Построение новой системы координат в старой по уравнению осей

@Roman1232 · Регистрация: 27.05.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток уважаемы форумчане, не могу понять по какому принципу построить оси О₁Х₂ и О₁Y₂ в старой системе координат OXY,
имеется уравнение оси О₁Х₂:
x-y-3=0 (1)
уравнение оси О₁Y₂:
x+y-1=0 (2)
и центр пересечения осей О₁:
О₁(2,-1)
Надо решать эти уравнения как уравнения прямой? И в (1) уравнении выразить х через у, а в (2) уравнении у через х?

спасибо за внимание.

ЗЫ: школу окончил почти как 10 лет назад, и вот решил получить высшее образование

только знаний со школьных годов почти не осталось, приходится все по новой изучать=(

@jogano · 01.06.2015, 11:09

Из системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x-y-3=0 \\ x+y-1=0 \end{cases}$ точка О1 однозначно ищется, она отдельно явно не дана.

Сообщение от Roman1232

Надо решать эти уравнения как уравнения прямой?

Надо решить систему из двух уравнений. Хотя бы и методом подстановки:

Сообщение от Roman1232

И в (1) уравнении выразить х через у,

да

Сообщение от Roman1232

а в (2) уравнении у через х?

нет, в (2) подставить вместо х выражение через у, найденное из уравнения (1).
Можно сделать новую систему, в которой уравнения будут полусумма и полуразность данных уравнений:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x-2=0 \\ y+1=0 \end{cases}$
Вот и готовый ответ.
Как строить прямую: самое простое - по двум точкам. Т.е. берёте уравнение (1), вместо х подставляете значение 0, получаете у=-3, далее в том же уравнении вместо у подставляете 0, получаете х=3. Вот через две точки (0;-3) и (3;0) проводите прямую.

@Roman1232 · 01.06.2015, 14:09 **[ТС]**

Спасибо, собственно есть пособие в котором точка О1 находится через матрицу.
И там не совсем понятна матрица перехода из одного базиса в другой?
обязательно ли выбирать правый базис?
всегда ли матрица перехода равна транспонированной матрице?

и что если гипербола задана не каноническим уравнением, т.е. "-" стоит перед X а "+" перед Y, я так полагаю что при такой записи только меняется расположение действительной и мнимой полуосей гиперболы?

собственно как то так, спасибо за внимание.

@jogano · 01.06.2015, 15:00

Сообщение от Roman1232

И там не совсем понятна матрица перехода из одного базиса в другой?

Если векторы-столбцы старого и нового набора базисных векторов связаны как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1^T=Q^T E^T$ , то матрица перехода - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ , и тогда один и тот же вектор со старыми координатами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}^T$ в новом базисе будет иметь координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_1}^T=Q^{-1}\bar{x}^T$ . Хотя обычно матрицу перехода обозначают не Q, а С...
Почему так, а не иначе? Потому что вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\bar{x}^T$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1\bar{x_1}^T$ - это один и тот же вектор, имеющий в разных базисах разные координаты. Осталось приравнять эти два произведения и во втором произведении убрать множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1$ (выразить его через Е):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}E^T=\bar{x_1}E_1^T \: \Rightarrow \: \bar{x}E^T=\bar{x_1}Q^TE^T \: \Rightarrow \: \bar{x}=\bar{x_1}Q^T \: \Rightarrow \: \bar{x}\left( Q^T\right)^{-1}=\bar{x_1} \: \Rightarrow \: \bar{x_1}^T=Q^{-1}\bar{x}^T$
Нужно помнить правила взятия обратной матрицы и особенно транспонирования произведения матриц:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(AB \right)^T=B^TA^T \\\left(AB \right)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \\\left(A^T \right)^{-1}=\left( A^{-1}\right)^T \\$

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от Roman1232

обязательно ли выбирать правый базис?

Да. Так принято.

Сообщение от Roman1232

и что если гипербола задана не каноническим уравнением, т.е. "-" стоит перед X а "+" перед Y, я так полагаю что при такой записи только меняется расположение действительной и мнимой полуосей гиперболы?

Да, если справа сохраняется 1.

@Roman1232 · 01.06.2015, 15:42 **[ТС]**

То есть, если в моем случае базисный вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{i}_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ то базисный вектор j будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{j}_{1}=\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ и тогда переход к новому базису будет выглядеть так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 &2 \\ -2 &1 \end{bmatrix}$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{Q}^{-1}={Q}^{T}=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 &-2 \\ 2 &1 \end{bmatrix}$ это и будет правый базис?

