Уравнение касательной к гиперболе

@Zhukofff · Регистрация: 21.12.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток, форумчане!
Задача: "Напишите уравнение касательной к гиперболе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{4x}^{2}-{9y}^{2}={36}$ , проходящей через точку (3;-6)."
Моё решение:
Уравнение касательной к гиперболе:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x*x0}{{a}^{2}}-\frac{y*y0}{{b}^{2}}=1$
После чего я подставил значения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}$ (координаты x и y беру из условия), $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{b}$ в формулу и после чего я упростил её, и получил: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{2x}+{9y}=6$
После чего уравнение выразил через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}$ и у меня получилась ерунда, т.е. я получил не правильную касательную. Не правильна по тому, что я решил нарисовать гиперболу и провести касательную, вот тут-то у меня и не сошлось. Может кто подсказать, в чём ошибка?
Заранее спасибо.

@Puporev · 29.08.2014, 19:45

так точка (3;-6) вроде как и не принадлежит гиперболе...

@Zhukofff · 29.08.2014, 19:46 **[ТС]**

Puporev, не спорю, т.к. это обусловлено в тексте задачи. А как решить тогда, подскажите?

@palva · 29.08.2014, 20:38

Могу предложить такой метод: Семейство прямых, проходящих через точку (3,-6) описывается уравнением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y-3=k(x+6)$
Среди них есть касательные к гиперболе. Они имеют ровно одну точку пересечения с гиперболой, то есть для них система
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}4x^2-9y^2=36\\ y-3=k(x+6)\end{cases}$
имеет единственное решение (два совпадающих). Если вы будете решать эту систему, то придете к решению квадратного уравнения. Это уравнение должно иметь одно решение, то есть его дискриминант должен равняться нулю. Параметр k входит в этот дискриминант. Приравняйте дискриминант нулю и найдите из получившегося уравнения k. В общем случае вы получите два значения k, то есть две прямых.

Добавлено через 7 минут
Другой вариант: Уравнение касательной вы уже написали. Подставьте в него координаты точки (3,-6). Должно получиться равенство, раз касательная проходит через эту точку. Получится уравнение для нахождения x0, y0. Вторым уравнением является уравнение гиперболы, раз точка касания ей принадлежит. Решив систему получите две возможные точки касания (x0,y0). Дальше можно сразу выписать уравнения прямых.

@Puporev · 29.08.2014, 20:46

Не математический метод решения этой конкретной задачи.
Подставим в уравнение гиперболы х=3, получим y=0.Это типа вершины гиперболы (не знаю как правильно называется эта точка). Значит уравнение касательной вертикальная прямая х=3.
Конечно это просто совпадение, частный случай...

@palva · 29.08.2014, 20:48

Puporev, осталось найти вторую прямую.

@Puporev · 29.08.2014, 20:52

Не по теме:

А я буквально понимаю задание

Сообщение от Zhukofff

"Напишите уравнение касательной"

про вторую не написано...

@palva · 29.08.2014, 21:07

Zhukofff, тогда тут получится так, что решая задачу первым моим методом вы получите одно из решений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\infty$ . Интересно, как выглядит это уравнение. Напишите, если будете решать этим методом. Либо можно отталкиваться от другого уравнения k(y-3)=k+6. Тогда проблем с бесконечностью не будет.

Добавлено через 11 минут
Простите, я опять не то написал. Еще в самом начале.
Семейство прямых проходящих через точку (3,-6) имеет вид x-3=k(y+6)

@Puporev · 30.08.2014, 07:48

А здесь
http://www.pm298.ru/reshenie/uravnpr6.php
написано что
y+6=k(x-3)

@palva · 30.08.2014, 08:30

Если использовать готовую формулу, то да. Но логичнее использовать мой вариант, (то есть сначала поменять местами координаты), чтобы не столкнуться с решением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\infty.$

@Zhukofff · 31.08.2014, 21:06 **[ТС]**

palva, я попробовал решить задачу вашим способом, я попробовал решить, данную Вами, систему, но у меня ничего не получилось... Когда я решал уравнение с K (после приравнивания дискриминанта к нулю, выглядело так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{15876{k}^{4}-819{k}^{2}+52=0}$ ) я пришёл к отрицательному дискриминанту, чего не должно быть. Может я ошибся в уравнении?
Я так же пробовал решить данное задание пользуясь системой:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & -6=3k+L \\ & 81{k}^{2}+9(4-9{k}^{2})({L}^{2}+4)=0\end{cases}$
Но я получил не верные линии, т.е. они не являются касательной к гиперболе.
Что не так?

@palva · 01.09.2014, 12:15

Что у вас не так не знаю. Вы же не привели выкладки.
Я выразил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y$ из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y-3=k(x+6)$ и подставил в уравнение гиперболы. Получилось
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(4k^2-9)y^2+(48k^2+24k)y+(144k^2+144k)=0$
Потом приравнял $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D$ нулю. Получилось после упрощений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10k^2+9k=0$
Случай k=0 уже указал Puporev. Вторая прямая имеет уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10(x-3)+9(y+6)=0$
Точна касания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-15/4; 3/2)$

@Zhukofff · 01.09.2014, 13:01 **[ТС]**

palva, так всё таки:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y-3=k(x+6)}$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x-3=k(y+6)}$ ?

