Как найти координату Z по известным X и Y?

@shyub · Регистрация: 11.07.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Заданы координаты X, Y и Z вершин треугольника ABC, расположенного в пространстве. На плоскости треугольника лежит точка H, координаты которой X и Y известны. Как определить координату Z этой точки?

Как найти координату Z по известным X и Y?

На рисунке желтым цветом обозначен треугольник, серым - его проекция, красным - точка, а зелёным её проекция.
Желательно алгоритм должен иметь минимально возможное количество вычислений и без использования извлечения корня, т.к. в дальнейшем алгоритм планируется использовать в программе для вычисления нескольких сотен миллионов точек, а извлечение корня снижает быстродействие.

@murom2013 · 15.11.2017, 23:16

Векторы AH, BH и CH компланарны. Их смешанное произведение равно нулю. Никаких корней, все линейно.

@jogano · 15.11.2017, 23:19

Радикалы не нужны здесь. Но матрицы хоть можно умножать? А брать обратную?
Если есть встроенная операция взятия обратной матрицы (как в Матлабе, например), то
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_H=\bar{\left(z_B-z_A, z_C-z_A \right)} \cdot \begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A \\ y_B-y_A & y_C-y_A \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix}x_H\\ y_H\end{pmatrix}$

@shyub · 16.11.2017, 00:10 **[ТС]**

Сообщение от murom2013

Векторы AH, BH и CH компланарны. Их смешанное произведение равно нулю. Никаких корней, все линейно.

Спасибо. Если можно, то подробнее, типа: Hz=(Ax+Bx) и т.п.

Добавлено через 2 минуты
jogano, а горизонтальная черта - это корень квадратный из Zb - Za*Zc - Za ?

@oolegg · 16.11.2017, 00:14

Можно решить через уравнение плоскости.

@jogano · 16.11.2017, 00:15

Сообщение от shyub

а горизонтальная черта - это корень квадратный из Zb - Za*Zc - Za ?

Горизонтальная черта - это обозначение двумерного вектора (кого делает наша школа?), запятой отделены его координаты. А справа вектор-столбец (тоже двумерный).

@Excalibur921 · 16.11.2017, 19:21

Может если H в 2д задать через “деление отрезка в заданном соотношении” или “кривые безье 1 ст.( отрезок) “.
То можно найти Zh в 3д быстрей?
Название: ScreenShot01056.jpg
Просмотров: 202

Размер: 15.3 Кб

Название: ScreenShot01056.jpg
Просмотров: 202

Размер: 15.3 Кб

@shyub · 16.11.2017, 21:23 **[ТС]**

jogano попытался воспользоваться советом murom2013 (правда, пришлось вспоминать курс 10-го класса, а это было лет так более 40 назад). Получилось, но слишком много вычислений для каждой точки (нужен более быстрый алгоритм).
Воспользоваться вашим советом не смог. Просмотрел справочники по математике, но самое первое действие - умножение вектора на матрицу считается недопустимым ( матрицу на вектор умножать можно, а вектор на матрицу - нет). К стати, мой вопрос "а горизонтальная черта..." вполне справедлив, т.к. в моё время вектора обозначались верхней стрелкой. Не исключено, что не прав я...
Прошу, если это вам не сложно, проконсультировать. Среднюю часть - матрицу возвожу в -1 степень, умножаю на правую. Однако, куда "прикрутить" левую часть - ничего не получается...
Ваше замечание

Сообщение от jogano

(кого делает наша школа?)

хочу оспорить. Хорошая была советская школа, если я смог вспомнить через столько лет матрицы..., если учесть, что с тех пор ни разу ими пользоваться, как и многими другими разделами математики, не приходилось. Хотелось бы вспомнить один анегдот: "Внук спрашивает у деда: Дед, а тебе в жизни интеграл пригодился? Да, внучек. Один раз уронил ключи в туалет, пришлось проволоку согнуть интегралом..."

