Точка пересечения треугольника и окружности

@_Vertigo_ · Регистрация: 07.09.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый вечер. Есть следующая задача: дана окружность, дан треугольник, необходимо найти точку пересечения между треугольником и окружностью. Все данные случайны.
Есть следующий рабочий вариант решения данной задачи: рассматриваем отдельно каждую сторону треугольника и ищем возможную точку пересечения, решая систему:
x^2 + y^2 = r^2
y = kx + b

Такой подход рабочий.
Вопрос заключается в следующем: есть ли другие способы решения данной задачи, более компактные?

@jogano · 23.06.2015, 22:58

Всё равно квадратное уравнение придётся решать.
Пусть есть треугольник АВС (заданный координатами вершин), центр окружности О с радиус окружности R. Нужно перебрать все три пары вершин треугольника и для каждой пары решить квадратное уравнение относительно параметра t , где точка пересечения, например, отрезка АВ выражается как t*A+(1-t)*B
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> t=\frac{\left(\bar{AB};\bar{OB} \right) \pm \sqrt{\left(\bar{AB};\bar{OB} \right)^2-\left|\bar{AB} \right|^2\left(\left|\bar{OB} \right|^2-R^2 \right)}}{\left|\bar{AB} \right|^2}$
Нужно брать только значения t от 0 до 1. Если получатся t вне этого диапазона, значит, с окружностью пересекается продолжение стороны треугольника, а не отрезок АВ. Если радикал не извлекается, то даже прямая, на которой лежит сторона, не пересекает окружность.
Всего может быть до 6 точек пересечения треугольника и окружности.
Вот числовой пример.
А(7;17), В(12;9), С(-1;-3), О(7;4), R=6
1) Рассматриваем сторону АВ.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{AB}\left(5;-8 \right), \: \bar{OB}\left(5;5 \right), \: \left(\bar{AB},\bar{OB} \right)=25-40=-15 \\\left|\bar{AB} \right|^2=25+64=89, \: \left|OB \right|^2=50 \\t=\frac{-15 \pm \sqrt{225-89\left(50-36 \right)}}{89}$
Радикал не извлекается, значит, вся прямая АВ не пересекает окружность.
2) Сторона АС
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> \bar{AC}\left(-8;-20 \right), \: \bar{OC}\left(-8;-7 \right), \: \left(\bar{AC},\bar{OC} \right)=204 \\\left|\bar{AC} \right|^2=64+400=464, \: \left|OC \right|^2=64+49=113 \\t=\frac{204 \pm \sqrt{41616-464\left(113-36 \right)}}{464} \in \left{ 0,2743; \: 0,605\right}$
Оба значения t лежат от 0 до 1, значит (как видно и по рисунку) есть две точки пересечения, которые определяются по формуле t*A+(1-t)C. Это (1,19; 2,49) и (3,84; 9,10)
Пару В и С я уже не проверяю. Тоже должно быть две точки.

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 19:28

Можете показать для пары B C, и как выводиться эта формула?

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 19:37

Добрый вечер, задача такая дан треугольник с заданными вершинами и окружность. Все данные случайны. Необходимо определить есть ли точки пересечения между треугольником и окружностью.
Нашел ответ на похожую тему, хотелось бы сделать по этой формуле

Точка пересечения треугольника и окружности

, но не понимаю откуда она берется, + в ответах на ту тему не разобран случай с B и C.

Комментарий модератора

Правила форума, пункт 5.5. Запрещено размещать тему в нескольких подразделах одного раздела одновременно (кросспостинг), а также дублировать тему в одном разделе. Кросспостинг абсолютно запрещен в случае размещения темы в разделах фриланса (разделы фриланса в этом случае являются приоритетными).

@mihailm · 22.11.2023, 20:13

Сообщение от Alexandr_vag

Можете показать для пары B C, и как выводиться эта формула?

чего?

@mathmichel · 22.11.2023, 20:17

Сообщение от Alexandr_vag

но не понимаю откуда она берется

Ясно, что точки А и В - точки, ближайшие к центру окружности. Еще понятно, почему два корня, это связано с двумя случаями, когда окружность пересекает сторону АВ...
Для Вашего случая достаточно определить знак подкоренного выражения. Если он больше или равен нулю, то есть пересечение. В остальных случаях нет пересечения. И ещё для t>1 или t<0 пересечение есть только с продолжением стороны АВ.

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 20:45

A, B, C - вершины треугольника

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 20:47

Сообщение от jogano

Пару В и С я уже не проверяю.

векторное произведение чего брать?

@mathmichel · 22.11.2023, 20:59

Сообщение от Alexandr_vag

векторное произведение чего брать?

Чего именно?
А где оно - векторное произведение?

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 21:09

Сообщение от mathmichel

А где оно - векторное произведение?

Извиняюсь, скалярное.
(AB, OB) для точек B и C что там должно быть?

