Расстояние от точки до эллипса 2д

Даны 4 точки на плоскости:
A-центр эллипса,
B -точка начала построения эллипса,
С- вершина.
D-точка от которой нужно найти расстояние до половины эллипса, может быть произвольно на плоскости.
Формулой создаю только верхнюю половину эллипса (t до Pi), как найти расстояние от точки до этого участка эллипса? Может приближенные формулы?
Параметрическое уравнение эллипса+матрица поворота в 2д+координаты точки A:
Curve[
x(A)+(distanceAB*cos(t))*cos(Alfa)-(distanceAC*sin(t))*sin(Alfa),
y(A)+(distanceAB*cos(t))*sin(Alfa)+(dist anceAC*sin(t))*cos(Alfa),
t,
0,
Pi]

Эллипс это сжатая окружность, может как то растянуть координатную систему обратно где эллипс будет окружность тогда L=(длинна AD)-(R окружности)
Или если там только страшные уравнения 4 степени, то может есть кривые похожие на половинку Эллипса но где легко будет найти расстояние от точки до такой кривой? Парабола или Безье ? Кутмул ром? Думал проще сжатой окружности не будет… Этот расчет часть численного решателя, если еще и тут численно искать это будет абзац =).

Вот идея как сделать:
1)Найти коэф. анаморфирования: A0=(AB/AC)
2)повернуть D на -Alfa чтобы анаморфирование эллипса было всегда только по Y.
3)Найти новые координаты y(D) когда эллипс станет окружность
y(D)*A0
4)Находим угол Beta этого нового отрезка AD вокруг A
5)находим точку E как пересечение отрезка AD и окружности которая была эллипс.
Взяв просто угол Beta и радиус AB
x(E)=x(A)+cos(Beta)*AB
y(E)=y(A)+sin(Beta)*AB
6)Анаморфируем E и D обратно
y(D)/A0
y(E)/A0
7)находим DE. Это и будет расстояние от точки D до эллипса или нет?
Проблема положения D в другой полуплоскости от прямой AB наверно будет просто штраф..
как расстояние от D до прямой AB т.к. там нет эллипса.

Может можно проще? Или грубые формулы какие-то… просто это часть расчета целевой для численного решателя, хотелось бы аналитическую формулу.

0

АС и АВ уже посчитали?
а угол atan2(D_Y-A_Y,D_X-A_X)-alpha ?

0

Нужные для расчета углы можно найти как угодно, дело не в том…что то я читаю другие форумы и этот метод не будет работать =(.

Остается аппроксимация эллипса ломанной или другой метод? Хотелось бы мелкую простую формулу.

0

Решение на маткаде

1

Спасибо, но это численный метод. Мне нужен аналитический т.к. :
Или как наверно называют математики комбинаторный взрыв.

Наверно нужно только аналитическое решение т.к. это будет давать баллы для целевой функции численного решателя. На разных форумах получается решают только численно.
Но может если расчет разобрать \ упростить и собрать в единый алгоритм может быть компактно?
Вот интересное решение выглядит не очень большим. Почему то все бояться 4 степени. Может его можно сильно упростить убрав кучу промежуточных шагов расчета?
http://pmpu.ru/vf4/optimiz/dis... nij/vspom1
И вывести единую формулу?

0

ну посчитали?

0

Можно так.

Миниатюры

 

0

Зачем вам конкретные числа? Задача вывести формулу а не получить ответ для только этого случая.
Любые параметры эллипса с разным наклоном отрезка AB.
Ну посчитал и что с этого? Или это какой-то хитрый намек на как легко и просто найти расстояние от любой точки до эллипса без уравнений 4 степени и огромных полиномов?

Справочник по математике Корн Стр 73
“Касательная и нормаль к эллипсу в любой его точке делят пополам углы между прямыми, соединяющими эту точку с фокусами (фокальное свойство эллипса); аналогичным свойством обладает гипербола.”
И как этот намек для геометров помогает легко и просто найти нормаль из точки вне эллипса?

0

Ничерта не понятно =). Это точно не численный? Вход должен быть только координаты 4 точек, выход расстояние до эллипса. И любому эллипсу будет работать?

0

Excalibur921 , каков привет-таков ответ.
Вы petruchodd №2 - не можете четко сформулировать задачу.
Вершина эллипса - это что? В какой книге написано, что у эллипса есть вершины?
И почему Вы решили, что двумя точками и центром эллипс определяется однозначно (если он не задан и нужно найти уравнение эллипса, о чем нужно догадываться). Короче -каша!

0

Наивысшая точка от прямой AB в первом посте обозначена С.
Тремя точками определяется однозначно, в первом посте вся его формула. Это математики выдумали 10 способов его задания… а тут все точно и понятно.
Это опять математики выдумали такой неудобный метод. Например у меня только точки есть по которым нужно построить эллипс, а вывод формулы это видимо требования расчета для нахождения расстояния от D до эллипса и тоже самое для вывода уравнения 4 степени. Понятия не имел что это вообще надо, я взял как есть у меня только 4 точки.

Видимо единственный универсальный способ это выводить 4 степени и решать Феррари или другим по примеру.

