Составить уравнение гиперболы

@Arbuz300 · Регистрация: 16.12.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Составить уравнение гиперболы, асимптотами которой служат прямые $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{l}_{1}:x-1=0$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{l}_{2} : 2x-y+1=0$ и касающейся прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{l}_{3} : 4x+y+5=0$ ... Была идея перейти в каноническую систему координат, найдя центр гиперболы, уравнения биссектрис углов между асимптотами, но это ни к чему не привело(пытался осуществить, выкладки есть, но я буду их вводить целый час)! Что можете мне посоветовать? Может, надо выбрать аффинную систему координат, осями которой служат асимптоты ?!

@jogano · 13.01.2015, 16:44

Начнём с вертикальной асимптоты х=1. С такой асимптотой уравнение гиперболы можно записать как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=ax+b+\frac{c}{x-1}$ . Для большИх |х| эта функция ведёт себя как прямая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=ax+b$ - это уравнение наклонной асимптоты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=2x+1$ .
Вид почти определён: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=2x+1+\frac{c}{x-1}$ . Осталось найти константу с. Подключаем касательную. Обозначим точку касания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ . Тогда, чтобы данная прямая была касательной к нашей функции, необходимо выполнение двух условий:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(2x+1+\frac{c}{x-1} \right)'\left|_{x=x_0} = -4\\ 2x_0+1+\frac{c}{x_0-1}=-4x_0-5 \end{cases}$
Из первого уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c=6\left(x_0-1 \right)^2$ , подставляем это С во второе уравнение и получаем точку касания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0=0 \: \Rightarrow \: c=6$
ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=2x+1+\frac{6}{x-1}$

@palva · 13.01.2015, 23:51

Наверняка вы это проходили, раз вам дали такую задачу. Вам даны уравнения асимптот. Сразу пишете уравнения гиперболы "в асимптотах" (x-1)(2x-y+1)=c. Потом присоединяете к этому уравнению уравнение прямой, которой гипербола должна касаться. Получаете систему решаете ее исключением и приходите к квадратному уравнению. Чтобы было касание (совпадающие корни) дискриминант должен равняться нулю. Это будет условие, из которого можно определить c. Возможно, будет два решения.

Не по теме:

Arbuz300, а почему вы никогда не нажимаете (+1 Спасибо) тем, кто вам помогает?

Добавлено через 11 минут
Попробовал. Ответ у меня такой же, что и у jogano. Решение одно, там получилось линейное уравнение.

@Arbuz300 · 14.01.2015, 10:34 **[ТС]**

То есть по сути моя идея была правильна: перейти в аффинную систему координат, связанной с асимптотами... Но тогда почему уравнение гиперболы приобретает вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'y'=c?$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'y'=c, x'=x-1=0, y'= 2x-y+1=0$ . Я понял Вас, palva, но нет понимания, почему приобретает гипербола в этой АСК такое уравнение... ?!

Добавлено через 5 часов 43 минуты
Ах, я понял ур-е гиперболы в асимптотах, сам вывел, зная каноническое уравнение сей кривой 2го порядка... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'y'=c, c$ определяется из доп.условий

@palva · 14.01.2015, 11:23

Arbuz300, идея правильная, конечно. Но для данной задачи я бы назвал это усложнением. Уравнения гиперболы в асимптотах приводятся во многих учебниках (напр., Мусхелишвили). При этом для вывода никаких переходов к другим системам координат не делается. Просто привлекаются очевидные геометрические соображения. Асимптоты - это единственные две прямые, которые не имеют общих точек с гиперболой. В случае уравнения в асимптотах каждая круглая скобка не может равняться нулю (C<>0), следовательно приравняв эту скобку нулю мы получаем уравнение асимптоты. Здесь важно не то, что вы смогли это сами вывести, а то, чтобы вы почувствовали эту идею интуитивно и применяли ее в дальнейшем. Так что советую, если вы пропустили это на лекциях, прочитать это по хорошему учебнику.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
std::vector в C++: от основ к оптимизации производительности NullReferenced 05.04.2025 Для многих программистов знакомство с std::vector происходит на ранних этапах изучения языка, но между базовым пониманием и подлинным мастерством лежит огромная дистанция. Контейнер std::vector. . .	Реляционная модель и правила Кодда: фундамент современных баз данных Codd 05.04.2025 Конец 1960-х — начало 1970-х годов был периодом глубоких трансформаций в области хранения и обработки данных. На фоне растущих потребностей бизнеса и правительственных структур существовавшие на тот. . .	Асинхронные операции в Django с Celery py-thonny 05.04.2025 Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .	Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go golander 05.04.2025 Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .	Создаем Telegram бот на TypeScript с grammY run.dev 05.04.2025 Одна из его самых сильных сторон Telegram — это интеграция ботов прямо в экосистему приложения. В отличие от многих других платформ, он предоставляет разработчикам мощный API, позволяющий создавать. . .
Паттерны распределённых транзакций в Event-Driven микросервисах ArchitectMsa 05.04.2025 Современные программные системы всё чаще проектируются как совокупность взаимодействующих микросервисов. И хотя такой подход даёт множество преимуществ — масштабируемость, гибкость, устойчивость к. . .	Работа с объемным DOM в javascript Htext 04.04.2025 Сегодня прочитал статью тут о расходах памяти в JS, ее утечках и т. п. И вот что вспомнил из своей недавней практики. Может, кому пригодится. Хотя, в той статье об этом тоже есть. Дело в том, что я. . .	Оптимизация производительности Node.js с помощью кластеризации run.dev 04.04.2025 Масштабирование приложений для обработки тысяч и миллионов запросов — обыденная задача для многих команд. Node. js, благодаря своей асинхронной событийно-ориентированной архитектуре, стал популярной. . .	Управление зависимостями в Python с Poetry py-thonny 04.04.2025 Стандартный инструмент для установки пакетов в Python - pip - прекрасно справляется с базовыми сценариями: установил пакет командой pip install и используешь его. Но что произойдёт, когда разные. . .	Мониторинг с Prometheus в PHP Jason-Webb 04.04.2025 Prometheus выделяется среди других систем мониторинга своим подходом к сбору и хранению метрик. В отличие от New Relic, который использует агентный подход и отправляет данные во внешнее хранилище,. . .