Добавлено через 9 минут
записал не верно надо матрицы Q и Q^T местами поменять

@jogano · 01.06.2015, 15:46

Нет, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? Q=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? Q^{-1}=Q^T=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix}$

@Roman1232 · 01.06.2015, 15:58 **[ТС]**

и тогда коэффициенты линейной формы будут: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\frac{-6}{\sqrt{5}} , \frac{32}{\sqrt{5}} \right)$
а уравнение в системе OX1Y1: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{x}^{2}+{4y}^{2}-\frac{-6}{\sqrt{5}}x+\frac{32}{\sqrt{5}}y+27=0$ .

еще был вопрос, в пособии квадратичная форма записана без квадратов или так и нужно записывать?(котора 8x₁-2y₁)

Добавлено через 1 минуту
да я заметил что записал не верно.

@jogano · 01.06.2015, 15:59

Обратно. И медленно.

Набор старых базисных векторов в виде строки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\left(\bar{e_1},\bar{e_2},...,\bar{e_n} \right)$ . Сами векторы записаны в строку, а их координаты - это столбцы.
Тот же набор в виде столбца $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E^T=\left(\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ ... \\ \bar{e_n} \right)$ , а координаты - это строки.
Произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1^T=Q^TE^T$ - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\bar{e'_1}\\ \bar{e'_2}\\ ... \\ \bar{e'_n} \right)=Q^T\left(\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ ... \\ \bar{e_n} \right)$ . Справа от "=" умножается 1-я строка матрицы Q^T на единственных столбец векторов старого набора, и получается вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{e'_1}$ . Иными словами, первая строка матрицы Q^T - это коэффициенты при векторах старого набора, чтобы получить 1-й вектор нового набора. Коэффициенты, значит, это строки.
Матрицей перехода считается транспонированная к Q^T, т.е. матрица, где коэффициенты, выражающие новые векторы через старые - это столбцы.

Добавлено через 53 секунды
P.S. Это ответ на пост №5

@Roman1232 · 01.06.2015, 16:25 **[ТС]**

собственные числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda }_{1} =-1, и {\lambda }_{2}=4$

Добавлено через 4 минуты
я знаю что такое транспонирование матрицы и умножение матриц, просто не заметил что записал не верно.сори

Добавлено через 19 минут
Далее выделяю полные квадраты:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}+\frac{9}{5}+{4\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}-\frac{64}{5}+27=0$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}+{4\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}=-16 \mid :-16$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}{16}-\frac{{\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}{4}=1$

действительная полуось a=4, мнима b=2

Новые блоги и статьи
Книги и учебные ресурсы по C# InfoMaster 08.01.2025 Базовые учебники и руководства Одной из лучших книг для начинающих является "C# 10 и . NET 6 для начинающих" Эндрю Троелсена и Филиппа Джепикса . Книга последовательно раскрывает основные концепции. . .	Что такое NullReferenceException и как исправить? InfoMaster 08.01.2025 NullReferenceException - одно из самых распространенных исключений, с которым сталкиваются разработчики на C#. Это исключение возникает при попытке обратиться к членам объекта (методам, свойствам или. . .	Что такое Null Pointer Exception (NPE) и как это исправить? InfoMaster 08.01.2025 Null Pointer Exception (NPE) - это одно из самых распространенных исключений в Java, которое возникает при попытке использовать ссылку на объект, значение которой равно null. Это исключение относится. . .	Русский язык в консоли C++ InfoMaster 08.01.2025 При разработке программ на C++ одной из частых проблем, с которой сталкиваются русскоязычные программисты, является корректное отображение кириллицы в консольных приложениях. Эта проблема особенно. . .	Telegram бот на C# InfoMaster 08.01.2025 Разработка ботов для Telegram стала неотъемлемой частью современной экосистемы мессенджеров. C# предоставляет мощный и удобный инструментарий для создания разнообразных ботов, от простых. . .	Использование GraphQL в Go (Golang) InfoMaster 08.01.2025 Go (Golang) является одним из наиболее популярных языков программирования, используемых для создания высокопроизводительных серверных приложений. Его архитектурные особенности и встроенные. . .
Что лучше использовать при создании класса в Java: сеттеры или конструктор? Alexander-7 08.01.2025 Вопрос подробнее: На вопрос: «Когда одновременно создаются конструктор и сеттеры в классе – это нормально?» куратор уточнил: «Ваш класс может вообще не иметь сеттеров, а только конструктор и геттеры. . .	Как работать с GraphQL на TypeScript InfoMaster 08.01.2025 Введение в GraphQL и TypeScript В современной разработке веб-приложений GraphQL стал мощным инструментом для создания гибких и эффективных API. В сочетании с TypeScript, эта технология. . .	Счётчик на базе сумматоров + регистров и генератора сигналов согласования. Hrethgir 07.01.2025 Создан с целью проверки скорости асинхронной логики: ранее описанного сумматора и предополагаемых fast регистров. Регистры созданы на базе ранее описанного, предполагаемого fast триггера. То-есть. . .	Как перейти с Options API на Composition API в Vue.js BasicMan 06.01.2025 Почему переход на Composition API актуален В мире современной веб-разработки фреймворк Vue. js продолжает эволюционировать, предлагая разработчикам все более совершенные инструменты для создания. . .	Архитектура современных процессоров inter-admin 06.01.2025 Процессор (центральный процессор, ЦП) является основным вычислительным устройством компьютера, которое выполняет обработку данных и управляет работой всех остальных компонентов системы. Архитектура. . .	История создания реляционной модели баз данных, правила Кодда Programming 06.01.2025 Предпосылки создания реляционной модели В конце 1960-х годов компьютерная индустрия столкнулась с серьезными проблемами в области управления данными. Существовавшие на тот момент модели данных -. . .

