Привести уравнение к каноническому виду

@fan228 · Регистрация: 17.11.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Всем привет. Вчера решал типовые расчеты застрял на этом: Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую. y^2+2x-2y-1=0

Воспользовался онлайн-калькулятором, вот что получилось:

Дано уравнение кривой:
y2 + 2x - 2y - 1 = 0
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:
B =
0 0
0 1

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(0 - λ)x1 + 0y1 = 0
0x1 + (1 - λ)y1 = 0
Характеристическое уравнение:
0 - λ 0
0 1 - λ
= λ 2 - λ = 0

λ2 - λ + 0 = 0
D = (-1)2 - 4 • 1 • 0 = 1

Исходное уравнение определяет параболу (λ2 = 0)
Вид квадратичной формы:
y2
Выделяем полные квадраты:
для y1:
(y12-2•1y1 + 1) -1•1 = (y1-1)2-1
Преобразуем исходное уравнение:
(y1-1)2 = -2x + 0
Получили уравнение параболы:
(y - y0)2 = 2p(x - x0)
(y-1)2 = 2*-1(x - 0)
Ветви параболы направлены влево, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;1)
Параметр p = -1
Координаты фокуса:

Уравнение директрисы: x = x0 - p/2
x = 0 - -1/2 = 1/2

Хотелось бы узнать, правильно ли все тут решено? ( У меня не сходится график и данная строка: "Ветви параболы направлены влево, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;1)". На полученном же графике вершина расположена в точке (1;1). Где правда? Вот кстати сам график ссылка удалена)
Прошу помочь

@Alamira · 17.11.2014, 21:38

Ну Вы и намудрили... Преобразуем уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{2}+2x-2y-1=0$ .
Поскольку y во второй степени, выделим полный квадрат: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({y}^{2}-2y+1)+2x-2=0$
Получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(y-1)}^{2}=-2x+2$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(y-1)}^{2}=-2(x-1)$ .
Вершина параболы в точке (1;1). Это видно из уравнения (от х отнимаем 1, от y так же).
Ветви направлены влево, так как коэффициент перед (х-1) отрицательный. И с графиком все согласуется.

@fan228 · 19.11.2014, 10:47 **[ТС]**

Спасибо, вроде понятно. Осталось только понять как найти точки пересечения с осями, фокус и директриссу. Надеюсь поможете)

@Alamira · 19.11.2014, 13:09

Начните решать и показывайте.

@fan228 · 07.12.2014, 18:03 **[ТС]**

Ну вот, сделал как вы подсказали. Все понятно, кроме нахождения параметра и координат фокуса

@Alamira · 07.12.2014, 22:33

Параметр р=-1, а координаты фокуса (-1/2+1;0+1) - добавляем по единице, так как вершина параболы смещена относительно начала координат на эти значения.

@fan228 · 11.12.2014, 14:34 **[ТС]**

Спасибо большое

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .	Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .
Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .	Мультитенантная архитектура со SpringBoot и PostgreSQL ArchitectMsa 29.03.2025 SaaS-приложения редко обслуживают одного клиента и обычно они должны поддерживать множество организаций, каждая из которых работает в своём изолированном пространстве. Мультитенантная архитектура. . .	std::span в C++: Производительность и лучшие практики NullReferenced 28.03.2025 std::span — одно из самых недооценённых нововведений стандарта C++20, которое радикально меняет подход к работе с непрерывными последовательностями данных. По сути, это невладеющее представление. . .

@fan228 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.11.2014 Сообщений: 14

	Привести уравнение к каноническому виду 17.11.2014, 15:11. Показов 12638. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Всем привет. Вчера решал типовые расчеты застрял на этом: Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую. y^2+2x-2y-1=0 Воспользовался онлайн-калькулятором, вот что получилось: Дано уравнение кривой: y2 + 2x - 2y - 1 = 0 1. Определить тип кривой. 2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат. 3. Найти соответствующие преобразования координат. Решение. Приводим квадратичную форму B = y2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы: B = 0 0 0 1 Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: (0 - λ)x1 + 0y1 = 0 0x1 + (1 - λ)y1 = 0 Характеристическое уравнение: 0 - λ 0 0 1 - λ = λ 2 - λ = 0 λ2 - λ + 0 = 0 D = (-1)2 - 4 • 1 • 0 = 1 Исходное уравнение определяет параболу (λ2 = 0) Вид квадратичной формы: y2 Выделяем полные квадраты: для y1: (y12-2•1y1 + 1) -1•1 = (y1-1)2-1 Преобразуем исходное уравнение: (y1-1)2 = -2x + 0 Получили уравнение параболы: (y - y0)2 = 2p(x - x0) (y-1)2 = 2*-1(x - 0) Ветви параболы направлены влево, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;1) Параметр p = -1 Координаты фокуса: Уравнение директрисы: x = x0 - p/2 x = 0 - -1/2 = 1/2 Хотелось бы узнать, правильно ли все тут решено? ( У меня не сходится график и данная строка: "Ветви параболы направлены влево, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;1)". На полученном же графике вершина расположена в точке (1;1). Где правда? Вот кстати сам график ссылка удалена) Прошу помочь Миниатюры 0

@Alamira 163 / 151 / 36 Регистрация: 04.11.2014 Сообщений: 303
	17.11.2014, 21:38
	Сообщение было отмечено fan228 как решение Решение Ну Вы и намудрили... Преобразуем уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{2}+2x-2y-1=0$ . Поскольку y во второй степени, выделим полный квадрат: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({y}^{2}-2y+1)+2x-2=0$ Получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(y-1)}^{2}=-2x+2$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(y-1)}^{2}=-2(x-1)$ . Вершина параболы в точке (1;1). Это видно из уравнения (от х отнимаем 1, от y так же). Ветви направлены влево, так как коэффициент перед (х-1) отрицательный. И с графиком все согласуется. 1

@fan228 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.11.2014 Сообщений: 14
	19.11.2014, 10:47 [ТС]
	Спасибо, вроде понятно. Осталось только понять как найти точки пересечения с осями, фокус и директриссу. Надеюсь поможете) 0

@Alamira 163 / 151 / 36 Регистрация: 04.11.2014 Сообщений: 303
	19.11.2014, 13:09
	Начните решать и показывайте. 0

@fan228 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.11.2014 Сообщений: 14
	07.12.2014, 18:03 [ТС]
	Ну вот, сделал как вы подсказали. Все понятно, кроме нахождения параметра и координат фокуса 0

@Alamira 163 / 151 / 36 Регистрация: 04.11.2014 Сообщений: 303
	07.12.2014, 22:33
	Параметр р=-1, а координаты фокуса (-1/2+1;0+1) - добавляем по единице, так как вершина параболы смещена относительно начала координат на эти значения. 1

@fan228 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.11.2014 Сообщений: 14
	11.12.2014, 14:34 [ТС]
	Спасибо большое 0