Принадлежность точки треугольнику в трехмерном пространстве

@MikeNew · Регистрация: 16.07.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток.

Есть треугольник с координатами (x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3).
Есть точка с координатами (x,y,z), которая принадлежит той же плоскости что и треугольник.
Есть вектор нормали плоскости n, которой принадлежат и треугольник и точка.

Нужно определить принадлежит ли точка треугольнику векторным методом (так как он самый быстрый).
Для двумерного случая я нагуглил как, но расширить на трехмерный не получилось.

Добавлено через 42 минуты
Update:
Нашел кое-что:

Проверить знаки у трёх скалярных произведений нормали плоскости на векторное призведение двух векторов, которые образуют проверяемая точка и две точки на стороне треугольника. Если все три знака совпадают - значит точка внутри трегольника.

Не могу понять как это выразить в формулах. Прошу помочь.

@EasyHelp SU · 24.09.2018, 12:48

треугольник ABC, точка М, нормаль n. Если знаки смешанных произведений векторов [n,MA,MB] ,[n,MA,MC], [n,MB,MC] совпадают, то точка внутри треугольника.

@MikeNew · 25.09.2018, 08:59 **[ТС]**

Сообщение от EasyHelp SU

треугольник ABC, точка М, нормаль n. Если знаки смешанных произведений векторов [n,MA,MB] ,[n,MA,MC], [n,MB,MC] совпадают, то точка внутри треугольника.

Не работает, сделал по этому алгоритму простейший случай и проверил:

C

n(0,1,0)
A(205, 34,  22), B(205, 34, 23), C(206,34,23)
М(205.75, 34, 22.25)
MA = М - A = (0.75, 0, 0.25)
MB = M - B = (0.75, 0, -0.75);
MC = M - C = (-0.25, 0, -0.75);
 
[n,MA,MB] = 0.75;
[n,MA,MC] = 0.5;
[n,MB,MC] = 0.75;

Знаки смешанных произведений совпадают, а точка лежит вне треугольника.
Вопрос остается открытым.
Или я где-то неправильно посчитал?

@EasyHelp SU · 25.09.2018, 09:07

Вот это вызывает сомнения:

Проверить знаки у трёх скалярных произведений нормали плоскости на векторное призведение двух векторов, которые образуют проверяемая точка и две точки на стороне треугольника. Если все три знака совпадают - значит точка внутри трегольника.

. Знак смешанного произведения меняется при перестановке любых двух слагаемых. [n,MA,MB]=-[n,MB,MA]. А по алгоритму не сказано, в каком порядке брать вектора из точки.

@MikeNew · 25.09.2018, 12:36 **[ТС]**

Сообщение от EasyHelp SU

А по алгоритму не сказано, в каком порядке брать вектора из точки.

Если не сложно пожалуйста поясните, что имеется в виду по "порядком"?

Добавлено через 6 минут
Update:
Разобрался, все заработало, большое спасибо за помощь!

Если кому вдруг понадобится:

C

1
2
3

[n,MA,MB] = 0.75;
[n,MB,MC] = 0.5;
[n,MC,MA] = 0.75;

Добавлено через 3 часа 5 минут
Что-то я поторопился.
Все-таки не работает, хотя пробовал самые разные комбинации. Вблизи к краям все равно неправильно определяет.

@САлександр · 25.09.2018, 14:56

MikeNew, все точки должны обходиться в одном направлении относительно нормали, например по часовой стрелке. Тогда все должно работать.

@MikeNew · 25.09.2018, 15:54 **[ТС]**

Сообщение от САлександр

MikeNew, все точки должны обходиться в одном направлении относительно нормали, например по часовой стрелке. Тогда все должно работать.

Должно, но не работает. Все по правилам сделал:

C

MA = М - A 
MB = M - B
MC = M - C
 
k = dot(N, cross(MA,MB);
m = dot(N, cross(MB,MC);
n = dot(N, cross(MC,MA);

Если k,m,n одного знака или равны нуля - точка принадлежит треугольнику.

Этот алгоритм должен работать, но не работает. Я даже на всякий случай на онлайн-калькуляторе проверял - думал может я неправильно смешанное произведение считаю.
Нормаль направлена правильно, на всякий случай даже пробовал ее знак менять.

