Точка пересечения треугольника и окружности

@_Vertigo_ · Регистрация: 07.09.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый вечер. Есть следующая задача: дана окружность, дан треугольник, необходимо найти точку пересечения между треугольником и окружностью. Все данные случайны.
Есть следующий рабочий вариант решения данной задачи: рассматриваем отдельно каждую сторону треугольника и ищем возможную точку пересечения, решая систему:
x^2 + y^2 = r^2
y = kx + b

Такой подход рабочий.
Вопрос заключается в следующем: есть ли другие способы решения данной задачи, более компактные?

@jogano · 23.06.2015, 22:58

Всё равно квадратное уравнение придётся решать.
Пусть есть треугольник АВС (заданный координатами вершин), центр окружности О с радиус окружности R. Нужно перебрать все три пары вершин треугольника и для каждой пары решить квадратное уравнение относительно параметра t , где точка пересечения, например, отрезка АВ выражается как t*A+(1-t)*B
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> t=\frac{\left(\bar{AB};\bar{OB} \right) \pm \sqrt{\left(\bar{AB};\bar{OB} \right)^2-\left|\bar{AB} \right|^2\left(\left|\bar{OB} \right|^2-R^2 \right)}}{\left|\bar{AB} \right|^2}$
Нужно брать только значения t от 0 до 1. Если получатся t вне этого диапазона, значит, с окружностью пересекается продолжение стороны треугольника, а не отрезок АВ. Если радикал не извлекается, то даже прямая, на которой лежит сторона, не пересекает окружность.
Всего может быть до 6 точек пересечения треугольника и окружности.
Вот числовой пример.
А(7;17), В(12;9), С(-1;-3), О(7;4), R=6
1) Рассматриваем сторону АВ.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{AB}\left(5;-8 \right), \: \bar{OB}\left(5;5 \right), \: \left(\bar{AB},\bar{OB} \right)=25-40=-15 \\\left|\bar{AB} \right|^2=25+64=89, \: \left|OB \right|^2=50 \\t=\frac{-15 \pm \sqrt{225-89\left(50-36 \right)}}{89}$
Радикал не извлекается, значит, вся прямая АВ не пересекает окружность.
2) Сторона АС
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> \bar{AC}\left(-8;-20 \right), \: \bar{OC}\left(-8;-7 \right), \: \left(\bar{AC},\bar{OC} \right)=204 \\\left|\bar{AC} \right|^2=64+400=464, \: \left|OC \right|^2=64+49=113 \\t=\frac{204 \pm \sqrt{41616-464\left(113-36 \right)}}{464} \in \left{ 0,2743; \: 0,605\right}$
Оба значения t лежат от 0 до 1, значит (как видно и по рисунку) есть две точки пересечения, которые определяются по формуле t*A+(1-t)C. Это (1,19; 2,49) и (3,84; 9,10)
Пару В и С я уже не проверяю. Тоже должно быть две точки.

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 19:28

Можете показать для пары B C, и как выводиться эта формула?

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 19:37

Добрый вечер, задача такая дан треугольник с заданными вершинами и окружность. Все данные случайны. Необходимо определить есть ли точки пересечения между треугольником и окружностью.
Нашел ответ на похожую тему, хотелось бы сделать по этой формуле

Точка пересечения треугольника и окружности

, но не понимаю откуда она берется, + в ответах на ту тему не разобран случай с B и C.

Комментарий модератора

Правила форума, пункт 5.5. Запрещено размещать тему в нескольких подразделах одного раздела одновременно (кросспостинг), а также дублировать тему в одном разделе. Кросспостинг абсолютно запрещен в случае размещения темы в разделах фриланса (разделы фриланса в этом случае являются приоритетными).

@mihailm · 22.11.2023, 20:13

Сообщение от Alexandr_vag

Можете показать для пары B C, и как выводиться эта формула?

чего?

