Треугольник лежит внутри треугольника. Его периметр тоже меньше?

Дан произвольный треугольник со сторонами a, b, c и периметром
равным 2p. Внутри этого треугольника находится другой произвольный
треугольник с периметром 2q. Верно ли что q < p ?
Логическое рассуждение.
1. Очевидно, что между площадью треугольника и его периметром есть
связь.
2. Например чем больше площадь треугольника, тем как правило больше
и периметр этого треугольника. Что легко доказать для подобных треугольников.
3. Однако обратное неверно вовсе. Периметр может расти, а площадь убывать.
4. В нашей задаче почти очевидно, что меньший треугольник должен иметь и
меньший периметр. Ибо его периметр ограничен размерами внешнего треугольника.
5. Но "почти" не считается. Это надо доказать.
6. Теперь попробуем разобраться более конкретно
7. Пусть малый треугольник лежит внутри большого и не касается его ни одной
своей вершиной.
8. тогда мы можем подвинуть этот треугольник так, чтобы он коснулся углом стороны
большого треугольника.
9. Затем повернем его так, чтобы и вторая вершина коснулась углом другой стороны
треугольника (тут возможен случай когда сторона ляжет на сторону большого)
10. Третья вершина, вообще говоря, будет где-то внутри.
11. Тогда мы можем удлинить стороны малого треугольника до тех пор, пока его НОВАЯ
третья вершина не коснется третьей стороны треугольника.
12. Итог: внутри большого треугольника вписан малый треугольник. Все три его вершины
находятся на трех сторонах большого треугольника. Теперь легко доказать, что периметр
этого треугольника будет меньше периметра большого треугольника.
В самом деле
Каждая сторона малого треугольника образует с частями сторон большого треугольника
свой треугольник. И эта сторона естественно меньше чем сумма частей сторон большого
треугольника. Если все сложить, то получим, что периметр малого треугольника будет
меньше периметра большого.
ВОПРОС
А дальше то как? Ведь надо рассмотреть случай когда сторона малого треугольника
лежит на стороне большого треугольника. Тут еще надо доказать, что можно делать?
А что нет? И можно ли повернуть/подвинуть наш малый треугольник?
ВОПРОС 2
Исчерпываются ли рассмотренными выше все положения "треугольник в треугольнике"?
Иными словами, будет ли наше доказательство корректным?

0

ili1, В самом деле все просто следует из неравенства треугольника. Преобразуйте ваш вложенный треугольник сдвигами и НЕУМЕНШАЮЩИМИ подобиями так, чтобы вершины его лежали на сторонах большого. А дальше пригласите посмотреть на картинку первую же встречную блондинку

1

Собственно, на рисунках... Рисунок 1 - по сравнению с исходным АВС одна вершина сдвинута из С в С1.
Рисунок 2 - две вершины вложенного треугольника сдвинуты по разным сторонам, общий угол В.
Рисунок 3 - две вершины вложенного треугольника сдвинуты по одной стороне (по с), третья вершина С осталась старая. И дополнительно на этом же рисунке: что будет, если третью вершину С сдвинуть тоже? Может так оказаться, что новая вершина С1 (показана красным) ляжет вне эллипса с фокусами в А1 и В1, проходящем через С. Тогда периметр А1В1С1 будет больше периметра А1В1С, но всё равно будет меньше периметра АВС, что следует из рисунка 1.
Рисунок 4 - все три вершины лежат на разных сторонах.
Вывод - таки q<p.

