Медианой четырёхугольника назовем отрезок, соединяющий какую-нибудь из его вершин с центром медиан треугольника, вершина

@olesha13 · Регистрация: 14.02.2019

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Медианой четырёхугольника назовем отрезок, соединяющий какую-нибудь из его вершин с центром медиан треугольника, вершинами которого будут служить остальные три вершины четырёхугольника.
1. Докажите, что все четыре медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в соотношении 3:1 (считая от вершины).
2. Является ли данная точка центром тяжести четырёхугольника?
3. Если две медианы четырёхугольника равны, то следует ли отсюда, что два угла в четырёхугольнике равны?
4. Дайте определение медианы n-угольника, по аналогии с медианой четырёхугольника. Сформулируйте теорему, аналогичную пункту 1, и докажите её.
5. Исследуйте пункты 2–3 для медиан n-угольника.
6. Предложите и исследуйте свойства других отрезков и конструкций для других отрезков четырехугольников и n-угольников, определяемых по некоторой аналогии с треугольниками. (Например: пусть высота четырёхугольника – это отрезок, соединяющий вершину четырехугольника с ортоцентром треугольника, образованного остальными тремя вершинами. Пересекаются ли высоты четырёхугольника в одной точке? Если да, то в каком отношении они делятся точкой пересечения?)

@jogano · 14.02.2019, 19:23

Как выражается точка М пересечения медиан треугольника АВС через координаты его вершин А, В, С (формула)?
Какими могут быть коэффициенты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ в линейной комбинации для точки пересечения медиан 4-угольника $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha A+ \beta B+ \gamma C + \delta D$ , чтобы эта точка существовала (чтобы, взяв любые две медианы 4-угольника и найдя точку их пересечения, эта точка была бы одной и той же не зависимо от того, какую пару медиан 4-угольника мы пересекли)?

@Symon · 14.02.2019, 20:51

Сообщение от olesha13

четыре медианы пересекаются в одной точке

1. Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_k \ \ k=1,2,3,4$ - вершины 4-х угольника. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_kO_k -$ - медианы.
То есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O_1=\frac{A_2+A_3+A_4}{3},\ \ O_2=\frac{A_1+A_3+A_4}{3}\ \ O_3=\frac{A_1+A_2+A_4}{3}\ \ O_4=\frac{A_1+A_2+A_3}{3}$
Параметрические Уравнения медиан (векторная форма)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_1O_1(t1)=A_1+t1\cdot (O_1-A_1)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_2O_2(t2)=A_2+t2\cdot (O_2-A_2)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_3O_3(t3)=A_3+t3\cdot (O_3-A_3)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_4O_4(t4)=A_4+t4\cdot (O_4-A_4)$
Все параметры t1,t2,t3,t4 пробегают отрезок [0,1]
Медианы пересекаются в одной точке означает, что, то существуют значения параметров, не равные нулю и единице, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_1O_1(t1)=A_2O_1(t2)=A_3O_3(t3)=A_4O_4(t4)=O$ . Это приводит к системе
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} O_1-A_1 &O_2-A_2 &0 &0 \\ O_1-A_1 &0 &O_3-A_1 &0 \\ O_1-A_1 &0 &0 &O_4-A_4 \\ 0 &0 &O_3-A_3 &O_4-A_4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t1\\ t2\\ t3\\ t4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_2-A_1\\ A_3-A_1\\ A_4-A_1\\ A_4-A_3 \end{pmatrix}$
Осталось доказать, что система имеет единственное решение t1=t2=t3=t4=3/4
Это нетрудно.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .
Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .	Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .

@olesha13 0 / 0 / 0 Регистрация: 14.02.2019 Сообщений: 1

	Медианой четырёхугольника назовем отрезок, соединяющий какую-нибудь из его вершин с центром медиан треугольника, вершина 14.02.2019, 17:02. Показов 8068. Ответов 2 Метки четырехугольник (Все метки) Медианой четырёхугольника назовем отрезок, соединяющий какую-нибудь из его вершин с центром медиан треугольника, вершинами которого будут служить остальные три вершины четырёхугольника. 1. Докажите, что все четыре медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в соотношении 3:1 (считая от вершины). 2. Является ли данная точка центром тяжести четырёхугольника? 3. Если две медианы четырёхугольника равны, то следует ли отсюда, что два угла в четырёхугольнике равны? 4. Дайте определение медианы n-угольника, по аналогии с медианой четырёхугольника. Сформулируйте теорему, аналогичную пункту 1, и докажите её. 5. Исследуйте пункты 2–3 для медиан n-угольника. 6. Предложите и исследуйте свойства других отрезков и конструкций для других отрезков четырехугольников и n-угольников, определяемых по некоторой аналогии с треугольниками. (Например: пусть высота четырёхугольника – это отрезок, соединяющий вершину четырехугольника с ортоцентром треугольника, образованного остальными тремя вершинами. Пересекаются ли высоты четырёхугольника в одной точке? Если да, то в каком отношении они делятся точкой пересечения?) 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	14.02.2019, 19:23
	Как выражается точка М пересечения медиан треугольника АВС через координаты его вершин А, В, С (формула)? Какими могут быть коэффициенты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ в линейной комбинации для точки пересечения медиан 4-угольника $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha A+ \beta B+ \gamma C + \delta D$ , чтобы эта точка существовала (чтобы, взяв любые две медианы 4-угольника и найдя точку их пересечения, эта точка была бы одной и той же не зависимо от того, какую пару медиан 4-угольника мы пересекли)? 0