@Arbuz300 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.12.2014 Сообщений: 91

	Составить уравнение гиперболы 13.01.2015, 15:35. Показов 11432. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Составить уравнение гиперболы, асимптотами которой служат прямые $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{l}_{1}:x-1=0$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{l}_{2} : 2x-y+1=0$ и касающейся прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{l}_{3} : 4x+y+5=0$ ... Была идея перейти в каноническую систему координат, найдя центр гиперболы, уравнения биссектрис углов между асимптотами, но это ни к чему не привело(пытался осуществить, выкладки есть, но я буду их вводить целый час)! Что можете мне посоветовать? Может, надо выбрать аффинную систему координат, осями которой служат асимптоты ?! 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	13.01.2015, 16:44
	Начнём с вертикальной асимптоты х=1. С такой асимптотой уравнение гиперболы можно записать как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=ax+b+\frac{c}{x-1}$ . Для большИх \|х\| эта функция ведёт себя как прямая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=ax+b$ - это уравнение наклонной асимптоты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=2x+1$ . Вид почти определён: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=2x+1+\frac{c}{x-1}$ . Осталось найти константу с. Подключаем касательную. Обозначим точку касания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ . Тогда, чтобы данная прямая была касательной к нашей функции, необходимо выполнение двух условий: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(2x+1+\frac{c}{x-1} \right)'\left\|_{x=x_0} = -4\\ 2x_0+1+\frac{c}{x_0-1}=-4x_0-5 \end{cases}$ Из первого уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c=6\left(x_0-1 \right)^2$ , подставляем это С во второе уравнение и получаем точку касания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0=0 \: \Rightarrow \: c=6$ ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=2x+1+\frac{6}{x-1}$ 2

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	13.01.2015, 23:51
	Сообщение было отмечено Arbuz300 как решение Решение Наверняка вы это проходили, раз вам дали такую задачу. Вам даны уравнения асимптот. Сразу пишете уравнения гиперболы "в асимптотах" (x-1)(2x-y+1)=c. Потом присоединяете к этому уравнению уравнение прямой, которой гипербола должна касаться. Получаете систему решаете ее исключением и приходите к квадратному уравнению. Чтобы было касание (совпадающие корни) дискриминант должен равняться нулю. Это будет условие, из которого можно определить c. Возможно, будет два решения. Не по теме: Arbuz300, а почему вы никогда не нажимаете (+1 Спасибо) тем, кто вам помогает? Добавлено через 11 минут Попробовал. Ответ у меня такой же, что и у jogano. Решение одно, там получилось линейное уравнение. 1

@Arbuz300 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.12.2014 Сообщений: 91
	14.01.2015, 10:34 [ТС]
	То есть по сути моя идея была правильна: перейти в аффинную систему координат, связанной с асимптотами... Но тогда почему уравнение гиперболы приобретает вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'y'=c?$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'y'=c, x'=x-1=0, y'= 2x-y+1=0$ . Я понял Вас, palva, но нет понимания, почему приобретает гипербола в этой АСК такое уравнение... ?! Добавлено через 5 часов 43 минуты Ах, я понял ур-е гиперболы в асимптотах, сам вывел, зная каноническое уравнение сей кривой 2го порядка... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'y'=c, c$ определяется из доп.условий 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	14.01.2015, 11:23
	Arbuz300, идея правильная, конечно. Но для данной задачи я бы назвал это усложнением. Уравнения гиперболы в асимптотах приводятся во многих учебниках (напр., Мусхелишвили). При этом для вывода никаких переходов к другим системам координат не делается. Просто привлекаются очевидные геометрические соображения. Асимптоты - это единственные две прямые, которые не имеют общих точек с гиперболой. В случае уравнения в асимптотах каждая круглая скобка не может равняться нулю (C<>0), следовательно приравняв эту скобку нулю мы получаем уравнение асимптоты. Здесь важно не то, что вы смогли это сами вывести, а то, чтобы вы почувствовали эту идею интуитивно и применяли ее в дальнейшем. Так что советую, если вы пропустили это на лекциях, прочитать это по хорошему учебнику. 1

Опции темы