Добавлено через 8 минут
palva, как я понимаю, если я правильно понимаю, то верно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x-3=k(y+6)}$ .

@palva · 01.09.2014, 13:11

Блин, опять ошибся. Второе, конечно. Не то переписал с черновиков. То есть я подставлял в уравнение гиперболы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=k(y+6)+3$

@Zhukofff · 01.09.2014, 13:36 **[ТС]**

palva, да. Я самостоятельно про решал, по-Вашему методу, с первого уравнения, систему и пришёл к такому же ответу.
Спасибо большое. Разобрался.

Добавлено через 40 секунд
Puporev, спасибо Вам за ответ, очень приятно. С Вашим методом тоже разобрался.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Контейнеризация React приложений с Docker Reangularity 03.04.2025 Контейнеризация позволяет упаковать приложение со всеми его зависимостями в автономный контейнер, который можно запустить на любой платформе с установленным Docker. Это существенно упрощает процессы. . .	Свой попап в SwiftUI mobDevWorks 03.04.2025 SwiftUI, как декларативный фреймворк от Apple, предоставляет множество инструментов для создания пользовательских интерфейсов. В нашем распоряжении есть такие API как alerts, popovers, action sheets. . .	Антипаттерны микросервисной архитектуры ArchitectMsa 03.04.2025 Хорошо спроектированная микросервисная система может выдержать испытание временем, оставаясь гибкой, масштабируемой и устойчивой к большинству проблем. Такая архитектура обладает высоким уровнем. . .	std::mutex в C++: Советы и примеры использования bytestream 03.04.2025 std::mutex - это механизм взаимного исключения, который гарантирует, что критический участок кода выполняется только одним потоком в каждый момент времени. Это простое, но могущественное средство. . .	Не удержался от оценки концепции двигателя Стирлинга. Hrethgir 03.04.2025 Сколько не пытался - она выдавала правильные схемы, причём случайно рисовала горячие области в середине, холодные по краям, трубки с краёв в низ и магнит в соединяющей, но при этой выдавала описание. . .
Метод с двумя буферами (или double buffering) или ping-pong buffering Hrethgir 02.04.2025 Из ответов LM модели. Метод, который предполагает использование двух массивов для хранения промежуточных результатов сложения векторов, обычно применяется в сценариях, где необходимо минимизировать. . .	На любовном киберфронте Alexander-7 01.04.2025 Недавно на одном малоизвестном сайте знакомств мною заинтересовалась девушка: «Текст немного странный. Но, судя по адресу почты, иностранка», – подумал я. Поколебавшись пару суток, я ответил ей:. . .	Как работает Node.js изнутри run.dev 29.03.2025 Node. js изменил подход к разработке веб-приложений, позволив использовать JavaScript не только на стороне клиента, но и на сервере. Созданный в 2009 году Райаном Далем, этот открытый,. . .	Моки в Python: Mock Object Library py-thonny 29.03.2025 Тестирование кода требует особого подхода, когда речь идёт о компонентах, взаимодействующих с внешним миром. Мы часто сталкиваемся с непредсказуемостью HTTP-запросов, чтением данных из базы или. . .	JavaScript: Управление памятью и улучшение производительности run.dev 29.03.2025 В отличие от низкоуровневых языков программирования, JavaScript не требует ручного выделения и освобождения памяти. Здесь работает автоматический сборщик мусора, который определяет, какие объекты. . .

@Zhukofff 2 / 2 / 0 Регистрация: 21.12.2013 Сообщений: 15

	Уравнение касательной к гиперболе 29.08.2014, 19:08. Показов 28138. Ответов 14 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток, форумчане! Задача: "Напишите уравнение касательной к гиперболе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{4x}^{2}-{9y}^{2}={36}$ , проходящей через точку (3;-6)." Моё решение: Уравнение касательной к гиперболе: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{xx0}{{a}^{2}}-\frac{yy0}{{b}^{2}}=1$ После чего я подставил значения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}$ (координаты x и y беру из условия), $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{b}$ в формулу и после чего я упростил её, и получил: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{2x}+{9y}=6$ После чего уравнение выразил через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}$ и у меня получилась ерунда, т.е. я получил не правильную касательную. Не правильна по тому, что я решил нарисовать гиперболу и провести касательную, вот тут-то у меня и не сошлось. Может кто подсказать, в чём ошибка? Заранее спасибо. 0

@Puporev Почетный модератор 64311 / 47608 / 32742 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 115,181
	29.08.2014, 19:45
	так точка (3;-6) вроде как и не принадлежит гиперболе... 0

