностей

@MisterX · Регистрация: 22.04.2020

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Имеются 2 пересекающиеся окружности A и B, в области их пересечения имеется точка P. Строим 2 точки Pa и Pb, симметричные ей относительно окружностей A и B соответственно. Затем строим образы точки Pa теперь относительно окружности B, а точки Pb - относительно окружности A. При каких условиях эти 2 новые точки совпадут? Например, при каких-то условиях на радиусы, взаимном расположении, или никогда.

Буду признателен за соображения по решению задачи!

Байт · 22.04.2020, 19:40

MisterX, окружностей или кругов?

Добавлено через 49 секунд
Я говорю об области пересечения.

@MisterX · 22.04.2020, 19:46 **[ТС]**

Имею в виду внутренность области, ограниченной пересекающимися окружностями.
Речь идёт о симметрии-инверсии (x y = R^2, где x и y - расстояния от центра окружности радиуса R до симметричных точек)

Байт · 22.04.2020, 21:31

MisterX, Если я правильно понимаю смысл симметрии относительного окружности, тогда точки пересечения этих окружностей и только они удовлетворяют условиям.
Если я понял это дело неправильно, поправьте меня.
Неплохо было бы чертежик с примерами и пояснениями.

@MisterX · 22.04.2020, 21:45 **[ТС]**

Уважаемый Байт, пожалуйста.
Картинка сделана приблизительно, с использованием линейки.
Предполагается, что здесь симметричными парами точек являются P и P*, P и P-, P* и P*-, P- и P*-.
Исходная точка P. Образы её образов, точек P* и P-, вроде совпадают в точке P*-.
Но есть подозрение, что это из-за неточности рисунка и удачного исходного расположения
точки P. Кроме того, интересен случай разных радиусов окружностей.

@MisterX · 22.04.2020, 21:53 **[ТС]**

* Предполагается, что здесь парами симметричных точек....

Байт · 22.04.2020, 22:00

MisterX, к сожалению, мне не удалось получить никакой информации из вашего чертежа
Попробуйте словами объяснить, что такое точка, симметричная данной относительно окружности.
Или даже нарисовать, но попроще. Чтобы понять ваш вопрос, мне нужна окружность, точка, и ей симметричная.

@MisterX · 22.04.2020, 22:07 **[ТС]**

Вот здесь
http://uchit.net/catalog/Matematika/7068/
в разделе "Инверсия и её свойства" очень наглядно показано, что такое симметрия точек относительно окружности

@jogano · 23.04.2020, 00:41

MisterX, одно из условий совпадения - треугольник с точками в центрах двух данных окружностях и точкой их пересечения прямоугольный (при точке пересечения прямой угол), тогда положение точки Р не важно, оба двойных образа будут совпадать.
Есть ещё одно возможное условие (или первое, или это): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AP^2-BP^2=R_1^2-R_2^2$ , но оно почему-то не проходит проверку рисунком - при равных радиусах если треугольник АРВ равнобедренный, то двойные образы вообще говоря не совпадают. Так что это второе условие под вопросом.

@MisterX · 23.04.2020, 12:05 **[ТС]**

Уважаемый jogano, спасибо за соображения. 2-й вариант, к сожалению, не подходит, т.к. точка P - произвольная внутри области пересечения, и каждый раз подгонять расположение окружностей под неё не получится. Я построил решение по 1-му варианту (см. картинки, симметричный случай и асимметричный случай). В симметричном случае, возможно, неточность построения привела к различиям точек P*-, но в асимметричном случае точки P*-1 и P*-2, всё же, далековато одна от другой.

Могу ли попросить Вас набросать соотношения решения?

Или 1-й подход в асимметричном случае не работает? Этот-то случай, как раз, более актуален...

@jogano · 23.04.2020, 13:07

MisterX, вы не точно рисуете. В Geogebra, например, после вбивания нужных формул, а изменение положений точек А, В, радиусов и точки Р делается мышью, рисунок тут же перерисовывается, так что можно легко проверить сразу много случаев. Вот вам не симметричный вариант - точки Pab и Pba (зелёные точки вверху) совпадают. Pab - это точка, получаемая сначала инверсией Р относительно окружности А (точка Pa), а затем Pa относительно окружности В. Точка Pba - порядок инверсий меняется.