@mihailm · 22.11.2023, 21:21

Alexandr_vag, сможете буквы A и B заменить на B и C?

@mathmichel · 22.11.2023, 21:27

Сообщение от Alexandr_vag

A, B, C - вершины треугольника

Ну и что?

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 21:28

Сообщение от mihailm

сможете буквы A и B заменить на B и C?

Имеете ввиду что получиться (BC, OC)?

@mihailm · 22.11.2023, 21:33

я имею в виду заменить А на В а В на С.
С русским языком проблем нет? Буквы знаете?

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 21:34

Сообщение от mihailm

я имею в виду заменить А на В а В на С.

Спасибо за помощь, ошибка в другом была.

@VSI · 22.11.2023, 22:26

Alexandr_vag, продолжайте решать свою задачу в этой теме...

Комментарий модератора

Правила форума, пункт 5.5. Запрещено размещать тему в нескольких подразделах одного раздела одновременно (кросспостинг), а также дублировать тему в одном разделе. Кросспостинг абсолютно запрещен в случае размещения темы в разделах фриланса (разделы фриланса в этом случае являются приоритетными).

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/	WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .	Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и источниками (напряжения, ЭДС и тока). Найти токи и напряжения во всех элементах. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и. . .

@_Vertigo_ 14 / 14 / 6 Регистрация: 07.09.2013 Сообщений: 159

	Точка пересечения треугольника и окружности 23.06.2015, 22:05. Показов 8626. Ответов 15 Метки нет (Все метки) Добрый вечер. Есть следующая задача: дана окружность, дан треугольник, необходимо найти точку пересечения между треугольником и окружностью. Все данные случайны. Есть следующий рабочий вариант решения данной задачи: рассматриваем отдельно каждую сторону треугольника и ищем возможную точку пересечения, решая систему: x^2 + y^2 = r^2 y = kx + b Такой подход рабочий. Вопрос заключается в следующем: есть ли другие способы решения данной задачи, более компактные? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.06.2015, 22:58
	Всё равно квадратное уравнение придётся решать. Пусть есть треугольник АВС (заданный координатами вершин), центр окружности О с радиус окружности R. Нужно перебрать все три пары вершин треугольника и для каждой пары решить квадратное уравнение относительно параметра t , где точка пересечения, например, отрезка АВ выражается как tA+(1-t)B $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> t=\frac{\left(\bar{AB};\bar{OB} \right) \pm \sqrt{\left(\bar{AB};\bar{OB} \right)^2-\left\|\bar{AB} \right\|^2\left(\left\|\bar{OB} \right\|^2-R^2 \right)}}{\left\|\bar{AB} \right\|^2}$ Нужно брать только значения t от 0 до 1. Если получатся t вне этого диапазона, значит, с окружностью пересекается продолжение стороны треугольника, а не отрезок АВ. Если радикал не извлекается, то даже прямая, на которой лежит сторона, не пересекает окружность. Всего может быть до 6 точек пересечения треугольника и окружности. Вот числовой пример. А(7;17), В(12;9), С(-1;-3), О(7;4), R=6 1) Рассматриваем сторону АВ. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{AB}\left(5;-8 \right), \: \bar{OB}\left(5;5 \right), \: \left(\bar{AB},\bar{OB} \right)=25-40=-15 \\\left\|\bar{AB} \right\|^2=25+64=89, \: \left\|OB \right\|^2=50 \\t=\frac{-15 \pm \sqrt{225-89\left(50-36 \right)}}{89}$ Радикал не извлекается, значит, вся прямая АВ не пересекает окружность. 2) Сторона АС $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> \bar{AC}\left(-8;-20 \right), \: \bar{OC}\left(-8;-7 \right), \: \left(\bar{AC},\bar{OC} \right)=204 \\\left\|\bar{AC} \right\|^2=64+400=464, \: \left\|OC \right\|^2=64+49=113 \\t=\frac{204 \pm \sqrt{41616-464\left(113-36 \right)}}{464} \in \left{ 0,2743; \: 0,605\right}$ Оба значения t лежат от 0 до 1, значит (как видно и по рисунку) есть две точки пересечения, которые определяются по формуле t*A+(1-t)C. Это (1,19; 2,49) и (3,84; 9,10) Пару В и С я уже не проверяю. Тоже должно быть две точки. 1

@Alexandr_vag 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.11.2023 Сообщений: 9
	22.11.2023, 19:28
	Можете показать для пары B C, и как выводиться эта формула? 0

@Alexandr_vag 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.11.2023 Сообщений: 9
	22.11.2023, 20:45
	A, B, C - вершины треугольника 0

@mihailm 1717 / 1155 / 302 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,606
	22.11.2023, 21:21
	Alexandr_vag, сможете буквы A и B заменить на B и C? 0

@mihailm 1717 / 1155 / 302 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,606
	22.11.2023, 21:33
	я имею в виду заменить А на В а В на С. С русским языком проблем нет? Буквы знаете? 0