@jogano · 16.11.2017, 22:08

Сообщение от shyub

матрицу на вектор умножать можно, а вектор на матрицу - нет

Можно умножать две матрицы (а вектор - частный случай матрицы) по правилу "строка левой матрицы умножается на столбец правой матрицы, при этом количество элементов и в строке, и в столбце, должно быть одинаковым". Произведение i-й строки 1-й матрицы на j-й столбец 2-й матрицы даст элемент c_ij матрицы результата.
Т.е. можно:
- умножать вектор-строку на матрицу (с тем же количеством строк, что и элементов у вектора). Результат - вектор-строка.
или
- умножать матрицу на вектор-столбец (с тем же количеством элементов, что и столбцов в матрице). Результат - вектор-столбец.

Сообщение от shyub

т.к. в моё время вектора обозначались верхней стрелкой. Не исключено, что не прав я...

И так, и так можно.

Сообщение от shyub

Среднюю часть - матрицу возвожу в -1 степень,

Это условное обозначение. Находите обратную матрицу. Для матриц 2-го порядка это делается просто:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$
Умножить матрицу на число означает умножить каждый её элемент на это число.
Смотря где вы это считать будете, все эти сотни миллионов точек. Не руками же. Я не знаю, какие функции вам доступны. В Матлабе, например, есть функция inv(...), которая считает обратную матрицу - не нужно расписывать всё для пользователей бухгалтерского калькулятора. А у вас что есть?

@Nacuott · 17.11.2017, 01:16

Вот пример как решать задачу, имея понятие о векторах и решении системы двух уравнений с двумя неизвестными.
См.картинку.

@jogano · 17.11.2017, 01:28

Nacuott, можно, конечно, и так. Один раз. Но

Сообщение от shyub

алгоритм планируется использовать в программе для вычисления нескольких сотен миллионов точек

. В Маткаде? Без программирования?

@shyub · 17.11.2017, 07:45 **[ТС]**

Сообщение от jogano

В Маткаде? Без программирования?

Пишу конвертор STL формата в G-код для управления настольным фрезерным станком. Более подробно здесь: Посоветуйте алгоритм нахождения максимальной высоты Использую IDE Lazarus.

Всем участникам большое спасибо за помощь.
Воспользовался вариантом, предложенным Nacuott.
Тестовая программа получилась вот так: PointZ.rar
Вот так выглядит код:

Delphi    
        
            
                
                
                
                
            
        
    Скопировано
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
procedure TForm1.PointHZ();
var
  Ax, Ay, Az: Single;
  Bx, By, Bz: Single;
  Cx, Cy, Cz: Single;
  Dx, Dy, Dz: Single;
  e, f: Single;
begin
  Ax:=M[0].X; Ay:=M[0].Y; Az:=M[0].Z;
  Bx:=M[1].X; By:=M[1].Y; Bz:=M[1].Z;
  Cx:=M[2].X; Cy:=M[2].Y; Cz:=M[2].Z;
  Dx:=M[3].X; Dy:=M[3].Y; Dz:=M[3].Z;
  Ax:=Ax-Bx; Ay:=Ay-By; Az:=Az-Bz;
  Cx:=Cx-Bx; Cy:=Cy-By; Cz:=Cz-Bz;
  f:=(Ax*(Dy-By)-Ay*(Dx-Bx))/(Ax*Cy-Ay*Cx);
  e:=(Dx-Cx*f-Bx)/Ax;
  Dz:=Az*e+Cz*f+Bz;
  M[4].Z:=Dz;
end;

Следующим этапом будет определение того же параметра, но для треугольников, расположенных на сферической поверхности.
Тему можно закрывать.

@Nacuott · 17.11.2017, 20:21

shyub , неплохо было бы выложить анимацию фрезеровки какой-либо поверхности, чтобы посмотреть визуально - что получается.

@Excalibur921 · 17.11.2017, 21:01

Сообщение от shyub

конвертор STL формата в G-код для управления настольным фрезерным станком

Может лучше поискать готовый? Не привязываться к STL в G-код т.к. конвертировать 3д модель можно в разные.
Неужели нет кучи готовых САПР создающих G-код?

