Построение новой системы координат в старой по уравнению осей

@Roman1232 · Регистрация: 27.05.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток уважаемы форумчане, не могу понять по какому принципу построить оси О₁Х₂ и О₁Y₂ в старой системе координат OXY,
имеется уравнение оси О₁Х₂:
x-y-3=0 (1)
уравнение оси О₁Y₂:
x+y-1=0 (2)
и центр пересечения осей О₁:
О₁(2,-1)
Надо решать эти уравнения как уравнения прямой? И в (1) уравнении выразить х через у, а в (2) уравнении у через х?

спасибо за внимание.

ЗЫ: школу окончил почти как 10 лет назад, и вот решил получить высшее образование

только знаний со школьных годов почти не осталось, приходится все по новой изучать=(

@jogano · 01.06.2015, 11:09

Из системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x-y-3=0 \\ x+y-1=0 \end{cases}$ точка О1 однозначно ищется, она отдельно явно не дана.

Сообщение от Roman1232

Надо решать эти уравнения как уравнения прямой?

Надо решить систему из двух уравнений. Хотя бы и методом подстановки:

Сообщение от Roman1232

И в (1) уравнении выразить х через у,

да

Сообщение от Roman1232

а в (2) уравнении у через х?

нет, в (2) подставить вместо х выражение через у, найденное из уравнения (1).
Можно сделать новую систему, в которой уравнения будут полусумма и полуразность данных уравнений:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x-2=0 \\ y+1=0 \end{cases}$
Вот и готовый ответ.
Как строить прямую: самое простое - по двум точкам. Т.е. берёте уравнение (1), вместо х подставляете значение 0, получаете у=-3, далее в том же уравнении вместо у подставляете 0, получаете х=3. Вот через две точки (0;-3) и (3;0) проводите прямую.

@Roman1232 · 01.06.2015, 14:09 **[ТС]**

Спасибо, собственно есть пособие в котором точка О1 находится через матрицу.
И там не совсем понятна матрица перехода из одного базиса в другой?
обязательно ли выбирать правый базис?
всегда ли матрица перехода равна транспонированной матрице?

и что если гипербола задана не каноническим уравнением, т.е. "-" стоит перед X а "+" перед Y, я так полагаю что при такой записи только меняется расположение действительной и мнимой полуосей гиперболы?

собственно как то так, спасибо за внимание.

@jogano · 01.06.2015, 15:00

Сообщение от Roman1232

И там не совсем понятна матрица перехода из одного базиса в другой?

Если векторы-столбцы старого и нового набора базисных векторов связаны как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1^T=Q^T E^T$ , то матрица перехода - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ , и тогда один и тот же вектор со старыми координатами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}^T$ в новом базисе будет иметь координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_1}^T=Q^{-1}\bar{x}^T$ . Хотя обычно матрицу перехода обозначают не Q, а С...
Почему так, а не иначе? Потому что вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\bar{x}^T$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1\bar{x_1}^T$ - это один и тот же вектор, имеющий в разных базисах разные координаты. Осталось приравнять эти два произведения и во втором произведении убрать множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1$ (выразить его через Е):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}E^T=\bar{x_1}E_1^T \: \Rightarrow \: \bar{x}E^T=\bar{x_1}Q^TE^T \: \Rightarrow \: \bar{x}=\bar{x_1}Q^T \: \Rightarrow \: \bar{x}\left( Q^T\right)^{-1}=\bar{x_1} \: \Rightarrow \: \bar{x_1}^T=Q^{-1}\bar{x}^T$
Нужно помнить правила взятия обратной матрицы и особенно транспонирования произведения матриц:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(AB \right)^T=B^TA^T \\\left(AB \right)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \\\left(A^T \right)^{-1}=\left( A^{-1}\right)^T \\$

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от Roman1232

обязательно ли выбирать правый базис?

Да. Так принято.

Сообщение от Roman1232

и что если гипербола задана не каноническим уравнением, т.е. "-" стоит перед X а "+" перед Y, я так полагаю что при такой записи только меняется расположение действительной и мнимой полуосей гиперболы?

Да, если справа сохраняется 1.

@Roman1232 · 01.06.2015, 15:42 **[ТС]**

То есть, если в моем случае базисный вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{i}_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ то базисный вектор j будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{j}_{1}=\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ и тогда переход к новому базису будет выглядеть так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 &2 \\ -2 &1 \end{bmatrix}$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{Q}^{-1}={Q}^{T}=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 &-2 \\ 2 &1 \end{bmatrix}$ это и будет правый базис?