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10
		1
	Построение новой системы координат в старой по уравнению осей 01.06.2015, 04:29. Показов 3504. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток уважаемы форумчане, не могу понять по какому принципу построить оси О₁Х₂ и О₁Y₂ в старой системе координат OXY, имеется уравнение оси О₁Х₂: x-y-3=0 (1) уравнение оси О₁Y₂: x+y-1=0 (2) и центр пересечения осей О₁: О₁(2,-1) Надо решать эти уравнения как уравнения прямой? И в (1) уравнении выразить х через у, а в (2) уравнении у через х? спасибо за внимание. ЗЫ: школу окончил почти как 10 лет назад, и вот решил получить высшее образование только знаний со школьных годов почти не осталось, приходится все по новой изучать=( 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.06.2015, 11:09	2
	Из системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x-y-3=0 \\ x+y-1=0 \end{cases}$ точка О1 однозначно ищется, она отдельно явно не дана. Сообщение от Roman1232 Надо решать эти уравнения как уравнения прямой? Надо решить систему из двух уравнений. Хотя бы и методом подстановки: Сообщение от Roman1232 И в (1) уравнении выразить х через у, да Сообщение от Roman1232 а в (2) уравнении у через х? нет, в (2) подставить вместо х выражение через у, найденное из уравнения (1). Можно сделать новую систему, в которой уравнения будут полусумма и полуразность данных уравнений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x-2=0 \\ y+1=0 \end{cases}$ Вот и готовый ответ. Как строить прямую: самое простое - по двум точкам. Т.е. берёте уравнение (1), вместо х подставляете значение 0, получаете у=-3, далее в том же уравнении вместо у подставляете 0, получаете х=3. Вот через две точки (0;-3) и (3;0) проводите прямую. 1