По первой ссылке в гугле “алгоритм G кода из 3д модели”:

“для расчета траектории попытаться освоить MasterCAM, SolidCAM, PowerMill, EdgeCAM или что-то подобное.”

“Арткаме задаю обработку по ним и G-код. Арткам вполне достойная программа с множеством возможностей и ее большой плюс- простота в освоении,”

Вон некоторые даже берут буфер глубины 3д модели вместо интерполяции Z точки внутри треугольника.
Смысл делать велик с нуля?

@shyub · 18.11.2017, 11:37 **[ТС]**

Сообщение от Nacuott

неплохо было бы выложить анимацию фрезеровки какой-либо поверхности, чтобы посмотреть визуально - что получается

Пока нечего выкладывать, т.к. пока в стадии разработки.

Сообщение от Excalibur921

Может лучше поискать готовый? Не привязываться к STL в G-код т.к. конвертировать 3д модель можно в разные.

Готовый - не интересно, да и тем более более-менее нормальные САПР платные. Что касается STL, то это только один из планируемых форматов.

Сообщение от Excalibur921

Вон некоторые даже берут буфер глубины 3д модели вместо интерполяции Z точки внутри треугольника.

Пытаюсь, но пока ничего хорошего получить не удалось.

@Excalibur921 · 18.11.2017, 12:38

Сообщение от shyub

Готовый - не интересно

Вот это единственная и главная причина. Все остальное выдумано.

Сообщение от shyub

Пытаюсь, но пока ничего хорошего получить не удалось.

В гугле набрал “разрядность буфера глубины opengl”
http://www.gamedev.ru/code/terms/ZBuffer
Ого 24 бита аппаратный…вот вам и интерполятор миллионов треугольников в реальном времени…причем готовый.
Боюсь существует ли в мире станок который потянет 24 бита на вашу глубину профиля картины…

@shyub · 18.11.2017, 19:54 **[ТС]**

Кому интересна эта тема, прошу перейти на ветку Посоветуйте алгоритм нахождения максимальной высоты.
Ущё раз спасибо за оказанную помощь.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .	Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .	Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .
Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .	Мультитенантная архитектура со SpringBoot и PostgreSQL ArchitectMsa 29.03.2025 SaaS-приложения редко обслуживают одного клиента и обычно они должны поддерживать множество организаций, каждая из которых работает в своём изолированном пространстве. Мультитенантная архитектура. . .	std::span в C++: Производительность и лучшие практики NullReferenced 28.03.2025 std::span — одно из самых недооценённых нововведений стандарта C++20, которое радикально меняет подход к работе с непрерывными последовательностями данных. По сути, это невладеющее представление. . .	Многопоточность в C#: Threadpool UnmanagedCoder 28.03.2025 Пул потоков в C# — это коллекция заранее созданных и готовых к использованию потоков, которые находятся в распоряжении приложения. Вместо того чтобы создавать и уничтожать потоки для каждой небольшой. . .

@shyub 393 / 193 / 48 Регистрация: 11.07.2013 Сообщений: 1,198

	Как найти координату Z по известным X и Y? 15.11.2017, 23:00. Показов 15641. Ответов 16 Метки нет (Все метки) Заданы координаты X, Y и Z вершин треугольника ABC, расположенного в пространстве. На плоскости треугольника лежит точка H, координаты которой X и Y известны. Как определить координату Z этой точки? На рисунке желтым цветом обозначен треугольник, серым - его проекция, красным - точка, а зелёным её проекция. Желательно алгоритм должен иметь минимально возможное количество вычислений и без использования извлечения корня, т.к. в дальнейшем алгоритм планируется использовать в программе для вычисления нескольких сотен миллионов точек, а извлечение корня снижает быстродействие. 0

@murom2013 386 / 180 / 42 Регистрация: 20.02.2013 Сообщений: 470
	15.11.2017, 23:16
	Векторы AH, BH и CH компланарны. Их смешанное произведение равно нулю. Никаких корней, все линейно. 2