0

Excalibur921
Если известны для эллипса:
- длина одной из полуосей
-координаты центра эллипса
- координаты одной точки, принадлежащей эллипсу,
то уравнение эллипса записывается однозначно.
Если уравнение эллипса записать после этого в параметрическом виде, то задача сводится к решению тригонометрического уравнения (см.мой пост) - если в декартовых, то получается нехорошее уравнение (но в матпакете решается)

Добавлено через 15 часов 48 минут
И еще.Задачу можно свести к нахождению экстремума (расстояния) функции от одной переменной, что, в свою очередь,
сводится к решению тригонометрического уравнения относительно tang(t) четвертой степени.Оказывается без решения алгебраического уравнения четвертой степени никак не обойтись.

0

Что то мне подсказывает что символьная форма, еще и тригонометрия, еще и 4 степени загонит любой мат пакет =).

Расчет 1)
Уравнение 4 степени сошлось с ответом:
http://pmpu.ru/vf4/optimiz/dis... nij/vspom1


Расчет 2)
Теорема 2. Квадрат расстояния до эллипса
http://pmpu.ru/vf4/algebra2/op... _плоскости
Выглядит обманчиво более компактно, не знаю как его собрать. Наверно компактней расчета 1 не будет.
Весь расчет я так понял дает только уравнение 4 степени.

1)В GeoGebra каким то образом находит странную касательную от точки к эллипсу 0_0, но отказывается искать расстоянии от точки к эллипсу. Расстояние между касательной и точкой и есть расстояние до эллипса но как его искать?


2)Может этот метод сработает? Только непонятно что куда подставлять все свалено в кучу. Сводиться к 4 степени. Кто может навести порядок тут? =)

0

Всё сводится к той же 4-й степени, автор опрометчиво заявляет "которое уже можно решить без численных методов". Неужели?
Автор сначала записывает уравнение касательной к кривой, заданной неявно F(x,y)=0, потом меняет коэффициенты в касательной вида таким образом и получает уравнение нормали к той же кривой в той же точке . Раскрывает скобки, упрощая.
Затем учитывает связь и (точка же лежит на эллипсе), и в результате получает уравнение нормали к эллипсу через неизвестную величину . А х, y - это текущие координаты точек нормали, вместо них нужно подставлять вашу точку вне эллипса, от которой ищется расстояние - нормаль через неё проходит.

0

Вот решение с помощью нахождения экстремума функции. См.картинку.

Миниатюры

 

1

Тоже 4 степень. А если размеры эллипса поменяются? То все формулы нужны другие? Find численный решатель? Т.е. использует типа Ньютона или Золотого сечения и т.п. для поиска экстремума?

Добавлено через 5 минут
Не хочет считать. Странная ошибка null.
Вложение 729494
Вообще я не понимаю почему такие сложности найти расстояние до сплюснутой окружности…
Т.е если этот расчет будет пахать то даст только уравнение прямой от D до точки на эллипсе и снова численно нужно будет искать длинну вектора от D до эллипса? Так сказали бы…неправильные формулы.

Добавлено через 1 час 21 минуту
А если получить эллиптическую систему координат\ криволинейную для текущего эллипса? Тогда перевести точку из декартовой в эту спец систему координат по идее должно быть легко найти координаты точки где будет нормаль из D к эллипсу? Или какая то криволинейная система координат? Для чего ее придумали? Может именно для таких случаев упрощения расчетов. И в итоге может быть будет пару строчек вообще без уравнений.

0

Если Вы составите уравнение своей кривой, то наверное можно решить и по школьному.
http://ege4.me/content/задание-14-5

0

Только в случае эллипса задача сводится к решению алгебраического уравнения четвертой степени

0

Не работают формулы перевода из декартовой в эллиптическую из книги в 2д и 3д когда z=0 все двигают точку неправильно. Может опечатка? Т.е. меняю v,u в формуле получаю x^2 y^2 точки… это не работает.
Вот эти не работают.
http://stu.scask.ru/book_otob.php?id=42
x^2=((u+a^2)(v+a^2))/(a^2-b^2)
y^2=((u+b^2)(v+b^2))/(b^2-a^2)

Идея в общем такая:
Предположение что при движении D по хорде касательная от D к эллипсу это постоянная точка на эллипсе.
Значит найти u данного эллипса, 1 неизвестная
u=(-a^4+a^2*x^2-b^2*x^2)/a^2
Найти v точки D в элиптич. Системе.
Найти координаты точки E на эллипсе зная u,v.
Переводим u,v точки E в декартовую и находим расстояния до D.

В разных источниках так и не найдена эта странная касательная к эллипсу прям магия…
Да и стал бы человек тут брать сложную длинную формулу при разных заданиях эллипса
http://pmpu.ru/vf4/algebra2/op... _плоскости
если бы все решалось в проще?

Может это не касательная называется правильно? Т.к. обычная касательная (красные):
Причем GeoGebra провидит их только к конике(фигура слева). А если задать параметрически эллипс (фигура справа) то проводит зеленую касательную 0_0.
Зеленая это тоже называют касательная?

Если принять a=1, b= от 0.3 до 1, найти угол отрезка AD относительно AB то можно ввести поправочные функции f(Alfa, b) которые будут правильно влиять на t для формулы эллипса и сразу давать точку на эллипсе ближайшую к D при разных Alfa и b.

0

Зеленая-это касательная к той точке эллипса, расстояние которой до точки В минимальное - оно и называется расстоянием точки В до эллипса.

0