@САлександр · 25.09.2018, 22:14

MikeNew,
Посмотрим 2 случая:
1. Проекция токи на плоскость треугольника (плоскость в которой лежит треугольник) не попадает в треугольник.
2. Проекция токи на плоскость треугольника попадает в треугольник.
Приведенное Вами решение - решение для 1. В случае 2 надо еще проверить на попадание точки на саму плоскость. В общем случае - сначала Ваше решение, потом, если знаки одинаковы, то проверка на равенство нулю, например произведения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{n}\times(\vec{MA}\times \vec{MB})$

Добавлено через 11 минут
Или, что проще, для случая 2 проверить на равенство нулю, например произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{n}\cdot\vec{MA}$

Добавлено через 10 минут
Только сейчас заметил, что

Сообщение от MikeNew

Есть точка с координатами (x,y,z), которая принадлежит той же плоскости что и треугольник.

И опять я плохо прочитал условие!
Тогда - просто Ваше решение.

@MikeNew · 26.09.2018, 12:18 **[ТС]**

Существуют онлайн-калькуляторы или просто сторонние программы для проверки таких случаев? На попадание точки в треугольник в трехмерных координатах?

@MikeNew 8 / 8 / 0 Регистрация: 16.07.2013 Сообщений: 149
		1
	Принадлежность точки треугольнику в трехмерном пространстве 24.09.2018, 12:33. Показов 10531. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток. Есть треугольник с координатами (x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3). Есть точка с координатами (x,y,z), которая принадлежит той же плоскости что и треугольник. Есть вектор нормали плоскости n, которой принадлежат и треугольник и точка. Нужно определить принадлежит ли точка треугольнику векторным методом (так как он самый быстрый). Для двумерного случая я нагуглил как, но расширить на трехмерный не получилось. Добавлено через 42 минуты Update: Нашел кое-что: Проверить знаки у трёх скалярных произведений нормали плоскости на векторное призведение двух векторов, которые образуют проверяемая точка и две точки на стороне треугольника. Если все три знака совпадают - значит точка внутри трегольника. Не могу понять как это выразить в формулах. Прошу помочь. 0

@EasyHelp SU 115 / 99 / 30 Регистрация: 15.07.2015 Сообщений: 262
	24.09.2018, 12:48	2
	Сообщение было отмечено MikeNew как решение Решение треугольник ABC, точка М, нормаль n. Если знаки смешанных произведений векторов [n,MA,MB] ,[n,MA,MC], [n,MB,MC] совпадают, то точка внутри треугольника. 1

@EasyHelp SU 115 / 99 / 30 Регистрация: 15.07.2015 Сообщений: 262
	25.09.2018, 09:07	4
	Вот это вызывает сомнения: Проверить знаки у трёх скалярных произведений нормали плоскости на векторное призведение двух векторов, которые образуют проверяемая точка и две точки на стороне треугольника. Если все три знака совпадают - значит точка внутри трегольника. . Знак смешанного произведения меняется при перестановке любых двух слагаемых. [n,MA,MB]=-[n,MB,MA]. А по алгоритму не сказано, в каком порядке брать вектора из точки. 1

@САлександр 482 / 270 / 57 Регистрация: 08.10.2015 Сообщений: 1,159
	25.09.2018, 14:56	6
	MikeNew, все точки должны обходиться в одном направлении относительно нормали, например по часовой стрелке. Тогда все должно работать. 1

@САлександр 482 / 270 / 57 Регистрация: 08.10.2015 Сообщений: 1,159
	25.09.2018, 22:14	8
	MikeNew, Посмотрим 2 случая: 1. Проекция токи на плоскость треугольника (плоскость в которой лежит треугольник) не попадает в треугольник. 2. Проекция токи на плоскость треугольника попадает в треугольник. Приведенное Вами решение - решение для 1. В случае 2 надо еще проверить на попадание точки на саму плоскость. В общем случае - сначала Ваше решение, потом, если знаки одинаковы, то проверка на равенство нулю, например произведения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{n}\times(\vec{MA}\times \vec{MB})$ Добавлено через 11 минут Или, что проще, для случая 2 проверить на равенство нулю, например произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{n}\cdot\vec{MA}$ Добавлено через 10 минут Только сейчас заметил, что Сообщение от MikeNew Есть точка с координатами (x,y,z), которая принадлежит той же плоскости что и треугольник. И опять я плохо прочитал условие! Тогда - просто Ваше решение. 1

@MikeNew 8 / 8 / 0 Регистрация: 16.07.2013 Сообщений: 149
	26.09.2018, 12:18 [ТС]	9
	Существуют онлайн-калькуляторы или просто сторонние программы для проверки таких случаев? На попадание точки в треугольник в трехмерных координатах? 0

Принадлежность точки треугольнику в трехмерном пространстве

Решение