@Zhukofff 2 / 2 / 0 Регистрация: 21.12.2013 Сообщений: 15
	29.08.2014, 19:46 [ТС]
	Puporev, не спорю, т.к. это обусловлено в тексте задачи. А как решить тогда, подскажите? 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	29.08.2014, 20:38
	Могу предложить такой метод: Семейство прямых, проходящих через точку (3,-6) описывается уравнением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y-3=k(x+6)$ Среди них есть касательные к гиперболе. Они имеют ровно одну точку пересечения с гиперболой, то есть для них система $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}4x^2-9y^2=36\\ y-3=k(x+6)\end{cases}$ имеет единственное решение (два совпадающих). Если вы будете решать эту систему, то придете к решению квадратного уравнения. Это уравнение должно иметь одно решение, то есть его дискриминант должен равняться нулю. Параметр k входит в этот дискриминант. Приравняйте дискриминант нулю и найдите из получившегося уравнения k. В общем случае вы получите два значения k, то есть две прямых. Добавлено через 7 минут Другой вариант: Уравнение касательной вы уже написали. Подставьте в него координаты точки (3,-6). Должно получиться равенство, раз касательная проходит через эту точку. Получится уравнение для нахождения x0, y0. Вторым уравнением является уравнение гиперболы, раз точка касания ей принадлежит. Решив систему получите две возможные точки касания (x0,y0). Дальше можно сразу выписать уравнения прямых. 2

@Puporev Почетный модератор 64311 / 47608 / 32742 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 115,181
	29.08.2014, 20:46
	Не математический метод решения этой конкретной задачи. Подставим в уравнение гиперболы х=3, получим y=0.Это типа вершины гиперболы (не знаю как правильно называется эта точка). Значит уравнение касательной вертикальная прямая х=3. Конечно это просто совпадение, частный случай... 1

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	29.08.2014, 20:48
	Puporev, осталось найти вторую прямую. 0

@Puporev
	29.08.2014, 20:52
	Не по теме: А я буквально понимаю задание Сообщение от Zhukofff "Напишите уравнение касательной" про вторую не написано... 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	29.08.2014, 21:07
	Zhukofff, тогда тут получится так, что решая задачу первым моим методом вы получите одно из решений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\infty$ . Интересно, как выглядит это уравнение. Напишите, если будете решать этим методом. Либо можно отталкиваться от другого уравнения k(y-3)=k+6. Тогда проблем с бесконечностью не будет. Добавлено через 11 минут Простите, я опять не то написал. Еще в самом начале. Семейство прямых проходящих через точку (3,-6) имеет вид x-3=k(y+6) 1

@Puporev Почетный модератор 64311 / 47608 / 32742 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 115,181
	30.08.2014, 07:48
	А здесь http://www.pm298.ru/reshenie/uravnpr6.php написано что y+6=k(x-3) 1

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	30.08.2014, 08:30
	Если использовать готовую формулу, то да. Но логичнее использовать мой вариант, (то есть сначала поменять местами координаты), чтобы не столкнуться с решением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\infty.$ 0

@Zhukofff 2 / 2 / 0 Регистрация: 21.12.2013 Сообщений: 15
	31.08.2014, 21:06 [ТС]
	palva, я попробовал решить задачу вашим способом, я попробовал решить, данную Вами, систему, но у меня ничего не получилось... Когда я решал уравнение с K (после приравнивания дискриминанта к нулю, выглядело так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{15876{k}^{4}-819{k}^{2}+52=0}$ ) я пришёл к отрицательному дискриминанту, чего не должно быть. Может я ошибся в уравнении? Я так же пробовал решить данное задание пользуясь системой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & -6=3k+L \\ & 81{k}^{2}+9(4-9{k}^{2})({L}^{2}+4)=0\end{cases}$ Но я получил не верные линии, т.е. они не являются касательной к гиперболе. Что не так? 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	01.09.2014, 12:15
	Сообщение было отмечено Zhukofff как решение Решение Что у вас не так не знаю. Вы же не привели выкладки. Я выразил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y$ из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y-3=k(x+6)$ и подставил в уравнение гиперболы. Получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(4k^2-9)y^2+(48k^2+24k)y+(144k^2+144k)=0$ Потом приравнял $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D$ нулю. Получилось после упрощений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10k^2+9k=0$ Случай k=0 уже указал Puporev. Вторая прямая имеет уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10(x-3)+9(y+6)=0$ Точна касания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-15/4; 3/2)$ 1

@Zhukofff 2 / 2 / 0 Регистрация: 21.12.2013 Сообщений: 15
	01.09.2014, 13:01 [ТС]
	palva, так всё таки: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y-3=k(x+6)}$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x-3=k(y+6)}$ ? Добавлено через 8 минут palva, как я понимаю, если я правильно понимаю, то верно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x-3=k(y+6)}$ . 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,862 Записей в блоге: 4
	01.09.2014, 13:11
	Блин, опять ошибся. Второе, конечно. Не то переписал с черновиков. То есть я подставлял в уравнение гиперболы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=k(y+6)+3$ 0

@Zhukofff 2 / 2 / 0 Регистрация: 21.12.2013 Сообщений: 15
	01.09.2014, 13:36 [ТС]
	palva, да. Я самостоятельно про решал, по-Вашему методу, с первого уравнения, систему и пришёл к такому же ответу. Спасибо большое. Разобрался. Добавлено через 40 секунд Puporev, спасибо Вам за ответ, очень приятно. С Вашим методом тоже разобрался. 1

Уравнение касательной к гиперболе

Решение