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	15.11.2017, 23:19
	Радикалы не нужны здесь. Но матрицы хоть можно умножать? А брать обратную? Если есть встроенная операция взятия обратной матрицы (как в Матлабе, например), то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_H=\bar{\left(z_B-z_A, z_C-z_A \right)} \cdot \begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A \\ y_B-y_A & y_C-y_A \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix}x_H\\ y_H\end{pmatrix}$ 2

@shyub 393 / 193 / 48 Регистрация: 11.07.2013 Сообщений: 1,198
	16.11.2017, 00:10 [ТС]
	Сообщение от murom2013 Векторы AH, BH и CH компланарны. Их смешанное произведение равно нулю. Никаких корней, все линейно. Спасибо. Если можно, то подробнее, типа: Hz=(Ax+Bx) и т.п. Добавлено через 2 минуты jogano, а горизонтальная черта - это корень квадратный из Zb - Za*Zc - Za ? 0

@oolegg 28 / 26 / 3 Регистрация: 10.07.2014 Сообщений: 687
	16.11.2017, 00:14
	Можно решить через уравнение плоскости. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	16.11.2017, 00:15
	Сообщение от shyub а горизонтальная черта - это корень квадратный из Zb - Za*Zc - Za ? Горизонтальная черта - это обозначение двумерного вектора (кого делает наша школа?), запятой отделены его координаты. А справа вектор-столбец (тоже двумерный). 1

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	16.11.2017, 19:21
	Может если H в 2д задать через “деление отрезка в заданном соотношении” или “кривые безье 1 ст.( отрезок) “. То можно найти Zh в 3д быстрей? 0

@shyub 393 / 193 / 48 Регистрация: 11.07.2013 Сообщений: 1,198
	16.11.2017, 21:23 [ТС]
	jogano попытался воспользоваться советом murom2013 (правда, пришлось вспоминать курс 10-го класса, а это было лет так более 40 назад). Получилось, но слишком много вычислений для каждой точки (нужен более быстрый алгоритм). Воспользоваться вашим советом не смог. Просмотрел справочники по математике, но самое первое действие - умножение вектора на матрицу считается недопустимым ( матрицу на вектор умножать можно, а вектор на матрицу - нет). К стати, мой вопрос "а горизонтальная черта..." вполне справедлив, т.к. в моё время вектора обозначались верхней стрелкой. Не исключено, что не прав я... Прошу, если это вам не сложно, проконсультировать. Среднюю часть - матрицу возвожу в -1 степень, умножаю на правую. Однако, куда "прикрутить" левую часть - ничего не получается... Ваше замечание Сообщение от jogano (кого делает наша школа?) хочу оспорить. Хорошая была советская школа, если я смог вспомнить через столько лет матрицы..., если учесть, что с тех пор ни разу ими пользоваться, как и многими другими разделами математики, не приходилось. Хотелось бы вспомнить один анегдот: "Внук спрашивает у деда: Дед, а тебе в жизни интеграл пригодился? Да, внучек. Один раз уронил ключи в туалет, пришлось проволоку согнуть интегралом..." 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	16.11.2017, 22:08
	Сообщение от shyub матрицу на вектор умножать можно, а вектор на матрицу - нет Можно умножать две матрицы (а вектор - частный случай матрицы) по правилу "строка левой матрицы умножается на столбец правой матрицы, при этом количество элементов и в строке, и в столбце, должно быть одинаковым". Произведение i-й строки 1-й матрицы на j-й столбец 2-й матрицы даст элемент c_ij матрицы результата. Т.е. можно: - умножать вектор-строку на матрицу (с тем же количеством строк, что и элементов у вектора). Результат - вектор-строка. или - умножать матрицу на вектор-столбец (с тем же количеством элементов, что и столбцов в матрице). Результат - вектор-столбец. Сообщение от shyub т.к. в моё время вектора обозначались верхней стрелкой. Не исключено, что не прав я... И так, и так можно. Сообщение от shyub Среднюю часть - матрицу возвожу в -1 степень, Это условное обозначение. Находите обратную матрицу. Для матриц 2-го порядка это делается просто: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$ Умножить матрицу на число означает умножить каждый её элемент на это число. Смотря где вы это считать будете, все эти сотни миллионов точек. Не руками же. Я не знаю, какие функции вам доступны. В Матлабе, например, есть функция inv(...), которая считает обратную матрицу - не нужно расписывать всё для пользователей бухгалтерского калькулятора. А у вас что есть? 1

