Найти координаты 4-й вершины трапеции и её площадь по координатам трёх её вершин

@MaximFix · Регистрация: 08.10.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

В равнобедренной трапеции ABCD известны координаты вершин A(0,5) B(-2,4) C(4,2) Найти координаты вершины D и площадь трапеции

@mathmichel · 08.10.2018, 09:49

Некорректные данные задачи - получается невыпуклый четырехугольник с параллельными сторонами ВС и AD. Возможно, имелось в виду, что параллельными сторонами являются стороны ВС и AD. Сейчас рассмотрю это случай.

@mathmichel · 08.10.2018, 10:37

Как ни странно, ничего не изменилось, потому что получается тот же ломанный четырехугольник, вершины которого являются вершинами параллелограмма.

@jogano · 08.10.2018, 12:10

Проводим серединный перпендикуляр к отрезку ВС и ищем точку, симметричную точке А относительно этого перпендикуляра.
Уравнение перпендикуляра в параметрической форме $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=\frac{B+C}{2}+\bar{BC}_\perp t, \: t \in R$
Для поиска симметричной точки ищем вектор, лежащий на этом перпендикуляре и равный по длине проекции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pr_{\bar{BC}_\perp}\left(A-\frac{B+C}{2} \right)$ , т.е. вектор
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\bar{BC}_\perp}{\left|\bar{BC}_\perp \right|}pr_{\bar{BC}_\perp}\left(A-\frac{B+C}{2} \right)=\frac{\bar{BC}_\perp\left(\bar{BC}_\perp,A-\frac{B+C}{2} \right)}{\left|\bar{BC}_\perp \right|^2}$
Разность этого найденного вектора и вектора из (В+С)/2 в точку А есть вектор из точки А на серединный перпендикуляр. Если от точки А отложить два этих вектора, получи искомую точку D, то есть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=-A+B+C+2\frac{\bar{BC}_\perp\left(\bar{BC}_\perp,A-\frac{B+C}{2} \right)}{\left|\bar{BC}_\perp \right|^2}$
В данных числах это точка D(3;4)

@mathmichel · 08.10.2018, 13:07

Да, там было два решения в первом варианте! Первое было показано выше, а второе просто не заметил.
Решить можно было ещё так. Задаем вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{BC}=(6;-2),\vec{AC}=(4;-3),\vec{BD}=(x+2;y-4)$ . Последние два диагональных вектора образуют одинаковый угол с первым вектором (основанием трапеции), тогда получаем уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{BC}\cdot \vec{BD}=\vec{BC}\cdot \vec{AC}\Leftrightarrow 6(x+2)-2(y-4)=30\Leftrightarrow 3x-y=5$ . К этому уравнению добавляем требование равенства этих диагональных векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AC^2=BD^2\Leftrightarrow 25=(x+2)^2+(y-4)^2$ . Подстановка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=3x-5$ к квадратному уравнению $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2-5x+6=0$ с корнями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=2,x_2=3$ . Подходит только второй корень, в результате $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x,y)=(3,4)$ .

@MaximFix 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.10.2018 Сообщений: 4
		1
	Найти координаты 4-й вершины трапеции и её площадь по координатам трёх её вершин 08.10.2018, 02:08. Показов 18364. Ответов 4 Метки нет (Все метки) В равнобедренной трапеции ABCD известны координаты вершин A(0,5) B(-2,4) C(4,2) Найти координаты вершины D и площадь трапеции 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10742 / 7124 / 3874 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,301
	08.10.2018, 09:49	2
	Некорректные данные задачи - получается невыпуклый четырехугольник с параллельными сторонами ВС и AD. Возможно, имелось в виду, что параллельными сторонами являются стороны ВС и AD. Сейчас рассмотрю это случай. Миниатюры 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10742 / 7124 / 3874 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,301
	08.10.2018, 10:37	3
	Как ни странно, ничего не изменилось, потому что получается тот же ломанный четырехугольник, вершины которого являются вершинами параллелограмма. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	08.10.2018, 12:10	4
	Проводим серединный перпендикуляр к отрезку ВС и ищем точку, симметричную точке А относительно этого перпендикуляра. Уравнение перпендикуляра в параметрической форме $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=\frac{B+C}{2}+\bar{BC}_\perp t, \: t \in R$ Для поиска симметричной точки ищем вектор, лежащий на этом перпендикуляре и равный по длине проекции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pr_{\bar{BC}_\perp}\left(A-\frac{B+C}{2} \right)$ , т.е. вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\bar{BC}_\perp}{\left\|\bar{BC}_\perp \right\|}pr_{\bar{BC}_\perp}\left(A-\frac{B+C}{2} \right)=\frac{\bar{BC}_\perp\left(\bar{BC}_\perp,A-\frac{B+C}{2} \right)}{\left\|\bar{BC}_\perp \right\|^2}$ Разность этого найденного вектора и вектора из (В+С)/2 в точку А есть вектор из точки А на серединный перпендикуляр. Если от точки А отложить два этих вектора, получи искомую точку D, то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=-A+B+C+2\frac{\bar{BC}_\perp\left(\bar{BC}_\perp,A-\frac{B+C}{2} \right)}{\left\|\bar{BC}_\perp \right\|^2}$ В данных числах это точка D(3;4) 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10742 / 7124 / 3874 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,301
	08.10.2018, 13:07	5
	Сообщение было отмечено MaximFix как решение Решение Да, там было два решения в первом варианте! Первое было показано выше, а второе просто не заметил. Решить можно было ещё так. Задаем вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{BC}=(6;-2),\vec{AC}=(4;-3),\vec{BD}=(x+2;y-4)$ . Последние два диагональных вектора образуют одинаковый угол с первым вектором (основанием трапеции), тогда получаем уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{BC}\cdot \vec{BD}=\vec{BC}\cdot \vec{AC}\Leftrightarrow 6(x+2)-2(y-4)=30\Leftrightarrow 3x-y=5$ . К этому уравнению добавляем требование равенства этих диагональных векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AC^2=BD^2\Leftrightarrow 25=(x+2)^2+(y-4)^2$ . Подстановка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=3x-5$ к квадратному уравнению $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2-5x+6=0$ с корнями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=2,x_2=3$ . Подходит только второй корень, в результате $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x,y)=(3,4)$ . 0

Найти координаты 4-й вершины трапеции и её площадь по координатам трёх её вершин

Решение