@mathmichel · 22.11.2023, 20:17

Сообщение от Alexandr_vag

но не понимаю откуда она берется

Ясно, что точки А и В - точки, ближайшие к центру окружности. Еще понятно, почему два корня, это связано с двумя случаями, когда окружность пересекает сторону АВ...
Для Вашего случая достаточно определить знак подкоренного выражения. Если он больше или равен нулю, то есть пересечение. В остальных случаях нет пересечения. И ещё для t>1 или t<0 пересечение есть только с продолжением стороны АВ.

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 20:45

A, B, C - вершины треугольника

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 20:47

Сообщение от jogano

Пару В и С я уже не проверяю.

векторное произведение чего брать?

@mathmichel · 22.11.2023, 20:59

Сообщение от Alexandr_vag

векторное произведение чего брать?

Чего именно?
А где оно - векторное произведение?

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 21:09

Сообщение от mathmichel

А где оно - векторное произведение?

Извиняюсь, скалярное.
(AB, OB) для точек B и C что там должно быть?

@mihailm · 22.11.2023, 21:21

Alexandr_vag, сможете буквы A и B заменить на B и C?

@mathmichel · 22.11.2023, 21:27

Сообщение от Alexandr_vag

A, B, C - вершины треугольника

Ну и что?

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 21:28

Сообщение от mihailm

сможете буквы A и B заменить на B и C?

Имеете ввиду что получиться (BC, OC)?

@mihailm · 22.11.2023, 21:33

я имею в виду заменить А на В а В на С.
С русским языком проблем нет? Буквы знаете?

@Alexandr_vag · 22.11.2023, 21:34

Сообщение от mihailm

я имею в виду заменить А на В а В на С.

Спасибо за помощь, ошибка в другом была.

@VSI · 22.11.2023, 22:26

Alexandr_vag, продолжайте решать свою задачу в этой теме...

Комментарий модератора

Правила форума, пункт 5.5. Запрещено размещать тему в нескольких подразделах одного раздела одновременно (кросспостинг), а также дублировать тему в одном разделе. Кросспостинг абсолютно запрещен в случае размещения темы в разделах фриланса (разделы фриланса в этом случае являются приоритетными).

@mihailm 1660 / 1101 / 292 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,368
	22.11.2023, 21:33	14
	я имею в виду заменить А на В а В на С. С русским языком проблем нет? Буквы знаете? 0

@_Vertigo_ 14 / 14 / 6 Регистрация: 07.09.2013 Сообщений: 159
		1
	Точка пересечения треугольника и окружности 23.06.2015, 22:05. Показов 7547. Ответов 15 Метки нет (Все метки) Добрый вечер. Есть следующая задача: дана окружность, дан треугольник, необходимо найти точку пересечения между треугольником и окружностью. Все данные случайны. Есть следующий рабочий вариант решения данной задачи: рассматриваем отдельно каждую сторону треугольника и ищем возможную точку пересечения, решая систему: x^2 + y^2 = r^2 y = kx + b Такой подход рабочий. Вопрос заключается в следующем: есть ли другие способы решения данной задачи, более компактные? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.06.2015, 22:58	2
	Всё равно квадратное уравнение придётся решать. Пусть есть треугольник АВС (заданный координатами вершин), центр окружности О с радиус окружности R. Нужно перебрать все три пары вершин треугольника и для каждой пары решить квадратное уравнение относительно параметра t , где точка пересечения, например, отрезка АВ выражается как tA+(1-t)B $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> t=\frac{\left(\bar{AB};\bar{OB} \right) \pm \sqrt{\left(\bar{AB};\bar{OB} \right)^2-\left\|\bar{AB} \right\|^2\left(\left\|\bar{OB} \right\|^2-R^2 \right)}}{\left\|\bar{AB} \right\|^2}$ Нужно брать только значения t от 0 до 1. Если получатся t вне этого диапазона, значит, с окружностью пересекается продолжение стороны треугольника, а не отрезок АВ. Если радикал не извлекается, то даже прямая, на которой лежит сторона, не пересекает окружность. Всего может быть до 6 точек пересечения треугольника и окружности. Вот числовой пример. А(7;17), В(12;9), С(-1;-3), О(7;4), R=6 1) Рассматриваем сторону АВ. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{AB}\left(5;-8 \right), \: \bar{OB}\left(5;5 \right), \: \left(\bar{AB},\bar{OB} \right)=25-40=-15 \\\left\|\bar{AB} \right\|^2=25+64=89, \: \left\|OB \right\|^2=50 \\t=\frac{-15 \pm \sqrt{225-89\left(50-36 \right)}}{89}$ Радикал не извлекается, значит, вся прямая АВ не пересекает окружность. 2) Сторона АС $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> \bar{AC}\left(-8;-20 \right), \: \bar{OC}\left(-8;-7 \right), \: \left(\bar{AC},\bar{OC} \right)=204 \\\left\|\bar{AC} \right\|^2=64+400=464, \: \left\|OC \right\|^2=64+49=113 \\t=\frac{204 \pm \sqrt{41616-464\left(113-36 \right)}}{464} \in \left{ 0,2743; \: 0,605\right}$ Оба значения t лежат от 0 до 1, значит (как видно и по рисунку) есть две точки пересечения, которые определяются по формуле t*A+(1-t)C. Это (1,19; 2,49) и (3,84; 9,10) Пару В и С я уже не проверяю. Тоже должно быть две точки. 1