@Nacuott 1820 / 1013 / 188 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,014 Записей в блоге: 12
	17.11.2017, 01:16
	Сообщение было отмечено shyub как решение Решение Вот пример как решать задачу, имея понятие о векторах и решении системы двух уравнений с двумя неизвестными. См.картинку. Миниатюры 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	17.11.2017, 01:28
	Nacuott, можно, конечно, и так. Один раз. Но Сообщение от shyub алгоритм планируется использовать в программе для вычисления нескольких сотен миллионов точек . В Маткаде? Без программирования? 0

@Nacuott 1820 / 1013 / 188 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,014 Записей в блоге: 12
	17.11.2017, 20:21
	shyub , неплохо было бы выложить анимацию фрезеровки какой-либо поверхности, чтобы посмотреть визуально - что получается. 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	17.11.2017, 21:01
	Сообщение от shyub конвертор STL формата в G-код для управления настольным фрезерным станком Может лучше поискать готовый? Не привязываться к STL в G-код т.к. конвертировать 3д модель можно в разные. Неужели нет кучи готовых САПР создающих G-код? По первой ссылке в гугле “алгоритм G кода из 3д модели”: “для расчета траектории попытаться освоить MasterCAM, SolidCAM, PowerMill, EdgeCAM или что-то подобное.” “Арткаме задаю обработку по ним и G-код. Арткам вполне достойная программа с множеством возможностей и ее большой плюс- простота в освоении,” Вон некоторые даже берут буфер глубины 3д модели вместо интерполяции Z точки внутри треугольника. Смысл делать велик с нуля? 0

@shyub 393 / 193 / 48 Регистрация: 11.07.2013 Сообщений: 1,198
	18.11.2017, 11:37 [ТС]
	Сообщение от Nacuott неплохо было бы выложить анимацию фрезеровки какой-либо поверхности, чтобы посмотреть визуально - что получается Пока нечего выкладывать, т.к. пока в стадии разработки. Сообщение от Excalibur921 Может лучше поискать готовый? Не привязываться к STL в G-код т.к. конвертировать 3д модель можно в разные. Готовый - не интересно, да и тем более более-менее нормальные САПР платные. Что касается STL, то это только один из планируемых форматов. Сообщение от Excalibur921 Вон некоторые даже берут буфер глубины 3д модели вместо интерполяции Z точки внутри треугольника. Пытаюсь, но пока ничего хорошего получить не удалось. 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	18.11.2017, 12:38
	Сообщение от shyub Готовый - не интересно Вот это единственная и главная причина. Все остальное выдумано. Сообщение от shyub Пытаюсь, но пока ничего хорошего получить не удалось. В гугле набрал “разрядность буфера глубины opengl” http://www.gamedev.ru/code/terms/ZBuffer Ого 24 бита аппаратный…вот вам и интерполятор миллионов треугольников в реальном времени…причем готовый. Боюсь существует ли в мире станок который потянет 24 бита на вашу глубину профиля картины… 1

@shyub 393 / 193 / 48 Регистрация: 11.07.2013 Сообщений: 1,198
	18.11.2017, 19:54 [ТС]
	Кому интересна эта тема, прошу перейти на ветку Посоветуйте алгоритм нахождения максимальной высоты. Ущё раз спасибо за оказанную помощь. 0

Как найти координату Z по известным X и Y?

Решение