Добавлено через 9 минут
записал не верно надо матрицы Q и Q^T местами поменять

@jogano · 01.06.2015, 15:46

Нет, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? Q=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? Q^{-1}=Q^T=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix}$

@Roman1232 · 01.06.2015, 15:58 **[ТС]**

и тогда коэффициенты линейной формы будут: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\frac{-6}{\sqrt{5}} , \frac{32}{\sqrt{5}} \right)$
а уравнение в системе OX1Y1: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{x}^{2}+{4y}^{2}-\frac{-6}{\sqrt{5}}x+\frac{32}{\sqrt{5}}y+27=0$ .

еще был вопрос, в пособии квадратичная форма записана без квадратов или так и нужно записывать?(котора 8x₁-2y₁)

Добавлено через 1 минуту
да я заметил что записал не верно.

@jogano · 01.06.2015, 15:59

Обратно. И медленно.

Набор старых базисных векторов в виде строки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\left(\bar{e_1},\bar{e_2},...,\bar{e_n} \right)$ . Сами векторы записаны в строку, а их координаты - это столбцы.
Тот же набор в виде столбца $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E^T=\left(\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ ... \\ \bar{e_n} \right)$ , а координаты - это строки.
Произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1^T=Q^TE^T$ - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\bar{e'_1}\\ \bar{e'_2}\\ ... \\ \bar{e'_n} \right)=Q^T\left(\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ ... \\ \bar{e_n} \right)$ . Справа от "=" умножается 1-я строка матрицы Q^T на единственных столбец векторов старого набора, и получается вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{e'_1}$ . Иными словами, первая строка матрицы Q^T - это коэффициенты при векторах старого набора, чтобы получить 1-й вектор нового набора. Коэффициенты, значит, это строки.
Матрицей перехода считается транспонированная к Q^T, т.е. матрица, где коэффициенты, выражающие новые векторы через старые - это столбцы.

Добавлено через 53 секунды
P.S. Это ответ на пост №5

@Roman1232 · 01.06.2015, 16:25 **[ТС]**

собственные числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda }_{1} =-1, и {\lambda }_{2}=4$

Добавлено через 4 минуты
я знаю что такое транспонирование матрицы и умножение матриц, просто не заметил что записал не верно.сори

Добавлено через 19 минут
Далее выделяю полные квадраты:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}+\frac{9}{5}+{4\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}-\frac{64}{5}+27=0$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}+{4\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}=-16 \mid :-16$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}{16}-\frac{{\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}{4}=1$

действительная полуось a=4, мнима b=2

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .	Пакет Context в Golang: Управление потоками и ресурсами golander 04.04.2025 Работа с горутинами в Go часто напоминает управление непослушными детьми - они разбегаются кто куда, делают что хотят и не всегда завершаются вовремя. К счастью, в Go 1. 7 появился пакет context,. . .
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10

	Построение новой системы координат в старой по уравнению осей 01.06.2015, 04:29. Показов 3561. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток уважаемы форумчане, не могу понять по какому принципу построить оси О₁Х₂ и О₁Y₂ в старой системе координат OXY, имеется уравнение оси О₁Х₂: x-y-3=0 (1) уравнение оси О₁Y₂: x+y-1=0 (2) и центр пересечения осей О₁: О₁(2,-1) Надо решать эти уравнения как уравнения прямой? И в (1) уравнении выразить х через у, а в (2) уравнении у через х? спасибо за внимание. ЗЫ: школу окончил почти как 10 лет назад, и вот решил получить высшее образование только знаний со школьных годов почти не осталось, приходится все по новой изучать=( 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.06.2015, 11:09
	Из системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x-y-3=0 \\ x+y-1=0 \end{cases}$ точка О1 однозначно ищется, она отдельно явно не дана. Сообщение от Roman1232 Надо решать эти уравнения как уравнения прямой? Надо решить систему из двух уравнений. Хотя бы и методом подстановки: Сообщение от Roman1232 И в (1) уравнении выразить х через у, да Сообщение от Roman1232 а в (2) уравнении у через х? нет, в (2) подставить вместо х выражение через у, найденное из уравнения (1). Можно сделать новую систему, в которой уравнения будут полусумма и полуразность данных уравнений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x-2=0 \\ y+1=0 \end{cases}$ Вот и готовый ответ. Как строить прямую: самое простое - по двум точкам. Т.е. берёте уравнение (1), вместо х подставляете значение 0, получаете у=-3, далее в том же уравнении вместо у подставляете 0, получаете х=3. Вот через две точки (0;-3) и (3;0) проводите прямую. 1