@Alexandr_vag 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.11.2023 Сообщений: 9
	22.11.2023, 19:28	3
	Можете показать для пары B C, и как выводиться эта формула? 0

@mihailm 1660 / 1101 / 292 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,368
	22.11.2023, 20:13	5
	Сообщение от Alexandr_vag Можете показать для пары B C, и как выводиться эта формула? чего? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10778 / 7150 / 3887 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,351
	22.11.2023, 20:17	6
	Сообщение от Alexandr_vag но не понимаю откуда она берется Ясно, что точки А и В - точки, ближайшие к центру окружности. Еще понятно, почему два корня, это связано с двумя случаями, когда окружность пересекает сторону АВ... Для Вашего случая достаточно определить знак подкоренного выражения. Если он больше или равен нулю, то есть пересечение. В остальных случаях нет пересечения. И ещё для t>1 или t<0 пересечение есть только с продолжением стороны АВ. 0

@Alexandr_vag 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.11.2023 Сообщений: 9
	22.11.2023, 20:45	7
	A, B, C - вершины треугольника 0

@Alexandr_vag 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.11.2023 Сообщений: 9
	22.11.2023, 20:47	8
	Сообщение от jogano Пару В и С я уже не проверяю. векторное произведение чего брать? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10778 / 7150 / 3887 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,351
	22.11.2023, 20:59	9
	Сообщение от Alexandr_vag векторное произведение чего брать? Чего именно? А где оно - векторное произведение? 0

@Alexandr_vag 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.11.2023 Сообщений: 9
	22.11.2023, 21:09	10
	Сообщение от mathmichel А где оно - векторное произведение? Извиняюсь, скалярное. (AB, OB) для точек B и C что там должно быть? 0

@mihailm 1660 / 1101 / 292 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,368
	22.11.2023, 21:21	11
	Alexandr_vag, сможете буквы A и B заменить на B и C? 0

	22.11.2023, 22:26

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10778 / 7150 / 3887 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,351
	22.11.2023, 21:27	12
	Сообщение от Alexandr_vag A, B, C - вершины треугольника Ну и что? 0

@Alexandr_vag 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.11.2023 Сообщений: 9
	22.11.2023, 21:28	13
	Сообщение от mihailm сможете буквы A и B заменить на B и C? Имеете ввиду что получиться (BC, OC)? 0

@Alexandr_vag 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.11.2023 Сообщений: 9
	22.11.2023, 21:34	15
	Сообщение от mihailm я имею в виду заменить А на В а В на С. Спасибо за помощь, ошибка в другом была. 0