Миниатюры

     

 

1

jogano, Рисунки просто замечательные! Но вот зачем тут эллипс - мне трудно понять. Нет, конечно можно и эллиптические кривые как-то использовать - аппарат математики развит и замысловат.
Но, имхо, на каждой из картинок можно воспользоваться простейшим неравенством треугольника. a + b > c. Полученные неравенства сложить и тут же получить p > q (это с точки зрения зашедшей на огонек блондинки)

1

Байт, несколько рисунков отражают разные ситуации расположения вершин старого и нового треугольников.
Так на неравенстве треугольника всё и делается - по 2-4 строчки решения для каждого рисунка, весьма компактно.
По поводу эллипса. Может быть так, что две вершины нового треугольника лежат на одной стороне, а третья на другой стороне. Нарисованный эллипс - это ГМТ точек С таких, что периметр А1В1С постоянен (так как для данного эллипса A1B1=2 фокусных расстояния, А1С+В1С=const по определению эллипса). И если новая вершина С1 выходит за пределы этого эллипса, полученный периметр больше чем у А1В1С. Вот я и нарисовал пример такой точки С1 на рисунке 3, для которой так может быть.

1

Байт, спасибо
(а где блондинка?)

jogano,
спасибо. Вы так здорово разбираетесь в геометрии, что вам можно
только позавидовать (Нет, это хорошая белая зависть). А вот применить
эллипс мне даже в голову не пришло. Хотя я понимал конечно, что тот
случай, когда одна сторона треугольника будет лежать на другой стороне
треугольника требует особого рассмотрения. Ведь нигде не сказано, что
этот треугольник можно подвинуть или повернуть или вообще изменить.
(например он просто вписан, без возможности что-либо с ним сделать).

0

Сообщение от Байт Преобразуйте ваш вложенный треугольник сдвигами и НЕУМЕНШАЮЩИМИ подобиями так, чтобы вершины его лежали на сторонах большого

Это всё, конечно, хорошо и правильно. Только не всегда. Вот, к примеру, такой случай. Что и куда сдвигать?

Миниатюры

 

2

Сообщение от кот Бегемот Только не всегда

Вопрос понял. Да. Нужно четко прописать все необходимые преобразования, доказать их допустимость и показать, что сумма сторон получаемого треугольника не меньше исходного. Цель - положить все вершины на стороны большого треугольника.
Вы правы. Подумать надоть...

0

Помню, в 9 классе, мы проходили теорему о выпуклой ломаной. Школа была сельская, но учитель у нас был хороший.
https://books.google.ru/books?... &q&f=false
Пусть ABC внутренний треугольник (или выпуклый многоугольник). Продлим одну из сторон AB до пересечения с внешним многоугольником в точках P со стороны точки A и Q со стороны точки B. P и Q разбивают многоугольник на две ломаные длины p и q. p+q равно периметру внешнего многоугольника. Обозначим PA+BQ=t. Теперь можно два раза применить теорему о ломаных:
BC+CB<t+q здесь q длина той ломаной из двух, которая содержит точку C, если ломаную замкнуть в многоугольник.
AB+t<p это второе неравенство.
Неравенства сложить.

2

Сообщение от palva BC+CB<t+q

Точно?

Добавлено через 12 минут

Сообщение от palva Помню, в 9 классе, мы проходили теорему о выпуклой ломаной

Сообщение от palva Пусть ABC внутренний треугольник (или выпуклый многоугольник). Продлим одну из сторон AB до пересечения с внешним многоугольником в точках P со стороны точки A и Q со стороны точки B. P и Q разбивают многоугольник на две ломаные длины p и q. p+q равно периметру внешнего многоугольника. Обозначим PA+BQ=t. Теперь можно два раза применить теорему о ломаных: BC+CB<t+q здесь q длина той ломаной из двух, которая содержит точку C, если ломаную замкнуть в многоугольник. AB+t<p это второе неравенство. Неравенства сложить.

Зачем нужна эта теорема и сложное доказательство, если дальше в том же учебнике следует доказанная Лемма, сразу решающая задачу:
Периметр выпуклого многоугольника меньше периметра всякого другого многоугольника, объемлющего первый

0

кот Бегемот, Какую формулировку вспомнил, такую и забил в Google. У меня Google books следующие страницы книги не показывает, а искать у себя книжку полностью -- где-то была -- лень.

0