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10
	01.06.2015, 14:09 [ТС]
	Спасибо, собственно есть пособие в котором точка О1 находится через матрицу. И там не совсем понятна матрица перехода из одного базиса в другой? обязательно ли выбирать правый базис? всегда ли матрица перехода равна транспонированной матрице? и что если гипербола задана не каноническим уравнением, т.е. "-" стоит перед X а "+" перед Y, я так полагаю что при такой записи только меняется расположение действительной и мнимой полуосей гиперболы? собственно как то так, спасибо за внимание. Миниатюры 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.06.2015, 15:00
	Сообщение от Roman1232 И там не совсем понятна матрица перехода из одного базиса в другой? Если векторы-столбцы старого и нового набора базисных векторов связаны как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1^T=Q^T E^T$ , то матрица перехода - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ , и тогда один и тот же вектор со старыми координатами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}^T$ в новом базисе будет иметь координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_1}^T=Q^{-1}\bar{x}^T$ . Хотя обычно матрицу перехода обозначают не Q, а С... Почему так, а не иначе? Потому что вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\bar{x}^T$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1\bar{x_1}^T$ - это один и тот же вектор, имеющий в разных базисах разные координаты. Осталось приравнять эти два произведения и во втором произведении убрать множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1$ (выразить его через Е): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}E^T=\bar{x_1}E_1^T \: \Rightarrow \: \bar{x}E^T=\bar{x_1}Q^TE^T \: \Rightarrow \: \bar{x}=\bar{x_1}Q^T \: \Rightarrow \: \bar{x}\left( Q^T\right)^{-1}=\bar{x_1} \: \Rightarrow \: \bar{x_1}^T=Q^{-1}\bar{x}^T$ Нужно помнить правила взятия обратной матрицы и особенно транспонирования произведения матриц: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(AB \right)^T=B^TA^T \\\left(AB \right)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \\\left(A^T \right)^{-1}=\left( A^{-1}\right)^T \\$ Добавлено через 3 минуты Сообщение от Roman1232 обязательно ли выбирать правый базис? Да. Так принято. Сообщение от Roman1232 и что если гипербола задана не каноническим уравнением, т.е. "-" стоит перед X а "+" перед Y, я так полагаю что при такой записи только меняется расположение действительной и мнимой полуосей гиперболы? Да, если справа сохраняется 1. 1

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10
	01.06.2015, 15:42 [ТС]
	То есть, если в моем случае базисный вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{i}_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ то базисный вектор j будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{j}_{1}=\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ и тогда переход к новому базису будет выглядеть так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}<br /> 1 &2 \\ <br /> -2 &1 <br /> \end{bmatrix}$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{Q}^{-1}={Q}^{T}=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}<br /> 1 &-2 \\ <br /> 2 &1 <br /> \end{bmatrix}$ это и будет правый базис? Добавлено через 9 минут записал не верно надо матрицы Q и Q^T местами поменять 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.06.2015, 15:46
	Нет, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> Q=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> Q^{-1}=Q^T=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix}$ 1

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10
	01.06.2015, 15:58 [ТС]
	и тогда коэффициенты линейной формы будут: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\frac{-6}{\sqrt{5}} , \frac{32}{\sqrt{5}} \right)$ а уравнение в системе OX1Y1: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{x}^{2}+{4y}^{2}-\frac{-6}{\sqrt{5}}x+\frac{32}{\sqrt{5}}y+27=0$ . еще был вопрос, в пособии квадратичная форма записана без квадратов или так и нужно записывать?(котора 8x₁-2y₁) Добавлено через 1 минуту да я заметил что записал не верно. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.06.2015, 15:59
	Обратно. И медленно. Набор старых базисных векторов в виде строки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\left(\bar{e_1},\bar{e_2},...,\bar{e_n} \right)$ . Сами векторы записаны в строку, а их координаты - это столбцы. Тот же набор в виде столбца $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E^T=\left(\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ ... \\ \bar{e_n} \right)$ , а координаты - это строки. Произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1^T=Q^TE^T$ - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\bar{e'_1}\\ \bar{e'_2}\\ ... \\ \bar{e'_n} \right)=Q^T\left(\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ ... \\ \bar{e_n} \right)$ . Справа от "=" умножается 1-я строка матрицы Q^T на единственных столбец векторов старого набора, и получается вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{e'_1}$ . Иными словами, первая строка матрицы Q^T - это коэффициенты при векторах старого набора, чтобы получить 1-й вектор нового набора. Коэффициенты, значит, это строки. Матрицей перехода считается транспонированная к Q^T, т.е. матрица, где коэффициенты, выражающие новые векторы через старые - это столбцы. Добавлено через 53 секунды P.S. Это ответ на пост №5 1

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10
	01.06.2015, 16:25 [ТС]
	собственные числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda }_{1} =-1, и {\lambda }_{2}=4$ Добавлено через 4 минуты я знаю что такое транспонирование матрицы и умножение матриц, просто не заметил что записал не верно.сори Добавлено через 19 минут Далее выделяю полные квадраты: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}+\frac{9}{5}+{4\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}-\frac{64}{5}+27=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}+{4\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}=-16 \mid :-16$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}{16}-\frac{{\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}{4}=1$ действительная полуось a=4, мнима b=2 0