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10
	01.06.2015, 14:09 [ТС]	3
	Спасибо, собственно есть пособие в котором точка О1 находится через матрицу. И там не совсем понятна матрица перехода из одного базиса в другой? обязательно ли выбирать правый базис? всегда ли матрица перехода равна транспонированной матрице? и что если гипербола задана не каноническим уравнением, т.е. "-" стоит перед X а "+" перед Y, я так полагаю что при такой записи только меняется расположение действительной и мнимой полуосей гиперболы? собственно как то так, спасибо за внимание. Миниатюры 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.06.2015, 15:00	4
	Сообщение от Roman1232 И там не совсем понятна матрица перехода из одного базиса в другой? Если векторы-столбцы старого и нового набора базисных векторов связаны как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1^T=Q^T E^T$ , то матрица перехода - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ , и тогда один и тот же вектор со старыми координатами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}^T$ в новом базисе будет иметь координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_1}^T=Q^{-1}\bar{x}^T$ . Хотя обычно матрицу перехода обозначают не Q, а С... Почему так, а не иначе? Потому что вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E\bar{x}^T$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1\bar{x_1}^T$ - это один и тот же вектор, имеющий в разных базисах разные координаты. Осталось приравнять эти два произведения и во втором произведении убрать множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1$ (выразить его через Е): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}E^T=\bar{x_1}E_1^T \: \Rightarrow \: \bar{x}E^T=\bar{x_1}Q^TE^T \: \Rightarrow \: \bar{x}=\bar{x_1}Q^T \: \Rightarrow \: \bar{x}\left( Q^T\right)^{-1}=\bar{x_1} \: \Rightarrow \: \bar{x_1}^T=Q^{-1}\bar{x}^T$ Нужно помнить правила взятия обратной матрицы и особенно транспонирования произведения матриц: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(AB \right)^T=B^TA^T \\\left(AB \right)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \\\left(A^T \right)^{-1}=\left( A^{-1}\right)^T \\$ Добавлено через 3 минуты Сообщение от Roman1232 обязательно ли выбирать правый базис? Да. Так принято. Сообщение от Roman1232 и что если гипербола задана не каноническим уравнением, т.е. "-" стоит перед X а "+" перед Y, я так полагаю что при такой записи только меняется расположение действительной и мнимой полуосей гиперболы? Да, если справа сохраняется 1. 1

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10
	01.06.2015, 15:42 [ТС]	5
	То есть, если в моем случае базисный вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{i}_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ то базисный вектор j будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{j}_{1}=\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ и тогда переход к новому базису будет выглядеть так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}<br /> 1 &2 \\ <br /> -2 &1 <br /> \end{bmatrix}$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{Q}^{-1}={Q}^{T}=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}<br /> 1 &-2 \\ <br /> 2 &1 <br /> \end{bmatrix}$ это и будет правый базис? Добавлено через 9 минут записал не верно надо матрицы Q и Q^T местами поменять 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.06.2015, 15:46	6
	Нет, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> Q=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> <br /> Q^{-1}=Q^T=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix}$ 1

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10
	01.06.2015, 15:58 [ТС]	7
	и тогда коэффициенты линейной формы будут: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\frac{-6}{\sqrt{5}} , \frac{32}{\sqrt{5}} \right)$ а уравнение в системе OX1Y1: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-{x}^{2}+{4y}^{2}-\frac{-6}{\sqrt{5}}x+\frac{32}{\sqrt{5}}y+27=0$ . еще был вопрос, в пособии квадратичная форма записана без квадратов или так и нужно записывать?(котора 8x₁-2y₁) Добавлено через 1 минуту да я заметил что записал не верно. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.06.2015, 15:59	8
	Обратно. И медленно. Набор старых базисных векторов в виде строки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\left(\bar{e_1},\bar{e_2},...,\bar{e_n} \right)$ . Сами векторы записаны в строку, а их координаты - это столбцы. Тот же набор в виде столбца $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E^T=\left(\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ ... \\ \bar{e_n} \right)$ , а координаты - это строки. Произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1^T=Q^TE^T$ - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\bar{e'_1}\\ \bar{e'_2}\\ ... \\ \bar{e'_n} \right)=Q^T\left(\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ ... \\ \bar{e_n} \right)$ . Справа от "=" умножается 1-я строка матрицы Q^T на единственных столбец векторов старого набора, и получается вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{e'_1}$ . Иными словами, первая строка матрицы Q^T - это коэффициенты при векторах старого набора, чтобы получить 1-й вектор нового набора. Коэффициенты, значит, это строки. Матрицей перехода считается транспонированная к Q^T, т.е. матрица, где коэффициенты, выражающие новые векторы через старые - это столбцы. Добавлено через 53 секунды P.S. Это ответ на пост №5 1

@Roman1232 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.05.2015 Сообщений: 10
	01.06.2015, 16:25 [ТС]	9
	собственные числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda }_{1} =-1, и {\lambda }_{2}=4$ Добавлено через 4 минуты я знаю что такое транспонирование матрицы и умножение матриц, просто не заметил что записал не верно.сори Добавлено через 19 минут Далее выделяю полные квадраты: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}+\frac{9}{5}+{4\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}-\frac{64}{5}+27=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{-\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}+{4\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}=-16 \mid :-16$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\left(x+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}{16}-\frac{{\left(+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}{4}=1$ действительная полуось a=4, мнима b=2 0