Сообщение от MisterX

Могу ли попросить Вас набросать соотношения решения?

Нет, не могу, это несколько страниц писать на бумаге, не говоря уже о редакторе формул. Мартышкин труд.

@MisterX · 23.04.2020, 13:18 **[ТС]**

Спасибо, уважаемый jogano!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25

	Симметрия точек относительно окружностей 22.04.2020, 19:26. Показов 2436. Ответов 11 Метки инверсия, окружности, симметрия (Все метки) Имеются 2 пересекающиеся окружности A и B, в области их пересечения имеется точка P. Строим 2 точки Pa и Pb, симметричные ей относительно окружностей A и B соответственно. Затем строим образы точки Pa теперь относительно окружности B, а точки Pb - относительно окружности A. При каких условиях эти 2 новые точки совпадут? Например, при каких-то условиях на радиусы, взаимном расположении, или никогда. Буду признателен за соображения по решению задачи! 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	22.04.2020, 19:40
	MisterX, окружностей или кругов? Добавлено через 49 секунд Я говорю об области пересечения. 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	22.04.2020, 19:46 [ТС]
	Имею в виду внутренность области, ограниченной пересекающимися окружностями. Речь идёт о симметрии-инверсии (x y = R^2, где x и y - расстояния от центра окружности радиуса R до симметричных точек) 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	22.04.2020, 21:31
	MisterX, Если я правильно понимаю смысл симметрии относительного окружности, тогда точки пересечения этих окружностей и только они удовлетворяют условиям. Если я понял это дело неправильно, поправьте меня. Неплохо было бы чертежик с примерами и пояснениями. 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	22.04.2020, 21:45 [ТС]
	Уважаемый Байт, пожалуйста. Картинка сделана приблизительно, с использованием линейки. Предполагается, что здесь симметричными парами точек являются P и P, P и P-, P и P-, P- и P-. Исходная точка P. Образы её образов, точек P* и P-, вроде совпадают в точке P*-. Но есть подозрение, что это из-за неточности рисунка и удачного исходного расположения точки P. Кроме того, интересен случай разных радиусов окружностей. Миниатюры 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	22.04.2020, 21:53 [ТС]
	* Предполагается, что здесь парами симметричных точек.... 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	22.04.2020, 22:00
	MisterX, к сожалению, мне не удалось получить никакой информации из вашего чертежа Попробуйте словами объяснить, что такое точка, симметричная данной относительно окружности. Или даже нарисовать, но попроще. Чтобы понять ваш вопрос, мне нужна окружность, точка, и ей симметричная. 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	22.04.2020, 22:07 [ТС]
	Вот здесь http://uchit.net/catalog/Matematika/7068/ в разделе "Инверсия и её свойства" очень наглядно показано, что такое симметрия точек относительно окружности 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.04.2020, 00:41
	MisterX, одно из условий совпадения - треугольник с точками в центрах двух данных окружностях и точкой их пересечения прямоугольный (при точке пересечения прямой угол), тогда положение точки Р не важно, оба двойных образа будут совпадать. Есть ещё одно возможное условие (или первое, или это): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AP^2-BP^2=R_1^2-R_2^2$ , но оно почему-то не проходит проверку рисунком - при равных радиусах если треугольник АРВ равнобедренный, то двойные образы вообще говоря не совпадают. Так что это второе условие под вопросом. 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	23.04.2020, 12:05 [ТС]
	Уважаемый jogano, спасибо за соображения. 2-й вариант, к сожалению, не подходит, т.к. точка P - произвольная внутри области пересечения, и каждый раз подгонять расположение окружностей под неё не получится. Я построил решение по 1-му варианту (см. картинки, симметричный случай и асимметричный случай). В симметричном случае, возможно, неточность построения привела к различиям точек P-, но в асимметричном случае точки P-1 и P*-2, всё же, далековато одна от другой. Могу ли попросить Вас набросать соотношения решения? Или 1-й подход в асимметричном случае не работает? Этот-то случай, как раз, более актуален... Миниатюры 0

@MisterX 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 25
	23.04.2020, 13:18 [ТС]
	Спасибо, уважаемый jogano! 0

Симметрия точек относительно окружностей

Решение